湖北省襄阳市2016届高三数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）
1．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象大致为( )

A． B． C． D．

2．设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：
①y=sinx；
②y=2x；
③y=；
④f（x）=lnx，
则其中“Ω函数”共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( )
A．y=2|x| B．y=x3 C．y=﹣x2+1 D．y=cosx

4．化简﹣+﹣得( )
A． B． C． D．

5．已知点P，A，B在双曲线=1上，直线AB过坐标原点，且直线PA、PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．

6．四边形ABCD是平行四边形，=（2，4），=（1，3），则=( )
A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） C．（2，4） D．（3，7）

7．已知函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数，则y=2ax+b的图象不可能是( )
A． B． C． D．

8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )

A．2 B．4 C．8 D．16

9．化简的结果为( )
A．5 B． C．﹣ D．﹣5

10．当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为( )
A．10 B．12 C．14 D．16

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）
11．等比数列{an}中，已知a1+a2=324，a3+a4=36，则a5+a6=__________．

12．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为
__________．

13．写出命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是__________．

14．函数f（x）=在x=4处的切线方程__________．

15．已知函数，那么=__________．

16．沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成的角等于__________．

17．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，=，=，=，则•（﹣）=__________．

三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
18．阅读如图所示的程序框图．
（1）写出函数y=f（x）的解析式；
（2）由（1）中的函数y=f（x）表示的曲线与直线y=1围成的三角形的内切圆记为圆C，若向这个三角形内随机投掷一粒黄豆，求这粒黄豆落入圆C的概率．

19．已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值．

20．（13分）数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数的极小值点．
（Ⅰ）当a=0时，求通项an；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（14分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

22．（14分）设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发．B一直向北直行；A先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝B所在的方向前进．
（1）若A在距离中心5km的地方改变方向，建立适当坐标系，求：A改变方向后前进路径所在直线的方程
（2）设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，且后来A恰与B相遇．问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）

2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）
1．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象大致为( )

A． B． C． D．
【考点】指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；转化思想．
【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=aX+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．
【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；
根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；
观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，
又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；
在函数g（x）=ax+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，
又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；
分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；
故选A．
【点评】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．

2．设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：
①y=sinx；
②y=2x；
③y=；
④f（x）=lnx，
则其中“Ω函数”共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的定义，将条件转化为f（x）+f（y）=0，判断函数是否满足条件即可．
【解答】解：若∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，
即等价为∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）+f（﹣x）=0，∴当y=﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．
B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．
C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得，即，
∴x+y﹣2=0，即y=2﹣x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．
D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y=时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．
综上满足条件的函数是A，C，D，共3个，
故选：C
【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为f（x）+f（y）=0是解决本题的关键．

3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( )
A．y=2|x| B．y=x3 C．y=﹣x2+1 D．y=cosx
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】解：A中，y=2|x|是偶函数，但在（0，+∞）上单调递增，排除A；
B中，y=x3是奇函数，排除B；
C中，y=﹣x2+1是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；
D中，y=cosx是偶函数，但在（0，+∞）上不单调，排除D；
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟记常见基本函数的有关性质是解题关键．

4．化简﹣+﹣得( )
A． B． C． D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．
【解答】解：﹣+﹣
=﹣﹣
=﹣
=
故选D
【点评】向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”

5．已知点P，A，B在双曲线=1上，直线AB过坐标原点，且直线PA、PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．
【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），
则﹣=1，，
∴kPA•kPB===，
∴该双曲线的离心率e===．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．

6．四边形ABCD是平行四边形，=（2，4），=（1，3），则=( )
A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） C．（2，4） D．（3，7）
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量的加减法计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴=（1，3）﹣（2，4）=（﹣1，﹣1）．
故选A．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．

7．已知函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数，则y=2ax+b的图象不可能是( )
A． B． C． D．
【考点】一次函数的性质与图象；二次函数的性质．
【专题】数形结合；分类讨论．
【分析】先由函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数求出a和b所能出现的情况，再对每一中情况求出对应的图象即可．（注意对二次项系数的讨论）．
【解答】解：因为函数y=ax2+bx﹣1在（﹣∞，0]是单调函数，
所以：①当a=0，y=2ax+b的图象可能是A；
②当a＞0时，﹣≥0⇔b≤0，y=2ax+b的图象可能是C；
③当a＜0时，﹣≤0⇔b≤0，y=2ax+b的图象可能是D．
故y=2ax+b的图象不可能是B．
故选 B．
【点评】本题主要考查函数的单调性以及一次函数的图象．是对基础知识的考查，属于基础踢．

8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )

A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．

9．化简的结果为( )
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【考点】方根与根式及根式的化简运算．
【专题】计算题．
【分析】利用根式直接化简即可确定结果．
【解答】解：===
故选B
【点评】本题考查根式的化简运算，考查计算能力，是基础题．

10．当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，
∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．
∴x+y的最小值为16．
故选：D．
【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）
11．等比数列{an}中，已知a1+a2=324，a3+a4=36，则a5+a6=4．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】由等比数列的性质可知，a1+a2，a3+a4，a5+a6成等比数列，结合等比数列的通项公式可求
【解答】解：由等比数列的性质可知，a1+a2，a3+a4，a5+a6成等比数列
∵a1+a2=324，a3+a4=36，
该等比数列的公比q==
则a5+a6=（a3+a4）×=4
故答案为：4
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题

12．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为
a（1﹣b%）n．
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；应用题．
【分析】根据题意可知第一年后，第二年后等等每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案．
【解答】解：依题意可知第一年后的价值为a（1﹣b%），第二年价值为a（1﹣b%）2，依此类推可知每年的价值成等比数列，首项a（1﹣b%）公比为1﹣b%，进而可知n年后这批设备的价值为a（1﹣b%）n故答案为a（1﹣b%）n
【点评】本题主要考查了数列的应用．解题的关键是利用已知条件求得数列的通项公式．

13．写出命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣3＞0”的否定是“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”．
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题．，即可得到结论．
【解答】解：∵命题是特称命题，
∴命题的否定是“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”，
故答案为：“任意x∈R，x2﹣2x﹣3≤0”
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．

14．函数f（x）=在x=4处的切线方程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】求出函数f（x）在点x=4处的导数，也就是切线的斜率，求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f′（x）=，
∴x=4时，f′（4）=，
∵f（4）=2，
∴函数f（x）=在x=4处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义：导数在一点处的导数值即为该点处切线的斜率的应用，属于基础试题．

15．已知函数，那么=．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据所求关系式的形式可先求f（），然后求出f（x）+f（）为定值，最后即可求出所求．
【解答】解：∵，
∴f（）=
∴f（x）+f（）=1
∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=
∴=
故答案为：
【点评】本题主要考查了函数的值的求解，找出规律进行解题可简化计算，当项数较少时也可逐一进行求解，属于基础题．

16．沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成的角等于60°．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G，连接BD、EF、EG、FG，则FG∥CD，EG∥AB，∠FGE为异面直线AB与CD所成的角，由此能求出结果．
【解答】解：如下图，取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G，
连接BD、EF、EG、FG，
则FG∥CD，EG∥AB，
故∠FGE为异面直线AB与CD所成的角（或其补角），
设正方形的边长为2个单位，则FG=1，EG=1，EF=1，
从而∠FGE=60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维培养．

17．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，=，=，=，则•（﹣）=﹣1．

【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用正六边形的性质和数量积的性质即可得出．
【解答】解：由正六边形的性质和数量积的性质可得=1×1×cos60°=，==．
∴•（﹣）===﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正六边形的性质和数量积的性质，属于基础题．

三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
18．阅读如图所示的程序框图．
（1）写出函数y=f（x）的解析式；
（2）由（1）中的函数y=f（x）表示的曲线与直线y=1围成的三角形的内切圆记为圆C，若向这个三角形内随机投掷一粒黄豆，求这粒黄豆落入圆C的概率．

【考点】程序框图．
【专题】函数的性质及应用；概率与统计；算法和程序框图．
【分析】（1）由已知中的程序框图，分析两条分支上的语句，可得函数的解析式；
（2）求出数y=f（x）表示的曲线与直线y=1围成的三角形面积，及其内切圆的面积，代入由几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：（1）由已知中的程序框图可得：
函数y=f（x）=，
（2）如图所示：

当y=1时，A点坐标为（﹣1，1），B点坐标为：（1，1），
故OA=OB=，AB=2，
则△OAB的面积S==1，
△OAB的内切圆半径r==，
故圆C的面积为：=（3﹣2）π，
故向这个三角形内随机投掷一粒黄豆，求这粒黄豆落入圆C的概率P=（3﹣2）π．
【点评】本题考查的知识点是分段函数，程序框图和几何概率，是算法，函数和概率的综合应用，难度中档．

19．已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值．
【考点】圆方程的综合应用．
【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】（1）求得已知圆的圆心和半径，设k=，即kx﹣y=0，则圆心到直线的距离d≤r，加上即可得到最值；
（2）x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2表示点（x，y）与A（﹣1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB最短，AD最长，加上即可得到所求最值．
【解答】解：（1）圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，
可得圆心为C（3，3），半径为r=2，
设k=，即kx﹣y=0，
则圆心到直线的距离d≤r，
即≤2，
平方得5k2﹣18k+5≤0，
解得≤k≤，
故的最大值是，最小值为；
（2）x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2
表示点（x，y）与A（﹣1，0）的距离的平方加上2，
连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，
可得AB为最短，且为|AC|﹣r=﹣2=3，
AD为最长，且为|AC|+r=5+2=7，
则x2+y2+2x+3 的最大值为72+2=51，
x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系以及连接圆外一点与圆心的直线与圆的交点，取得最值是解决本题的关键．

20．（13分）数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数的极小值点．
（Ⅰ）当a=0时，求通项an；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】数列与函数的综合．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．由f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）=0，得x1=3an，x2=n2．由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值．所以a2=12=1．因为3a2=3＜22，则，a3=22=4，因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，由此猜测：当n≥3时，an=4×3n﹣3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．要使3an＞n2，只需对一切n∈N*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．于是当a＞时，必有．由此能导出存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．
【解答】解：（I）当a=0时，a1=0，则3a1＜12．
由题设知f'n（x）=x2﹣（3an+n2）x+3n2an=（x﹣3an）（x﹣n2）．
令f'n（x）=0，得x1=3an，x2=n2．
若3an＜n2，则
当x＜3an时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增；
当3an＜x＜n2时，f'n（x）＜0，fn（x）单调递减；
当x＞n2时，f'n（x）＞0，fn（x）单调递增．
故fn（x）在x=n2取得极小值．
所以a2=12=1
因为3a2=3＜22，则，a3=22=4
因为3a3=12＞32，则a4=3a3=3×4，
又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，
由此猜测：当n≥3时，an=4×3n﹣3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立，则由（2）知，ak+1=3ak＞k2，
从而3ak+1﹣（k+1）2＞3k2﹣（k+1）2=2k（k﹣2）+2k﹣1＞0，
所以3ak+1＞（k+1）2．
故当n≥3时，3an＞n2成立．
于是，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n﹣3．
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n﹣3（n≥3）．

（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．
事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n﹣3．
而要使3an＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．
记，则，．
令，则．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在这[2，+∞）上单调递减，
故当n≥2时，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为．
于是当a＞时，必有．这说明，当时，数列an是等比数列．
当a=时，可得，而3a2=4=22，由（3）知，f2（x）无极值，不合题意，
当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12，…，数列{an}不是等比数列．
当时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意．
当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，数列{an}不是等比数列．
综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

21．（14分）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．
【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），
∵0=300k+b，即b=﹣300k，
∴n=k（x﹣300）
y=（x﹣100）k（x﹣300）
=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）
∵k＜0，
∴x=200时，ymax=﹣10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k•75%
x2﹣400x+37500=0
解得x=250或x=150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元（16分）
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．

22．（14分）设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发．B一直向北直行；A先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝B所在的方向前进．
（1）若A在距离中心5km的地方改变方向，建立适当坐标系，求：A改变方向后前进路径所在直线的方程
（2）设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，且后来A恰与B相遇．问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）

【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】综合题；直线与圆．
【分析】（1）建立坐标系，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于5，即可求得直线方程；
（2）先确定PQ的斜率，设出直线方程，利用PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置，即可求得结论．
【解答】解：（1）建立如图坐标系，则P（5，0），
设直线方程为y=k（x﹣5）（k＜0），由圆心到直线的距离等于5，可得
∴k=±，∵k＜0，∴k=﹣
∴A改变方向后前进路径所在直线的方程为；
（2）由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，
再设A出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx0，0），（0，vx0+vy0）．
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，（3vx0）2+（vx0+vy0）2=（3vy0）2，
即（x0+y0）（5x0﹣4y0）=0．
∵x0+y0＞0，∴5x0=4y0…①
将①代入，∴．
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线与圆O：x2+y2=9相切，则有，∴．
答：A、B相遇点在村落中心正北距离千米处

【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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