吉林省延边2016届高三数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年吉林省延边州安图一中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知sin2α＜0，且cosα＞0，则α的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是( )
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④

3．已知||=1，||=2，=﹣，且⊥，则的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°

4．设函数f（x）在x=x0处可导，则( )
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关
C．仅与h有关而与x0无关 D．与x0、h均无关

5．若函数f（x）=sin（x+ϕ）是偶函数，则ϕ可取的一个值为 ( )
A．ϕ=﹣π B． C． D．

6．设x=，，z=，则x，y，z间的大小关系为( )
A．y＜z＜x B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．x＜z＜y

7．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的( )
A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心

8．设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是( )
A．函数f（x）一定是个偶函数
B．函数f（x）一定没有最大值
C．区间
（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．

18．已知向量，其中a＞0且a≠1，
（1）当x为何值时，；
（2）解关于x的不等式．

19．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°．
（1）求BC的长；
（2）若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中）．

20．（13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．

21．（14分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立，则称f（x）为“S﹣函数”．
（1）判断函数f1（x）=x，f2（x）=3x是否是“S﹣函数”；
（2）若f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；
（3）若定义域为R的函数f（x）是“S﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈时，f（x）的值域为，求当x∈时函数f（x）的值域．

2015-2016学年吉林省延边州安图一中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知sin2α＜0，且cosα＞0，则α的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】三角函数值的符号．
【专题】计算题．
【分析】利用二倍角的正弦公式将已知sin2α＜0转化为α的三角函数的符号，根据α的正弦为负，余弦为正，判断出角α的终边的位置．
【解答】解：∵sin2α＜0即2sinαcosα＜0
又cosα＞0
∴sinα＜0
∴α的终边第四象限
故选D
【点评】判断角的终边的位置，一般先判断出角的三角函数的符号，根据三角函数的符号判断出角的终边所在的象限．

2．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是( )
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】直接利用函数的图象的平移变换，由正弦曲线y=sinx的图象变为的图象，即可得到选项．
【解答】解：正弦曲线y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象，再将横坐标变为原来的，变为的图象；
将正弦曲线y=sinx的图象横坐标变为原来的，得到函数y=sin2x的图象，再向左平移，变为的图象；
故选A．
【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意两种变换的方式的区别．

3．已知||=1，||=2，=﹣，且⊥，则的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】根据两个向量垂直写出两个向量的数量积为0，整理出要的结果是两个向量的数量积是1，这两个向量的夹角的余弦就可以通过用两个向量的数量积除以两个向量的模长的积表示．根据角的范围得到结果．
【解答】解：∵=﹣，且⊥，
∴（﹣）•=0，
∴
∴=1，
∴cosθ==，
∵θ∈
∴θ=60°
故选B．
【点评】本题考查两个向量的数量积来表示两个向量的夹角，解决本题要注意的是求出两个向量的夹角的余弦值以后，注意写出夹角的范围，从而得到结果．

4．设函数f（x）在x=x0处可导，则( )
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关而与h无关
C．仅与h有关而与x0无关 D．与x0、h均无关
【考点】极限及其运算．
【专题】计算题．
【分析】利用导数与极限的关系和导数的定义可知f′（x0）=，由此进行判断．
【解答】解：∵函数f（x）在x=x0处可导，
∴可得f′（x0）=，
∴此极限仅与x0有关而与h无关，
故选B．
【点评】此题主要考查极限极其运算，利用导数的定义进行求解，在平时的学习中要注意基础知识的积累．

5．若函数f（x）=sin（x+ϕ）是偶函数，则ϕ可取的一个值为 ( )
A．ϕ=﹣π B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性．
【专题】计算题．
【分析】由题意函数是偶函数，利用诱导公式，函数必须化为余弦函数，初相为0，即可得到选项．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+ϕ）是偶函数，必须满足函数化为余弦函数，初相为0，即：f（x）=±cosx，所以B正确．
故选B
【点评】本题是基础题，考查三角函数的奇偶性，正确利用诱导公式化简是本题解答的关键，基本知识的考查．

6．设x=，，z=，则x，y，z间的大小关系为( )
A．y＜z＜x B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．x＜z＜y
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题．
【分析】根据对数的运用性质化简x，然后利用作差比较法可比较y与z的大小，从而得到三者大小关系．
【解答】解：x==﹣2，=，z=＞0，
∵﹣（）=2﹣=﹣＞0
∴y＞z＞x
故选D．
【点评】本题主要考查了比较大小，以及对数式的化简，比较大小的常用方法就作差比较，属于基础题．

7．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的( )
A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心
C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心
【考点】三角形五心．
【专题】压轴题．
【分析】根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．
【解答】解：由三角形“五心”的定义，我们可得：
（1）时，O为△ABC的重心；
（2）时，O为△ABC的垂心；
（3）时，O为△ABC的内心；
（4）时，O为△ABC的外心；
故选C
【点评】本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．

8．设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是( )
A．函数f（x）一定是个偶函数
B．函数f（x）一定没有最大值
C．区间不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．
（4）方程x2+ax+1=0，△=a2﹣4≥﹣4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f（x）=x2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．

9．如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），且存在两个不相等的自变量值y1，y2，使得f（y1）=f（y2），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数，已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A=1，2，3，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）共有( )
A．3个 B．7个 C．8个 D．9个
【考点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用．
【专题】阅读型；分类讨论．
【分析】根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三类，三对一的对应，二对一的对应，一对一的对应三种来研究，进而得到答案．
【解答】解：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种
若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种
1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种
1对2，{2，3}对3，有一种
若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种
综上这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种
故选D
【点评】本题考查函数单调性的性质，求解本题的关键是正确理解所给的定义，结合函数定义中对应的思想，对可能的函数进行列举，得出可能函数的种数，本题比较抽象，解题时要注意对其情况分类讨论，不重不漏，本题易因为分类不清，或者考虑情况不严密出错．

10．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：
时间
油耗（升/100公里）
可继续行驶距离（公里）
10：00
9.5
300
11：00
9.6
220
注：油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离，可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗，平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离．
从上述信息可以推断在10：00﹣11：00这1小时内( )
①行使了80公里； ②行使不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时．( )
A．①④ B．②③ C．②④ D．③⑤
【考点】进行简单的合情推理；变化的快慢与变化率．
【专题】应用题．
【分析】根据油耗=，可继续行驶距离=，平均油耗=．可以算出实际用油为7.38．行驶距离为，和平均油耗和平均车速．
【解答】解：实际用油为9.5×300﹣9.6×220=7.38．
行驶距离，所以①错误，②正确．
设L为已用油量，△L为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，△S为一个小时内已行的距离，
得L+△L=9.6S+9.6△S，9.5S+△L=9.6S+9.6△S，△L=0.1S+9.6△S，
∴．
所以③正确，④错误；
因为行驶的时间为1小时，由②知平均车速不超过80公里/小时，故⑤错误．
故选B．
【点评】本小题主要考查变化的快慢与变化率、进行简单的合情推理等基础知识，考查学生的阅读能力和代入公式的计算能力．属于基础题．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
11．函数y=的定义域为，通过两角和的正切函数，直接求解即可．
【解答】解：tan（α+β）=tan（α+β﹣π）
=tan
=
=
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查三角函数的角的变换的技巧，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．

14．给出下列四个命题：①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；②命题“若a=0，则a•b=0”的否命题是：“若a≠0，则a•b≠0”；③“”是“θ=30°”的充分不必要条件；
④∃x0∈（1，2），使得成立；其中正确命题的序号为①、②、④．
【考点】命题的否定；四种命题的真假关系．
【专题】压轴题．
【分析】逐一对四个命题的真假进行判断，即可得出答案．
【解答】解：①若命题“¬p”为真命题，则p为假命题
又∵命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题
②若a=0，则a•b=0”的否命题是：“若a≠0，则a•b≠0也正确．
③“”⇒“θ=30°”为假命题；“θ=30°”⇒“”为真命题
∴”是“θ=30°”的必要不充分条件；故③错误．
④将x0=1代入：成立
将x0=2代入：成立
由于函数y=在（1，2）上是连续的
故函数y=在（1，2）上存在零点
故∃x0∈（1，2），使得成立；
故④正确
故答案为：①、②、④
【点评】判断含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结构形式；③由真值表判断真假．

15．设y=f（x）在
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．

【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角．
【专题】证明题．
【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．
（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故．
即BC2=BE×CD．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．

17．设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式已经两角差的余弦函数化简表达式，然后应用两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的系数，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x∈，利用（Ⅰ）求出2x﹣的范围，利用正弦函数的最大值直接求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）
=sin2x﹣（cos2xcos）
=cos2x
=sin（2x﹣），
所以f（x）=sin（2x﹣）．
函数f（x）的最小正周期为T==π．…
（Ⅱ）因为x∈，所以2x﹣．
所以，当2x﹣，即x=时，sin（2x﹣）=1，
函数f（x）的最大值为1．…（13分）
【点评】本题是中档题，考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的周期以及函数的最大值的求法，考查计算能力．

18．已知向量，其中a＞0且a≠1，
（1）当x为何值时，；
（2）解关于x的不等式．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出x的值．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，将已知不等式平方展开，得到指数不等式；讨论底数与1的大小；利用指数函数的单调性求出解集．
【解答】解：（1）因为，
得a2x﹣a2=0，即a2x=a2．
所以2x=2，即x=1，∴当x=1时，．
（2）∵，∴，∴．
所以a2x﹣a2＜0，即a2x＜a2．
当0＜a＜1时，x＞1，当a＞1时，x＜1．
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，+∞）；
当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1）．（14分）
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查指数函数的单调性与底数与1的大小有关．

19．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°．
（1）求BC的长；
（2）若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中）．

【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题；应用题．
【分析】（1）求出∠ACB，利用正弦定理直接求出BC即可．
（2）通过直角三角形，利用两角和的正弦函数求出sin75°，然后求出这棵桃树顶端点C离地面的高度．
【解答】解：（1）在△ABC 中，∠CAB=45°，又∠DBC=75°则∠ACB=75°﹣45°=30°
由正弦定理得到，，将 AB=4 代入上式，
得到 BC=4 （米）
（2）在△CBD中，∠CDB=90°，BC=4，所以DC=4sin75°，
因为sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，
则DC=2+2，所以CE=≈3.70+3.464≈7.16米．
答：BC的长4米；这棵桃树顶端点C离地面的高度7.16米．
【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦函数，三角形的求法，考查计算能力．

20．（13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
【专题】综合题．
【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）先研究f（x）在区间上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，
由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，
∴a=﹣1
∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1
令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e
令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e
令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，
（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，
∵x∈，
∴﹣x∈，
∴ln（﹣x）∈，
①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，
fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1
②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，
fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2
③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a
∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，
∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0
∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，
∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）
综上：（14分）
【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．

21．（14分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立，则称f（x）为“S﹣函数”．
（1）判断函数f1（x）=x，f2（x）=3x是否是“S﹣函数”；
（2）若f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；
（3）若定义域为R的函数f（x）是“S﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈时，f（x）的值域为，求当x∈时函数f（x）的值域．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题．
【分析】（1）假设是S﹣函数，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f1（x）不是，对于f2（x）对于列出方程恒成立．
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，求出a，b．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．
【解答】解：（1）若f1（x）=x是“S﹣函数”，则存在常数（a，b），使得（a+x）（a﹣x）=b．
即x2=a2﹣b时，对x∈R恒成立．而x2=a2﹣b最多有两个解，矛盾，
因此f1（x）=x不是“S﹣函数”．
若f2（x）=3x是“S﹣函数”，则存在常数a，b使得3a+x•3a﹣x=32a，
即存在常数对（a，32a）满足．
因此f2（x）=3x是“S﹣函数”
（2）f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”，设有序实数对（a，b）满足：
则tan（a﹣x）tan（a+x）=b恒成立．
当a=时，tan（a﹣x）tan（a+x）=﹣cot2（x），不是常数．
因此，，
则有．
即（b•tan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立．
即，
当，时，tan（a﹣x）tan（a+x）=cot2（a）=1．
因此满足f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”的常数（a，b）=．
（3）函数f（x）是“S﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x）=4，
即f（1+x）•f（1﹣x）=4⇔f（x）f（2﹣x）=4，x∈时，2﹣x∈，，
∴x∈时，f（x）∈．（14分）．（16分）
因此x∈时，f（x）∈，（17分）．
综上可知当x∈时函数f（x）的值域为．（18分）
【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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