浙江省台州市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年浙江省台州市书生中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每题3分）
1．下列函数是幂函数的是( )
A． B．y=x3+x C．y=2x D．

2．若集合A={x|x≤2}，a=，则下列结论中正确的是( )
A．a⊆A B．{a}⊆A C．a∉A D．{a}∈A

3．下列四个图象中，是函数图象的是( )

A．（1）、（3）、（4） B．（1）、（2）、（3） C．（3）、（4） D．（1）

4．下列等式成立的是( )
A．log2[（﹣3）（﹣5）]=log2（﹣3）+log2（﹣5） B．log2（﹣10）2=2log2（﹣10）
C．log2[（﹣3）（﹣5）]=log23+log25 D．log2（﹣5）3=﹣log253

5．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是( )
A．f（x）= B．f（x）=x3 C．f（x）= D．f（x）=3x

6．设a=，b=log23，c=（）0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c

7．设集合A={x|y=x+1，x∈R}，B={y|y=x2+1，x∈R}，则A∩B=( )
A．{（O，1），（1，2）} B．{x|x≥1} C．{（1，2）} D．R

8．下列判断正确的是( )
A．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
B．函数f（x）=（1﹣x）是偶函数
C．函数f（x）=是奇函数
D．函数f（x）=x+是非奇非偶函数

9．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是( )
A． B． C． D．

10．设函数f（x）=，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]的值域为( )
A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1，0} D．{﹣2，0}

二、填空题（每题3分）
11．已知函数则f（1）=__________．

12．函数f（x）=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为__________．

13．若f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数则a=__________．

14．函数的定义域是__________．

15．=__________．

16．已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=__________．

17．已知，则a∈__________．

18．若x•log32015=1，则2015x+2015﹣x=__________．

19．已知偶函数f（x）满足f（x）=x3﹣8（x≥0），则f（x﹣2）＞0的解集为__________．

20．已知函数，则实数t的取值范围是__________．

三、解答题（每题8分）
21．求值：；
．

22．设全集为R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，
1）求：A∪B，∁R（A∩B）；
2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．

23．已知函数，
（1）利用函数单调性定义证明函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数；
（2）求函数在[﹣3，2]上的值域．

24．已知函数的定义域为M．
（1）求f（x）的定义域M；
（2）求当x∈M时，求函数g（x）=4x﹣a•2x+1（a为常数，且a∈R）的最小值．

25．已知函数（a＞0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．

2015-2016学年浙江省台州市书生中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每题3分）
1．下列函数是幂函数的是( )
A． B．y=x3+x C．y=2x D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】探究型；演绎法；函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数是形如y=xa的函数，逐一分析四个答案中的函数，可得答案．
【解答】解：函数的系数不是1，不是幂函数；
函数y=x3+x的解析式不是单调项，不是幂函数；
函数y=2x是指数函数，不是幂函数；
函数是幂函数；
故选：D
【点评】本题考查的知识点是幂函数，正确理解幂函数解析式的形式，是解答的关键．

2．若集合A={x|x≤2}，a=，则下列结论中正确的是( )
A．a⊆A B．{a}⊆A C．a∉A D．{a}∈A
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】利用集合A={x|x≤2}，a=，即可得出结论．
【解答】解：∵集合A={x|x≤2}，a=，
∴a∈A，{a}⊆A，
故选：B．
【点评】本题考查元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．

3．下列四个图象中，是函数图象的是( )

A．（1）、（3）、（4） B．（1）、（2）、（3） C．（3）、（4） D．（1）
【考点】函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】利用函数的定义，判断选项即可．
【解答】解：由函数的定义可知，（2）的图象，表示函数的图象，不满足函数的定义．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象与函数的定义的应用，是基础题．

4．下列等式成立的是( )
A．log2[（﹣3）（﹣5）]=log2（﹣3）+log2（﹣5） B．log2（﹣10）2=2log2（﹣10）
C．log2[（﹣3）（﹣5）]=log23+log25 D．log2（﹣5）3=﹣log253
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】利用对数的运算法则判断选项即可．
【解答】解：对数的真数大于0，所以A，B不正确，D不满足对数运算法则，所以D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，对数的定义，是基础题．

5．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是( )
A．f（x）= B．f（x）=x3 C．f（x）= D．f（x）=3x
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项．再根据指数函数的单调性即可得答案
【解答】解：对于选项A：≠=，∴选项A不满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
对于选项B：（x+y）3≠x3y3，∴选项B不满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
对于选项C：=，∴选项C满足f（x+y）=f（x）•f（y）；y=为单调递减函数，
对于选项D：3x•3y=3x+y，∴选项D满足f（x+y）=f（x）•f（y）；y=3x为单调递增函数
故选D．
【点评】本题考查了有理指数幂的运算性质，考查了基本初等函数的运算性质，是基础题．

6．设a=，b=log23，c=（）0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】根据对数函数的图象和性质可得a＜0，b＞1，根据指数函数的图象和性质可得0＜c＜1，从而可得a、b、c的大小关系．
【解答】解：由对数函数的图象和性质可得
a=＜=0，b=log23＞log22=1
由指数函数的图象和性质可得
0＜c=（）0.3＜（）0=1
∴a＜c＜b
故选B．
【点评】本题主要考查指对数函数的图象和性质在比较大小中的应用，一般来讲，考查函数的单调性，以及图象的分布，属中档题．

7．设集合A={x|y=x+1，x∈R}，B={y|y=x2+1，x∈R}，则A∩B=( )
A．{（O，1），（1，2）} B．{x|x≥1} C．{（1，2）} D．R
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|y=x+1，x∈R}，B={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|y=x+1，x∈R}，
B={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，
∴A∩B={x|x≥1}．
故选B．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

8．下列判断正确的是( )
A．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
B．函数f（x）=（1﹣x）是偶函数
C．函数f（x）=是奇函数
D．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据奇函数、偶函数的定义便可判断出A错误；根据奇函数、偶函数的定义域关于原点对称，便可判断出B，C错误；而对于D的判断，可求f（2），f（﹣2），通过这两个值的关系便可说明该函数非奇非偶．
【解答】解：A．f（x）=1，∴f（﹣x）=1；
∴f（﹣x）=f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x）；
∴该函数是偶函数，不是奇函数；
∴该选项错误；
B．解得，﹣1≤x＜1；
∴该函数定义域不关于原点对称；
∴该函数不是偶函数；
即该选项错误；
C．f（x）的定义域为{x|x≠2}；
∴定义域不关于原点对称；
∴该函数不是奇函数，该选项错误；
D．f（2）=，f（﹣2）=﹣2；
显然f（﹣2）≠f（2），且f（﹣2）≠﹣f（2）；
∴该函数为非奇非偶函数；
∴该选项正确．
故选D．
【点评】考查奇函数和偶函数的定义，以及奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称，在说明一个函数非奇非偶时，只需根据函数奇偶性的定义举反例说明即可．

9．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是( )
A． B． C． D．
【考点】指数函数的图像变换．
【专题】作图题．
【分析】先根据图象的平移规律得到y=2x﹣2的图象；再根据偶函数的性质得到y=f（|x|）的图象，最后再对y=f（|x|）中函数值大于0的图象不动，函数值小于0的沿x轴对折即可得到y=|f（|x|）|的图象．
【解答】解：
y=2x的图象如图①；把其向下平移2个单位得到f（x）=y=2x﹣2的图象，如图②；
因为y=f（|x|）是偶函数，把②的图象y轴右边的部分不动，左边的与右边的关于轴对称即可，即为图③；
把③中函数值大于0的图象不动，函数值小于0的沿x轴对折即可得到y=|f（|x|）|的图象，如图④．
故选A．

【点评】本题主要考查指数运算以函数图象的平移规律，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．

10．设函数f（x）=，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]的值域为( )
A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1，0} D．{﹣2，0}
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由于函数f（x）=，故对x的正、负、和0分类讨论，求出[f（x）]+[f（﹣x）]的值．
【解答】解：由于f（x）=
则当x＞0 0≤f（x）＜，[f（x）]=0，﹣[f（﹣x）]=1
当x＜0﹣＜f（x）＜0，[f（x）]=﹣1，﹣[f（﹣x）]=0
当x=0 f（x）=0，[f（x）]=0，﹣[f（﹣x）]=0
所以：当x=0 y=[f（x）]+[f（﹣x）]=0
当x＞0 y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]=0+1=1
当x＜0 y=[f（x）]﹣[f（﹣x）]=﹣1+0=﹣1
所以，y的值域：{0，1，﹣1}
故选C．
【点评】本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．

二、填空题（每题3分）
11．已知函数则f（1）=1．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．
【解答】解：函数，
则f（1）=log2（1+1）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

12．函数f（x）=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为（1，2）．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用a0=1（a≠0），取x=1，得f（1）=2，即可求函数f（x）的图象所过的定点．
【解答】解：当x=1时，f（1）=a1﹣1+1=a0+1=2，
∴函数f（x）=ax﹣1+1的图象一定经过定点（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．

13．若f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数则a=2．
【考点】指数型复合函数的性质及应用．
【专题】计算题．
【分析】根据指数函数的定义可得求解即可
【解答】解：根据指数函数的定义可得
∴a=2
故答案为：2
【点评】本题主要考查了指数函数的定义：形如y=ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．

14．函数的定义域是[﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得x≥﹣2且x≠±1．
∴函数的定义域是[﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）．
故答案为：[﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．

15．=．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：===．
故答案为：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题..

16．已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】先利用多项式函数是偶函数的特点：不含奇次项得到b=0，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a的值，求出a，b即得．
【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数
∴其定义域关于原点对称，故a﹣1=﹣2a，
又其奇次项系数必为0，故b=0
解得 ，b=0
∴a+b=
故答案为：．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、多项式函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．

17．已知，则a∈．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．
【分析】把不等式两边化为同底数，然后分类利用对数函数的性质求得a的范围．
【解答】解：由=logaa，
当a＞1时，不等式成立；
当0＜a＜1时，得0．
∴的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．

18．若x•log32015=1，则2015x+2015﹣x=．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据对数的定义和对数的运算性质计算即可．
【解答】解：x•log32015=1，
∴=log32015，
∴x=log20153，
∴2015x=3，2015﹣x=，
∴2015x+2015﹣x=3+=．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于基础题．

19．已知偶函数f（x）满足f（x）=x3﹣8（x≥0），则f（x﹣2）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由已知条件，结合偶函数的对称性可知|x﹣2|＞2，解不等式即可求解
【解答】解：因为f（x）为偶函数，
且当x≥0时f（x）=x3﹣8为增函数，
则x≤0时，f（x）为减函数；
∵f（x﹣2）＞0=f（2），
所以可得：|x﹣2|＞2，
解得：x＜0，或x＞4
故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）
【点评】本题主要考查了偶函数的对称性的应用，解题的关键是明确已知不等式的转化条件

20．已知函数，则实数t的取值范围是[，+∞）．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】令g（x）=2x+1﹣2t，由题意函数的值域为R，则可得g（x）可以取所有的正数可得，即函数g（x）=2x+1﹣2t的值域B满足：（0，+∞）⊆B，由此构造关于t的不等式，解不等式可求．
【解答】解：令g（x）=2x+1﹣2t
由题意函数的值域为R，则可得g（x）可以取所有的正数
令函数g（x）=2x+1﹣2t的值域B，则（0，+∞）⊆B
∵B=（1﹣2t，+∞）
∴1﹣2t≤0
解得t≥，
故实数t的取值范围是[，+∞）
故答案为：[，+∞）
【点评】本题主要考查了由指数函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质，解题时要注意区别与函数的定义域为R的限制条件．

三、解答题（每题8分）
21．求值：；
．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】分别根据对数和指数幂的运算性质计算即可．
【解答】值：=2﹣2+1=1，
=﹣×++π﹣3=﹣+10+π﹣3=π﹣2
【点评】本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．

22．设全集为R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，
1）求：A∪B，∁R（A∩B）；
2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
【考点】子集与交集、并集运算的转换．
【专题】计算题；集合．
【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集，并集，以及交集的补集即可；
（2）B∪C=C，则B⊆C，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}，全集为R，
∴A∪B={x|x≥﹣1}，A∩B={x|2≤x＜3}，CR（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；
（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，
∵B∪C=C，
∴B⊆C，
∴﹣＜2，
∴a＞﹣4．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

23．已知函数，
（1）利用函数单调性定义证明函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数；
（2）求函数在[﹣3，2]上的值域．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据增函数的定义，设任意的x1＜x2≤0，然后作差，通分，分解因式，从而证明f（x1）＜f（x2）便可得到f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；
（2）容易看出f（x）为偶函数，从而由（1）可以得到f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而x=0时f（x）取最大值，再比较f（﹣3），f（2）便可得出f（x）的最小值，从而得出该函数在[﹣3，2]上的值域．
【解答】解：（1）证明：设x1＜x2≤0，则：
=；
∵x1＜x2≤0；
∴x2﹣x1＞0，x1+x2＜0；
又；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0]上是增函数；
（2）由f（x）是偶函数得，f（x）在（﹣∞，0]上增，在（0，+∞）上减；
∴fmax（x）=f（0）=1，f（﹣3）=，f（2）=；
∴∴；
∴f（x）的值域为．
【点评】考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性，根据单调性求函数在闭区间上的最值从而求出函数值域的方法．

24．已知函数的定义域为M．
（1）求f（x）的定义域M；
（2）求当x∈M时，求函数g（x）=4x﹣a•2x+1（a为常数，且a∈R）的最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据根式的被开方式非负，列出不等式求出解集即可；
（2）由x∈M时，求出2x的取值范围，由此讨论a的取值，从而求出g（x）的最小值即可．
【解答】解：（1）∵函数，
∴﹣x2+4x﹣3≥0，
即（x﹣1）（x﹣3）≤0，
解得1≤x≤3，
∴f（x）的定义域M=[1，3]；
（2）当x∈M时，即x∈[1，3]，∴2x∈[2，8]．
∴函数g（x）=4x﹣a•2x+1=（2x）2﹣2a•2x=（2x﹣a）2﹣a2；
当a≤2时，g（x）在x∈[1，3]上是增函数，
∴g（x）的最小值是g（1）=4﹣4a；
当2＜a＜8时，g（x）在x∈[1，3]上先减后增，
∴g（x）的最小值是﹣a2；
当a≥8时，g（x）在x∈[1，3]上是减函数，
∴g（x）的最小值是g（3）=64﹣16a；
则有
【点评】本题考查了求函数的定义域和最小值的求法，也考查了分类讨论思想的应用，是综合性题目．

25．已知函数（a＞0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】综合题；分类讨论；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由真数可以取到不等于1的所有正实数得函数的值域，分析出真数的单调性，由复合函数的单调性得到原函数的单调期间；
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，可得0＜a＜1，问题转化为m，n是f（x）=1+logax的两根，进一步整理得到ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，然后利用三个二次结合得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．
【解答】解：（1）∵≠1，∴，
则的值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
由，解得x＜﹣1或x＞1，且1﹣在（﹣∞，0）、（0，+∞）上为增函数，
∴当a＞1时，f（x）的增区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的减区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，
由m＜n，及1+logan＜1+logam，得0＜a＜1，
∴f（m）=1+logam，f（n）=1+logan，
∴m，n是f（x）=1+logax的两根，
∴，化简得ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，
设G（x）=ax2+（a﹣1）x+1，则，解得．
∴存在实数a∈（0，3﹣），使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]．
【点评】本题考查函数的定义域、值域及其求法，考查了复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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