河南省信阳市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年河南省信阳市高一（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2m，m∈N}，则A∩B=( )
A．{0} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}

2．函数的定义域为( )
A．（﹣5，+∞） B．[﹣5，+∞） C．（﹣5，0） D．（﹣2，0）

3．函数y=﹣xcosx的部分图象是( )
A． B． C． D．

4．如f（x）=则f（﹣3）=( )
A．2 B． C．8 D．

5．设a=20.3，b=0.32，c=log23，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b

6．下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f（x）=，g（x）=x B．f（x）=x，g（x）=
C．f（x）=，g（x）=• D．f（x）=x，g（x）=

7．如果幂函数的图象不过原点，则m取值是( )
A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1

8．已知函数y=x2﹣6x+8在[1，a]为减函数，则a的取值范围是( )
A．a≤3 B．1＜a≤3 C．a≥3 D．0≤a≤3

9．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数
C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数

10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0

11．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上递增，若f（）=0，f（logx）＜0，那么x的取值范围是( )
A．＜x＜2 B．x＞2 C．＜x＜1 D．x＞2或＜x＜1

12．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N+）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：
①y=x3；②y=（）x；③y=；④y=ln|x|，其中是二阶整点的函数的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的单调递减区间是__________．

14．设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=__________．

15．f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数）（b为常数），则f（﹣1）=__________．

16．给出下列命题：
①已知集合M满足∅⊊M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有6个；
②已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（﹣12，0）；
③函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，2）；
④已知函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t），则f（1）＞f（4）＞f（3）．
其中正确的命题序号是__________（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知集合A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2m+1＜x＜m}，全集为实数集R．
（1）若m=5，求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）若A∩B=A，求m的取值范围．

18．已知函数（a＞0且a≠1）
（1）f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

19．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；
若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

20．设y1=loga（3x+1），y2=loga（﹣3x），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；
（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．

21．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g（x）有一个零点？二个零点？三个零点？

22．若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f（4）=时，解不等式f（x﹣3）•f（5）≤．

2015-2016学年河南省信阳市高一（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2m，m∈N}，则A∩B=( )
A．{0} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据B中x=2m，m∈N，得到B为非负偶数集，找出A与B的交集即可．
【解答】解：∵A={0，1，2}，集合B={x|x=2m，m∈N}={0，2，4，6，…}，
∴A∩B={0，2}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．函数的定义域为( )
A．（﹣5，+∞） B．[﹣5，+∞） C．（﹣5，0） D．（﹣2，0）
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【专题】计算题．
【分析】列出使得原函数有意义的条件，解不等式组即可
【解答】解：由题意得：，解得x＞﹣5
∴原函数的定义域为（﹣5，+∞）
故选A
【点评】本题考查函数定义域，求函数的定义域，需满足分式的分母不为0、偶次根式的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，0次幂的底数不为0．属简单题

3．函数y=﹣xcosx的部分图象是( )
A． B． C． D．
【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．
【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；
又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方
故应选D．
【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．

4．如f（x）=则f（﹣3）=( )
A．2 B． C．8 D．
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，应先进行﹣3与2的大小关系的确定，再代入相应的解析式求解．
【解答】解：∵﹣3＜2，∴f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1），
而﹣1＜2，∴f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），
又∵1＜2，∴f（1）=f（3），
而3≥2，∴f（3）=2﹣3=．
故选：B．
【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

5．设a=20.3，b=0.32，c=log23，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵1＜a=20.3＜20.5=，0＜b=0.32＜1，c=log23＞=，
∴c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f（x）=，g（x）=x B．f（x）=x，g（x）=
C．f（x）=，g（x）=• D．f（x）=x，g（x）=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
【解答】解：A．f（x）==|x|，g（x）=x，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数．
B．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以定义域不同，所以B不是同一函数．
C．由x2﹣4≥0，解得x≥2或x≤﹣2，由，解得x≥2，两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．
D．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为R，且g（x）==x，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．
故选D．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

7．如果幂函数的图象不过原点，则m取值是( )
A．﹣1≤m≤2 B．m=1或m=2 C．m=2 D．m=1
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】计算题．
【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．
【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以
解得m=1或2，符合题意．
故选B．
【点评】本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．

8．已知函数y=x2﹣6x+8在[1，a]为减函数，则a的取值范围是( )
A．a≤3 B．1＜a≤3 C．a≥3 D．0≤a≤3
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由二次函数在[1，a]为减函数可知[1，a]在对称轴左侧．
【解答】解：y=x2﹣6x+8图象开口向上，对称轴为x=3，
∵y=x2﹣6x+8在[1，a]为减函数，
∴1＜a≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，是基础题．

9．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f（x）f（﹣x）是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数
C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】令题中选项分别为F（x），然后根据奇偶函数的定义即可得到答案．
【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），
即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，
B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，
C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，
D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，
故选D．
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算．

10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点 可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．
【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0
∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）
故选B．
【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．

11．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上递增，若f（）=0，f（logx）＜0，那么x的取值范围是( )
A．＜x＜2 B．x＞2 C．＜x＜1 D．x＞2或＜x＜1
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|），
∴f（logx）=f（|logx|）．
∵f（）=0，
∴不等式f（logx）＜0等价为f（|logx|）＜f（），
又∵函数f（x）在[0，+∞）上递增，
∴|logx|＜，得：＜logx＜，
解得＜x＜2．
故选A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．

12．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N+）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：
①y=x3；②y=（）x；③y=；④y=ln|x|，其中是二阶整点的函数的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】导数的运算．
【专题】整体思想；导数的概念及应用．
【分析】首先，结合二阶整数点函数的概念，对所给的函数进行逐个验证即可．
【解答】解：对于函数y=x3，当x∈Z时，一定有y=x3∈Z，即函数y=x3通过无数个整点，它不是二阶整点函数；
对于函数y=（）x；，当x=0，﹣1，﹣2，时，y都是整数，故函数y通过无数个整点，它不是二阶整点函数；
③y==﹣1+，当x=0，2，时，y都是整数，它是二阶整点函数；
④y=ln|x|，当x=﹣1，1时，y都是整数，
它是二阶整点函数；
故只有③④是二阶整数点函数，
故选B．
【点评】本题重点考查了函数的基本性质、二阶整数点的概念及信息的理解与处理能力，属于中档题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的单调递减区间是（﹣∞，1）．
【考点】复合函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，解得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，
设t=x2﹣3x+2，则函数y=log2t为增函数，
要求函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的递减区间，根据复合函数单调性之间的关系，即求函数t=x2﹣3x+2的减区间，
∵函数t=x2﹣3x+2的减区间为（﹣∞，1），
∴函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的单调递减区间是（﹣∞，1），
故答案为：（﹣∞，1）
【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．

14．设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=4．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值，利用条件建立等量关系，解对数方程即可．
【解答】解：∵a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa=1，
它们的差为，
∴，a=4，
故答案为4
【点评】本题考查了对数函数的单调性，以及函数最值及其几何意义，属于基础题．

15．f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数）（b为常数），则f（﹣1）=﹣3．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数的奇函数，将f（﹣1）转化为f（1）进行求值．
【解答】解：因为函数f（x）是奇函数，
所以f（0）=1+b=0，即b=﹣1
且f（﹣1）=﹣f（1），
因为x≥0时，f（x）=2x+2x+b，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2+b）=﹣4﹣b=﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质．

16．给出下列命题：
①已知集合M满足∅⊊M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有6个；
②已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（﹣12，0）；
③函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，2）；
④已知函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t），则f（1）＞f（4）＞f（3）．
其中正确的命题序号是①④（写出所有正确命题的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】①，依题意，可例举出样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，可判断①；
②，通过对a=0与a≠0的讨论，可求得实数a的取值范围是（﹣12，0]，可判断②；
③，利用对数型函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1）可判断③；
④，利用二次函数的对称性与单调性可判断④．
【解答】解：对于①，∵集合M满足∅⊊M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，故①正确；
对于②，∵函数f（x）=的定义域是R，
∴当a=0时，f（x）=，其定义域是R，符合题意；
当a≠0时，或，解得a∈（﹣12，0）；
综上所述，实数a的取值范围是（﹣12，0]，故②错误；
对于③，函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1），故③错误；
对于④，∵函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t），
∴函数f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=3，f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（1）=f（5）＞f（4）＞f（3），故④正确．
故答案为；①④．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数与二次函数的对称性、单调性、恒过定点等性质，考查恒成立问题与集合间的关系，考查转化思想．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知集合A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2m+1＜x＜m}，全集为实数集R．
（1）若m=5，求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）若A∩B=A，求m的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】（1）将m=5，代入集合B化简，然后求解即可，（2）由A∩B=A，得A⊆B，利用子集概念求解．
【解答】解：（1）∵m=5，
∴A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣9＜x＜5}，
∴A∪B={x|﹣9＜x≤7}，
又∵∁RA={x|x＜1，或x＞7}，
∴（∁RA）∩B={x|﹣9＜x＜1}，
（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，
∴，
∴，
∴m＞7．
【点评】本题考查集合的包含关系，以及交并补的运算，属于基础题目，熟练运用概念求解，也可利用数轴辅助求解．

18．已知函数（a＞0且a≠1）
（1）f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
【考点】对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．
【专题】综合题．
【分析】（1）由能够得到原函数的定义域．
（2）求出f（﹣x）和f（x）进行比较，二者互为相反数，所以F（x）是奇函数．
【解答】解：（1），解得﹣1＜x＜1，∴原函数的定义域是：（﹣1，1）．
（2）f（x）是其定义域上的奇函数．
证明：，
∴f（x）是其定义域上的奇函数．
【点评】本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意对数函数的不等式．

19．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；
若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；
（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象得
，解得k=﹣1，b=180
∴函数关系式为y=﹣x+180…
（2）W=（x﹣100）（﹣x+180）=﹣x2+280x﹣18000=﹣（x﹣140）2+1600
当售价定为140元，W最大=1600
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元…
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．

20．设y1=loga（3x+1），y2=loga（﹣3x），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；
（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由y1=y2，即loga（3x+1）=loga（﹣3x），可得3x+1=﹣3x，由此求得x的值，检验可得结论．
（2）分当0＜a＜1时、和当a＞1时两种情况，分别利用对数函数的定义域及单调性，化为与之等价的不等式组，从而求得原不等式的解集．
【解答】解：（1）∵y1=y2，即loga（3x+1）=loga（﹣3x），∴3x+1=﹣3x，
解得，
经检验3x+1＞0，﹣3x＞0，所以，x=﹣是所求的值．
（2）当0＜a＜1时，∵y1＞y2，即loga（3x+1）＞loga（﹣3x），
∴解得．
当a＞1时，∵y1＞y2，即loga（3x+1）＞loga（﹣3x），
∴解得．
综上，当0＜a＜1时，；当a＞1时，．
【点评】本题主要考查对数方程、对数不等式的解法，体现了转化及分类讨论的数学思想，属于中档题．

21．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g（x）有一个零点？二个零点？三个零点？

【考点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】（Ⅰ）先设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，由函数f（x）为奇函数可得f（x）=﹣f（﹣x），可求，结合二次函数的图象可作出f（x）的图象
（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k，结合函数的图象可，要求g（x）=f（x）﹣k的零点个数，只要结合函数的图象，判断y=f（x）与y=k的交点个数
【解答】解：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
∵函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x
∴函数的图象如图所示
（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k
结合函数的图象可知
①当k＜﹣1或k＞1时，y=k与y=f（x）的图象有1个交点，即g（x）=f（x）﹣k有1个零点
②当k=﹣1或k=1时，y=k与y=f（x）有2个交点，即g（x）=f（x）﹣k有2个零点
③当﹣1＜k＜1时，y=k与y=f（x）有3个交点，即g（x）=f（x）﹣k有3个零点

【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，函数的零点个数的判断，体现了数形结合思想的应用

22．若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f（4）=时，解不等式f（x﹣3）•f（5）≤．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）f（x）=f（+）=f2（），结合函数f（x）为非零函数可得；
（2）利用函数的单调性的定义证明；
（3）由f（4）=可得f（2）=，从而化简不等式f（x﹣3）•f（5）≤为f（x﹣3+5）≤f（2），从而利用单调性求解．
【解答】解：（1）证明：f（x）=f（+）=f2（）＞0，
（2）证明：∵f（0）=f2（0），∴f（0）=1；
∴f（b﹣b）=f（b）•f（﹣b）=1；
∴f（﹣b）=；
任取x1＜x2，则x1﹣x2＜0，
∴=f（x1﹣x2）＞1，
又∵f（x）＞0恒成立，
∴f（x1）＞f（x2）；
则f（x）为减函数；
（3）由f（4）=f2（2）=，则f（2）=，
原不等式转化为f（x﹣3+5）≤f（2），
结合（2）得：x+2≥2，
∴x≥0；
故不等式的解集为{x|x≥0}．
【点评】本题考查了函数单调性的证明与应用，属于中档题．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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