湖南省邵阳市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年湖南省邵阳市邵东三中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案涂在答题卡相应位置）
1．已知全集为R，集合A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，则A∪B=( )
A．R B．{x|﹣2≤x≤1} C．A D．B
2．已知全集I={0，1，2}，A={1}，B⊆I且满足A∩B={1}的B共有个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列等式成立的是( )
A．log2（8﹣4）=log28﹣log24 B．
C．log28=3log22 D．log2（8+4）=log28+log24
4．设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．小明从家骑自行车到学校，出发后心情轻松，缓缓行进，后来怕迟到开始加速行驶，下列哪一个图象是描述这一现象的( )
A． B． C． D．
6．若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确的是( )
A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点
B．函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点
C．函数f（x）在区间[2，16）内无零点
D．函数f（x）在区间（1，16）内无零点
7．函数f（x）=，则f{f[f（﹣1）]}等于( )
A．0 B．﹣1 C．2 D．4
8．幂函数y=xa（α是常数）的图象( )
A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（1，1）
C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，﹣1）
9．已知lgx﹣lg2y=1，则的值为( )
A．2 B．5 C．10 D．20
10．函数y=的值域是( )
A．[0，+∞） B．[0，4] C．（0，4） D．[0，4）
11．若定义在区间（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）为减函数，则a的取值范围是( )
A．（0，） B．（0，] C．（ ，+∞） D．（0，+∞）
12．已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为( )
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡对应题中横线上）
13．已知集合A={x|y=}，B={y=|y=﹣x2+1}，则A∩B=__________．
14．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为___________．
15．函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a在[5，20]具有单调性，则a的取值范围是__________．
16．不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为__________．
三、解答题（共6个小题，共56分，把每个题的答案答在答题卡相应题号上，每个题要求写出必要的解题过程、计算过程及理由，否则不给分）
17．已知全集U=R，A={x|x≥1}，B={x|2ax﹣5＞0}，
（1）若a=1，求A∩（∁UB）．
（2）若A⊆B，求a的取值范围．
18．若全集U=R，函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的值域为B，求A∪B和∁U（A∩B）．
19．解方程
（1）=
（2）log4（3﹣x）=log4（2x+1）+log4（3+x）
20．邵东某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为360元，每桶水进价4元，销售单价与日均销量的关系如表所示
销售单价/元
5
6
7
8
9
10
11
日均销售量/桶
360
320
280
240
200
160
120
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价（单价要为整元）才能获得最大利润？最大利润为多少？
21．已知函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
22．已知定义域为R的函数f（x）=+a是奇函数，
（1）求a的值．
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣6t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

2015-2016学年湖南省邵阳市邵东三中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案涂在答题卡相应位置）
1．已知全集为R，集合A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，则A∪B=( )
A．R B．{x|﹣2≤x≤1} C．A D．B
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．
【解答】解：∵全集为R，A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，
∴A∪B=R，
故选：A．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．已知全集I={0，1，2}，A={1}，B⊆I且满足A∩B={1}的B共有个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；集合．
【分析】由题意找出I的子集，使其子集中含有元素1，即为所求集合B，找出个数即可．
【解答】解：∵全集I={0，1，2}，A={1}，B⊆I，且满足A∩B={1}，
∴B={1}，{0，1}，{1，2}，{0，1，2}，共4个，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．下列等式成立的是( )
A．log2（8﹣4）=log28﹣log24 B．
C．log28=3log22 D．log2（8+4）=log28+log24
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】根据对数的运算性质，看出两个数的积，商的对数等于对数的和与差，真数有指数时，指数要提到对数前面去，考查最基本的运算，分析后得到结果．
【解答】解：log2（8﹣4）≠log28﹣log24=log22．故A不正确，
，故B不正确，
log28=3log22．C正确
log2（8+4）=log28+log24，D不正确
故选C．
【点评】本题考查对数的运算性质，本题解题的关键是熟练应用对数的性质，能够辨别真假，本题是一个基础题，若出现则是一个送分题目．
4．设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．
【专题】计算题．
【分析】将B用列举法表示后，作出判断．
【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1}
B的元素个数是3
故选C．
【点评】本题考查集合的含义、表示方法．属于简单题．
5．小明从家骑自行车到学校，出发后心情轻松，缓缓行进，后来怕迟到开始加速行驶，下列哪一个图象是描述这一现象的( )
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】本题是一个用函数图象表示运动变化规律的题型，把运动变化的规律与转化为函数图象的变化，作出判断即可得出符合运动过程的选项；
【解答】解：小明从家骑自行车到学校，出发后心情轻松，缓缓行进，后来怕迟到开始加速行驶，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象B
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案．
6．若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确的是( )
A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点
B．函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点
C．函数f（x）在区间[2，16）内无零点
D．函数f（x）在区间（1，16）内无零点
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】可判断函数f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，从而解得．
【解答】解：∵函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，
∴函数f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，
∴函数f（x）在区间[2，16）内无零点，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的位置的判断与应用．

7．函数f（x）=，则f{f[f（﹣1）]}等于( )
A．0 B．﹣1 C．2 D．4
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（﹣1）=0，
f[f（﹣1）]=f（0）=4，
f{f[f（﹣1）]}=f（4）==2．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
8．幂函数y=xa（α是常数）的图象( )
A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（1，1）
C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，﹣1）
【考点】幂函数的图像．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．
【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．
故选B．
【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．
9．已知lgx﹣lg2y=1，则的值为( )
A．2 B．5 C．10 D．20
【考点】对数的运算性质．
【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数方程化简求解即可．
【解答】解：lgx﹣lg2y=1，可得lg=1，
可得=20．
故选：D．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，对数方程的求法，是基础题．
10．函数y=的值域是( )
A．[0，+∞） B．[0，4] C．（0，4） D．[0，4）
【考点】函数的值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】首先易知4x恒大于0，再用观察分析法求值域即可．
【解答】解：当x=2时，函数有最小值0，当x趋向于﹣∞时，y趋向于4，
函数y=的值域是[0，4）
故选：D．
【点评】本题考查简单函数的值域问题，属基础题．
11．若定义在区间（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）为减函数，则a的取值范围是( )
A．（0，） B．（0，] C．（ ，+∞） D．（0，+∞）
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】根据复合函数单调性同增异减的原则，根据内函数为增函数，可得外函数为减函数，进而得到答案．
【解答】解：∵t=x+1在区间（﹣1，0）内为增函数，
且t=x+1＞0在区间（﹣1，0）内恒成立，
因为函数f（x）=log2a（x+1）在区间（﹣1，0）内为减函数，
故0＜2a＜1，
解得：a∈（0，），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
12．已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为( )
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
【考点】对数的概念；对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据新定义当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数，先求出各对数值或所处的范围，再用取整函数求解．
【解答】解：由题意可得：[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
=﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2
=﹣1
故选：A
【点评】本题是一道新定义题，这类题目要严格按照定义操作，转化为已知的知识和方法求解，还考查了对数的运算及性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡对应题中横线上）
13．已知集合A={x|y=}，B={y=|y=﹣x2+1}，则A∩B=∅．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中y=，得到x﹣2≥0，即x≥2，
∴A=[2，+∞），
由B中y=﹣x2+1≤1，得到B=（﹣∞，1]，
则A∩B=∅，
故答案为：∅．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
14．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，
则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），
即a=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
15．函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a在[5，20]具有单调性，则a的取值范围是（﹣∞，5]∪[20，+∞）．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可求出f（x）的对称轴为x=a，二次函数在对称轴的一边具有单调性，从而可以得出a≤5，或a≥20，这样便求出了a的取值范围．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=a；
f（x）在[5，20]上具有单调性；
∴a≥20，或a≤5；
∴a的取值范围为：（﹣∞，5]∪[20，+∞）．
故答案为：（﹣∞，5]∪[20，+∞）．
【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性特点，要熟悉二次函数的图象．
16．不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为（﹣∞，﹣1）．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由已知得3﹣2x﹣2＞3﹣x﹣1，由指数函数的性质得到﹣2x﹣2＞﹣x﹣1，由此能求出不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集．
【解答】解：∵3﹣2x﹣2＞（）x+1，
∴3﹣2x﹣2＞3﹣x﹣1，
∴﹣2x﹣2＞﹣x﹣1，
解得x＜﹣1．
∴不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要注意指数函数的性质的合理运用．
三、解答题（共6个小题，共56分，把每个题的答案答在答题卡相应题号上，每个题要求写出必要的解题过程、计算过程及理由，否则不给分）
17．已知全集U=R，A={x|x≥1}，B={x|2ax﹣5＞0}，
（1）若a=1，求A∩（∁UB）．
（2）若A⊆B，求a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【专题】综合题；分类讨论；综合法；集合．
【分析】（1）求出B，∁UB，即可求A∩（∁UB）．
（2）若A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，B={x|x＞2.5}，
∁UB={x|x≤2.5}，A∩（∁UB）={x|1≤x≤2.5}．
（2）当a≤0时，条件不成立；
当a＞0时，B={x|x＞}．
∵A⊆B，∴＜1，∴a＞2.5．
【点评】本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
18．若全集U=R，函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的值域为B，求A∪B和∁U（A∩B）．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；函数的性质及应用；集合．
【分析】求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B，找出两集合的交集，并集，求出交集的补集即可．
【解答】解：f（x）=的定义域满足，
解得：x≥1，即A={x|x≥1}，
由函数g（x）==，得到0≤g（x）≤2，
即B={x|0≤x≤2}，
∴A∪B={x|x≥0}，A∩B={x|1≤x≤2}，
则∁U（A∩B）={x|x＜1或x＞2}．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19．解方程
（1）=
（2）log4（3﹣x）=log4（2x+1）+log4（3+x）
【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．
（2）利用对数运算法则，化简求解方程的解即可．
【解答】解：（1）=，可得x2﹣3x=﹣2，
解得x=2或x=1；
（2）log4（3﹣x）=log4（2x+1）+log4（3+x），
可得log4（3﹣x）=log4（2x+1）（3+x），
∴3﹣x=（2x+1）（3+x），
得x=﹣4或x=0，经检验x=0为所求．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数方程的解法，考查计算能力．
20．邵东某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为360元，每桶水进价4元，销售单价与日均销量的关系如表所示
销售单价/元
5
6
7
8
9
10
11
日均销售量/桶
360
320
280
240
200
160
120
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价（单价要为整元）才能获得最大利润？最大利润为多少？
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）若设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则日均销售量P360﹣40（x﹣1）=400﹣40x，（0＜x＜8，x∈N），
（2）y=（400﹣40x）x﹣360=﹣40x2+400x﹣360，（0＜x＜8，x∈N），配方函数y，可得x取何值时，y有最大值，即获得最大利润．
【解答】解：（1）销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶．
设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
这时日均销售量P=360﹣40（x﹣1）=400﹣40x，（0＜x＜8，x∈N），
（2）y=（400﹣40x）x﹣360=﹣40x2+400x﹣360，（0＜x＜8，x∈N），
由y=﹣40（x﹣5）2+640，
易知，当x=5时，即定价为9元时，获得利润最大，最大利润为640元．
【点评】本题考查了二次函数模型的应用，二次函数求最值时，通常考虑对称轴是否在定义域内，若在，对称轴对应的函数值是最值．
21．已知函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
【考点】对数函数的图像与性质；函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据对数的真数为正数确定f（x）的定义域，根据真数的范围确定函数的值域；
（2）利用奇偶性定义证明f（x）为偶函数．
【解答】解：（1）根据函数式，自变量x需满足：，
解得，x∈（﹣3，3），即函数的定义域为（﹣3，3），
又f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）=log3（9﹣x2）
∵9﹣x2∈（0，9]，∴log3（9﹣x2）∈（﹣∞，2]，
即f（x）的值域为（﹣∞，2]；
（2）由（1）可知函数f（x）的定义域关于原点对称，
且f（﹣x）=log3（3﹣x）+log3（3+x）=f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
【点评】本题主要考查了函数定义域，值域的求法，函数奇偶性的判断与证明，对数的运算性质，属于中档题．
22．已知定义域为R的函数f（x）=+a是奇函数，
（1）求a的值．
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣6t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0，即可求a的值．
（2）f（x）是R上的减函数，利用定义加以证明；
（3）由于f（x）是R上的减函数且为奇函数，故不等式f（t2﹣6t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣6t）＜f（k﹣2t2）所以t2﹣6t＞k﹣2t2即k＜3t2﹣6t=3（t﹣1）2﹣3恒成立，即可求k的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0
即，所以a=﹣1
又f（﹣x）=﹣f（x）成立，所以a=﹣1
（2）f（x）是R上的减函数．
证明：设x1＜x2，
因为x1＜x2，所以，故f（x1）＞f（x2）
所以f（x）是R上的减函数；
（3）由于f（x）是R上的减函数且为奇函数
故不等式f（t2﹣6t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣6t）＜f（k﹣2t2）
所以t2﹣6t＞k﹣2t2即k＜3t2﹣6t=3（t﹣1）2﹣3恒成立
所以k＜﹣3k的取值范围为（﹣∞，﹣3）
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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