河北省保定市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年河北省保定市定州市高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分）
1．若集合U={0，1，2，3，4，5，6}，M={0，1，2，3}，N={1，3，5}，则M∪∁UN等于( )
A．{0，1，2，3，4，5} B．{0，1，2，4，6} C．{0，1，2，3，4，6} D．{0，1，2，4，5，6}

2．下列函数与函数y=x相等的是( )
A．y=logaax（a＞0，a≠1） B．y=
C．y= D．

3．下列函数中，既是偶数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A． B．y=ex C．y=﹣x2 D．y=lg|x|

4．设f（x）=2x+3x﹣8，则方程f（x）=0的根落在区间( )
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

5．如果幂函数f（x）=xn的图象经过点（2，），则f（4）的值等于( )
A．16 B．2 C． D．

6．设函数f（x）=，则f（f（3））=( )
A． B．3 C． D．

7．函数f（x）=+的定义域为( )
A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]

8．已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a

9．函数f（x）=ax3+bx++5，满足f（﹣3）=2，则f（3）的值为( )
A．﹣2 B．8 C．7 D．2

10．，满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是( )
A．（1，3） B．（1，2] C．[2，3） D．（1，+∞）

11．若函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是( )
A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠1 C．1＜a＜2 D．a≥2

12．已知，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的解，则满足b，c的条件是( )
A．b＜0，c＜0 B．b＜0，c=0 C．b＞0，c=0 D．b＞0，c＜0

二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知函数f（x+1）=3x+4，则f（x）的解析式为__________．

14．计算0.25﹣2﹣lg16﹣2lg5+log23•log34=__________．

15．若{1，a，}={0，a2，a+b}，则a2015+b2015的值为__________．

16．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__________．

三、解答题（本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤．）
17．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}．
（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

18．已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

19．某旅游点有50辆自行车供游客租货使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求证：f（8）=3．
（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．

21．已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．设f（x）=．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣2，2]上有解，求实数k的取值范围．

2015-2016学年河北省保定市定州市高一（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分）
1．若集合U={0，1，2，3，4，5，6}，M={0，1，2，3}，N={1，3，5}，则M∪∁UN等于( )
A．{0，1，2，3，4，5} B．{0，1，2，4，6} C．{0，1，2，3，4，6} D．{0，1，2，4，5，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；转化法；集合．
【分析】由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．
【解答】解：∵集合U={0，1，2，3，4，5，6}，M={0，1，2，3}，N={1，3，5}，
∴∁UN={0，2，4，6}，
则M∪（∁UN）={0，1，2，3，4，6}．
故选：C
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．下列函数与函数y=x相等的是( )
A．y=logaax（a＞0，a≠1） B．y=
C．y= D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是相等函数，进行判断即可．
【解答】解：对于A，y=logaax=x（x∈R），与函数y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
对于B，y==|x|（x∈R），与函数y=x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；
对于C，y==x（x≠0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；
对于D，y==x（x≥0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数．
故选：A．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域和对应关系是否相同，是基础题．

3．下列函数中，既是偶数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A． B．y=ex C．y=﹣x2 D．y=lg|x|
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：是奇函数，不满足条件．
y=ex是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．
y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件．
y=lg|x|是偶函数，当x＞0时y=lg|x|=lgx为增函数，不满足条件．
故选：C
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．

4．设f（x）=2x+3x﹣8，则方程f（x）=0的根落在区间( )
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】计算f（1），f（2），根据零点存在定理即可判断．
【解答】解：∵f（1）=2+3﹣8＜0，f（2）=4+6﹣8＞0，
∴f（x）在区间（1，2）存在一个零点，
∴方程f（x）=0的根落在区间（1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了零点存在定理，一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点

5．如果幂函数f（x）=xn的图象经过点（2，），则f（4）的值等于( )
A．16 B．2 C． D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据已知求出函数的解析式，再求f（4）即可．
【解答】解：幂函数f（x）=xn的图象经过点（2，），
所以，
所以，
所以函数解析式为，x≥0，
所以f（4）=2，
故选B．
【点评】本题考察幂函数的解析式，幂函数解析式中只有一个参数，故一个条件即可．

6．设函数f（x）=，则f（f（3））=( )
A． B．3 C． D．
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．
【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，
∴f（f（3））=f（）=+1=，
故选D．
【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．

7．函数f（x）=+的定义域为( )
A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．
【解答】解：根据题意：，
解得：﹣3＜x≤0
∴定义域为（﹣3，0]
故选：A．
【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．

8．已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．
【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，
即a＞1，b＜0，0＜c＜1，
故a＞c＞b，
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．

9．函数f（x）=ax3+bx++5，满足f（﹣3）=2，则f（3）的值为( )
A．﹣2 B．8 C．7 D． 2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由于函数f（x）=ax3+bx++5，由f（﹣3）=2得到a•33+b•3+=3，运用整体代换法，即可得到f（3）．
【解答】解：由于函数f（x）=ax3+bx++5，
则f（﹣3）=a•（﹣3）3+b•（﹣3）++5=2，
即有a•33+b•3+=3，
则有f（3）=a•33+b•3++5=3+5=8．
故选B．
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，运用整体代换法是解题的关键，同时考查运算能力，属于中档题．

10．，满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是( )
A．（1，3） B．（1，2] C．[2，3） D．（1，+∞）
【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的定义进行判断函数的单调性，结合分段函数的单调性建立不等式关系即可．
【解答】解：∵函数f（x）满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，
∴函数f（x）为增函数，
则满足，即，
解得2≤a＜3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数分段函数的应用，根据函数单调性的定义判断函数的单调性是解决本题的关键．

11．若函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是( )
A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠1 C．1＜a＜2 D．a≥2
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】计算题．
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑地函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．
【解答】解：令g（x）=x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），
g（x）开口向上；
①当a＞1时，g（x）在R上恒为正；
∴△=a2﹣4＜0，
解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
综上所述：1＜a＜2；
故选C．
【点评】本题考查对数的性质，函数最值，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．

12．已知，关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的解，则满足b，c的条件是( )
A．b＜0，c＜0 B．b＜0，c=0 C．b＞0，c=0 D．b＞0，c＜0
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】作出是f（x）的图象，利用换元法结合一元二次方程根的取值和分布关系进行求解即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
设f（x）=t，当t=0时，方程有3个根；
当t＞0时，方程有4个根，
当t＜0时，方程无解
∴要使关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0
等价为t2+bt+c=0有一个正实数根和一个等于零的根．
∴c=0，
此时t2+bt=t（t+b）=0，
则另外一个根为t=﹣b，
即f（x）=﹣b＞0，
即b＜0，c=0．
故选：B．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．综合性较强，难度较大．

二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知函数f（x+1）=3x+4，则f（x）的解析式为f（x）=3x+1．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用换元法：令x+1=t，可得，x=t﹣1，代入已知解析式可得f（t），可得f（x）．
【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，
∴f（t）=3（t﹣1）+4=3t+1，
∴f（x）=3x+1．
故答案为：f（x）=3x+1．
【点评】本题考查求解函数解析式的常用方法：换元法，注意仔细计算，属基础题．

14．计算0.25﹣2﹣lg16﹣2lg5+log23•log34=16．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：0.25﹣2﹣lg16﹣2lg5+log23•log34
=16﹣2lg2﹣2lg5+2
=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查指数与对数的运算法则，考查计算能力．

15．若{1，a，}={0，a2，a+b}，则a2015+b2015的值为﹣1．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据两集合相等，对应元素相同，列出方程，求出a与b的值即可．
【解答】解：∵a∈R，b∈R，且{1，a，}={0，a2，a+b}，
∴分母a≠0，
∴b=0，a2=1，且a2≠a+b，
解得a=﹣1；
∴a2015+b2015=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．

16．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是[0，1]∪[9，+∞）．
【考点】函数的值域；一元二次不等式的应用．
【专题】计算题．
【分析】当m=0时，检验合适； m＜0时，不满足条件； m＞0时，由△≥0，求出实数m的取值范围，然后把m的取值范围取并集．
【解答】解：当m=0时，f（x）=，值域是[0，+∞），满足条件；
当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，
即（m﹣3）2﹣4m≥0，∴m≤1或 m≥9．
综上，0≤m≤1或 m≥9，
∴实数m的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞），
故答案为：[0，1]∪[9，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域及一元二次不等式的应用，属于基础题．

三、解答题（本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤．）
17．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}．
（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】（1）由集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}得：若A⊆B，则，解得实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，则m+8≤﹣1或m≥2，解得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}．
若A⊆B，则
解得：m∈[﹣6，﹣1]，
∴实数m的取值范围是[﹣6，﹣1]
（2）若A∩B=∅，则m+8≤﹣1或m≥2
即m∈（﹣∞，﹣9]∪[2，+∞）
【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，集合包含关系的判断及应用，其中将已知集合关系转化为关于m的不等式（组），是解答的关键．

18．已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】证明题；综合法．
【分析】（1）函数f（x）=x+，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．
（2）由（1）知f（x）=x+，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．
【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=x1﹣x2+（﹣）
=x1﹣x2﹣=（x1﹣x2）．
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数．
【点评】本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．

19．某旅游点有50辆自行车供游客租货使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）函数y=f（x）=出租自行车的总收入﹣管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；
（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解答】解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
当6＜x≤20时，y=[50﹣3（x﹣6）]x﹣115=﹣3x2+68x﹣115
综上可知
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，
∴当x=6时，ymax=185元．
当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，
∴当x=11时，ymax=270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件建立分段函数关系是解决本题的关键．

20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求证：f（8）=3．
（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）
（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x﹣16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求
【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）=3
解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x﹣2）+3=f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴
解得：
【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质

21．已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．设f（x）=．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣2，2]上有解，求实数k的取值范围．
【考点】二次函数的性质；其他不等式的解法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）根据函数的单调性得到方程组从而求出a，b的值；
（Ⅱ）将问题转化为k≤1+﹣4•（），令t=，则1+﹣4•=t2﹣4t+1，令h（t）=t2﹣4t+1，t∈[，4]，从而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题知g（x）=a（x﹣2）2﹣4a+b，
∵a＞0，∴g（x）在[0，1]上是减函数，∴，解得 ；
（Ⅱ）由于f（2x）﹣k•2x≥0，则有2x+﹣4﹣k•2x≥0，
整理得k≤1+﹣4•（），
令t=，则1+﹣4•=t2﹣4t+1，
∵x∈[﹣2，2]，∴t∈[，4]，
令h（t）=t2﹣4t+1，t∈[，4]，
则h（t）∈[﹣3，1]．
∵k≤h（t）有解∴k≤1
故符合条件的实数k的取值范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，考查了求函数的最值问题，是一道中档题．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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