山东省德州市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年山东省德州市乐陵一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分．每题只有一个正确答案．）
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为( )
A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}

2．已知a=log32，b=log30.5，c=1.10.5，那么a、b、c的大小关系为( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b

3．已知，则f（3）=( )
A．3 B．2 C．1 D．4

4．化简的结果为( )
A．5 B． C．﹣ D．﹣5

5．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1

6．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )
（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）

7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=( )
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

8．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．[1，2] C．[0，） D．（）

9．已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是( )
x
﹣1
0
1
2
3
f（x）
﹣0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x）
﹣0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

10．设f（x）是定义在实数集R上的函数，且y=f（x+1）是偶函数，当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则f（），f（），f（）的大小关系是( )
A．f（）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（） D．f（）＜f（）＜f（）

11．函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．（0，1] B．[0，1] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）

12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题：（每题5分，共4题，计20分．）
13．含有三个实数的集合既可表示成{a，，1}，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2014+b2015__________．

14．函数f（x）=ax﹣3﹣3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点__________．

15．若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣3，3]，则函数f（x）的定义域为__________．

16．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=__________．

三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）0.027﹣（﹣）﹣2+2.56﹣3﹣1+（﹣1）0
（2）．

18．已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B⊆A，求实数a的取值范围．

19．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．

20．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
（1）当x∈[10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

21．已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x1x2+1．求：
（1）f（0），f（1），f（2）的值；
（2）f（x）的表达式；
（3）F（x）=[f（x）]2﹣2f（x）在（0，+∞）上的最值．

22．已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[﹣1，1]有．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）若f（x）≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

2015-2016学年山东省德州市乐陵一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分．每题只有一个正确答案．）
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为( )
A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】由题意求出A的补集，然后求出（∁UA）∪B．
【解答】解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，
则∁UA={0，4}，（∁UA）∪B={0，2，4}．
故选C．
【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．

2．已知a=log32，b=log30.5，c=1.10.5，那么a、b、c的大小关系为( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0＜a=log32＜1，b=log30.5＜0，c=1.10.5＞1，
∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．已知，则f（3）=( )
A．3 B．2 C．1 D．4
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】根据解析式先求出f（3）=f（5），又因5＜6，进而求出f（5）=f（7），由7＞6，代入第一个关系式进行求解．
【解答】解：根据题意得，f（3）=f（5）=f（7）=7﹣4=3，
故选A．
【点评】本题考查了分段函数求函数的值，根据函数的解析式和自变量的范围，代入对应的关系式进行求解，考查了观察问题能力．

4．化简的结果为( )
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【考点】方根与根式及根式的化简运算．
【专题】计算题．
【分析】利用根式直接化简即可确定结果．
【解答】解：===
故选B
【点评】本题考查根式的化简运算，考查计算能力，是基础题．

5．已知M={x|x﹣a=0}，N={x|ax﹣1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或1或﹣1
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，M={a}，若M∩N=N，则N⊆M，对N是不是空集进行分2种情况讨论，分别求出符合条件的a的值，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，分析可得，
M是x﹣a=0的解集，而x﹣a=0⇒x=a；
故M={a}，
若M∩N=N，则N⊆M，
①N=∅，则a=0；
②N≠∅，则有N={}，
必有=a，
解可得，a=±1；
综合可得，a=0，1，﹣1；
故选D．
【点评】本题考查集合的运算，注意由M∩N=N推出N⊆M时，需要对N是不是空集进行分情况讨论．

6．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )
（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；
由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；
由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快．
【解答】解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；
（2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；
（3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）．
故答案为：（4）（1）（2），
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案．

7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=( )
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．
【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，
∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3
故选A
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．

8．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．[1，2] C．[0，） D．（）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；综合题．
【分析】由题设条件知，偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]是增函数，由此可以得出函数在[﹣2，2]上具有这样的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小，其函数值就越小，由此抽象不等式f（1﹣m）＜f（m）可以转化为，解此不等式组即为所求．
【解答】解：偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，
∴其在（﹣2，0）上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大
∴不等式f（1﹣m）＜f（m）可以变为
解得m∈[﹣1，）
故选A．
【点评】本题考查偶函数与单调性，二者结合研究出函图象的变化趋势，用此结论转化不等式，这是解本题的最合适的办法，中档题．

9．已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是( )
x
﹣1
0
1
2
3
f（x）
﹣0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x）
﹣0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），则由题意，F（0）=3.011﹣3.451＜0，F（1）=5.432﹣5.241＞0，即可得出结论．
【解答】解：构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），则由题意，F（0）=3.011﹣3.451＜0，F（1）=5.432﹣5.241＞0，
∴函数F（x）=f（x）﹣g（x）有零点的区间是（0，1），
∴方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（0，1），
故选：B．
【点评】本题考查方程f（x）=g（x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．

10．设f（x）是定义在实数集R上的函数，且y=f（x+1）是偶函数，当x≥1时，f（x）=2x﹣1，则f（），f（），f（）的大小关系是( )
A．f（）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（） D．f（）＜f（）＜f（）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】探究型；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．
【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，
∴f（﹣x+1）=f（x+1），
即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，f（x）=2x﹣1为增函数，
∴当x≤1时函数f（x）为减函数．
∵f（）=f（+1）=f（﹣+1）=f（），且＜＜，
∴f（）＞f（）＞f（），
故选：A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．

11．函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．（0，1] B．[0，1] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】函数的定义域是一切实数，即mx2﹣6mx+m+8≥0对任意x∈R恒成立，结合二次函数的图象，只要考虑m和△即可．
【解答】解：函数y=的定义域是一切实数，即mx2+4mx+m+3≥0对任意x∈R恒成立
当m=0时，有3＞0，显然成立；
当m≠0时，有
即
解之得 0＜m≤1．
综上所述得 0≤m≤1．
故选B．
【点评】本题主要考查了二次型不等式恒成立问题，解题的关键是不要忘掉对m=0的讨论，同时考查了转化的思想，属于中档题．

12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x，y=x+2，y=2x的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．
【解答】解：10﹣x是减函数，x+2是增函数，2x是增函数，令x+2=10﹣x，x=4，此时，x+2=10﹣x=6，如图：

y=x+2 与y=2x交点是A、B，y=x+2与 y=10﹣x的交点为C（4，6），
由上图可知f（x）的图象如下：

C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．
故选：C
【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图．

二、填空题：（每题5分，共4题，计20分．）
13．含有三个实数的集合既可表示成{a，，1}，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2014+b2015=1．
【考点】集合的表示法．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】根据集合相等和元素的互异性求出b和a的值，代入式子，即可得出结论．
【解答】解：由题意得，{a，，1}={a2，a+b，0}，
所以=0且a≠0，a≠1，即b=0，
则有{a，0，1}={a2，a，0}，所以a2=1，
解得a=﹣1，
∴a2014+b2015=1．
故答案为：1
【点评】本题考查集合相等和元素的互异性，考查学生的计算能力，比较基础．

14．函数f（x）=ax﹣3﹣3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（3，﹣2）．
【考点】指数函数的图像变换．
【专题】计算题；数形结合；分析法；函数的性质及应用．
【分析】令x﹣3=0，由函数的解析式求得x和y的值，可得函数f（x）=ax﹣2﹣3的图象恒过的定点的坐标．
【解答】解：令x﹣3=0，由函数的解析式求得x=3、且y=﹣2，
故函数f（x）=ax﹣2﹣3的图象恒过定点（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

15．若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣3，3]，则函数f（x）的定义域为[﹣7，5]．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣3，3]，从而求出2x﹣1的范围，进而得出答案．
【解答】解：∵﹣3≤x≤3，
∴﹣7≤2x﹣1≤5，
故答案为：[﹣7，5]．
【点评】本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．

16．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=5．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：
①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组
即，两式相减得（a+b）（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a，又∵a≠b，∴a+b=，
由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．
②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=＜2，∴f（b）=b，得，∴b=（舍）
或b=4，∴a+b=5
③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组，
即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根，即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a＞2，故应舍去．
故答案为：5
【点评】本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于基础题．

三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）0.027﹣（﹣）﹣2+2.56﹣3﹣1+（﹣1）0
（2）．
【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）化小数为分数，化负指数为正指数，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值；
（2）直接利用对数的运算性质化简求值．
【解答】解：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+2.56﹣3﹣1+（﹣1）0
=
=
=；
2）
==﹣4．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

18．已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B⊆A，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．
【分析】要分B等于空集和不等于空集两种情况．再根据B⊆A求出a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，B⊆A，
∴B=∅时，a≥2a﹣2，∴a≤2；
B≠∅时，….6
∴2＜a≤5….10
综上述得a的取值范围为{a|a≤5}…12
【点评】本题考查子集的定义，考查分类讨论的数学思想，注意B=∅的情况．

19．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再根据3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17可确定出k，b的值，进而可求函数解析式
（2）在已知的等式当中，用 替换x，联立f（x）和f（） 二元一次方程组求解f（x）即可．
【解答】解：（1）由题意可设f（x）=kx+b
∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17
∴3[k（x+1）+b]﹣2[k（x﹣1）+b]=2x+17
即kx+5k+b=2x+17
∴解方程可得，k=2，b=7
∴f（x）=2x+7
（2）由2f（x）+f（）=3x①
可得2f（）+f（x）=②
①×2﹣②得：3f（x）=6x﹣
所以，f（x）=2x﹣（x≠0）
【点评】本题考查了运用代入法、待定系数法等方法求解函数的解析式，属于基本方法的简单应用

20．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
（1）当x∈[10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2﹣50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元，可得函数关系式，配方，求出P的范围，即可得出结论；
（2）求出平均处理成本，利用基本不等式，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（10+10）x﹣y
=20x﹣x2+50x﹣900
=﹣x2+70x﹣900
=﹣（x﹣35）2+325，x∈[10，15]．
∵x=35∉[10，15]，P=﹣（x﹣35）2+325在[10，15]上为增函数，
可求得P∈[﹣300，﹣75]．
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．

（2）设平均处理成本为，
当且仅当时等号成立，由x＞0得x=30．
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．
【点评】本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键．

21．已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x1x2+1．求：
（1）f（0），f（1），f（2）的值；
（2）f（x）的表达式；
（3）F（x）=[f（x）]2﹣2f（x）在（0，+∞）上的最值．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）直接令x1=x2=0得：f（0）=﹣1；同样x1=0，x2=1得：f（1）=0；令x1=x2=1得：f（2）=3；
（2）直接根据f[x+（﹣x）]=f（x）+f（﹣x）+2x（﹣x）+1以及f（x）=f（﹣x），f（0）=﹣1即可求出f（x）；
（3）先求出其解析式，再利用其导函数即可得到在（0，+∞）上的单调性，即而得到最值．
【解答】解：（1）直接令x1=x2=0得：f（0）=﹣1，
令x1=1，x2=﹣1得：f（1﹣1）=f（1）+f（﹣1）﹣2+1=2f（1）﹣1，
∵f（0）=﹣1，
∴f（1）=0，
令x1=x2=1得：f（2）=3；
（2）因为：f[x+（﹣x）]=f（x）+f（﹣x）+2x（﹣x）+1，
又f（x）=f（﹣x），f（0）=﹣1，
故f（x）=x2﹣1
（3））∵F（x）=[f（x）]2﹣2f（x）=x4﹣4x2+3，
∴F′（x）=4x3﹣8x=4x（x2﹣2）=4x（x+）（x﹣）；
∴在（，+∞）上F′（x）＞0，在（0，）上F′（x）＜0
故函数F（x）在[，+∞）上是增函数，在（0，）上为减函数．
当x=时，F（x）min=﹣1，F（x）无最大值．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合．解决第一问的关键在于赋值法的应用．一般在见到函数解析式不知道而要求具体的函数值时，多用赋值法来解决．

22．已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[﹣1，1]有．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）若f（x）≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）设x1=m，x2=﹣n，由已知可得，分x1＞x2，及x1＜x2两种情况可知f（x1）与f（x2）的大小，借助单调性的定义可得结论；
（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；
（3）要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥f（x）max，整理后化为关于a的一次函数可得不等式组；
【解答】（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数：
证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[﹣1，1]有，
可设x1=m，x2=﹣n，则，即，
当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；
当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；
综上：函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，
又由，
得，解得，
∴不等式的解集为；
（3）∵函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，
要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，
只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥1，即﹣2at+1≥0恒成立，
令y=﹣2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[﹣1，1]时y≥0恒成立，
因此只需要，解得，
∴实数t的取值范围为：．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及其综合应用，考查抽象不等式的求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，利用函数性质去掉符号“f”是解决抽象不等式的关键．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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