2015届中考数学考点突破训练题33.doc

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锐角三角函数和解直角三角形
一、选择题(每小题6分，共24分)

1．(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为(　A　)
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5

2．(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(　D　)
A. B.
C. D.

解析：作AC⊥OB于点C.则AC＝，AO＝＝＝2，则sin∠AOB＝＝＝.故选D
3．(2014·凉山)在△ABC中，若|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是(　C　)
A．45° B．60° C．75° D．105°

4．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(　B　)
A．4米 B．6米 C．12米 D．24米
二、填空题(每小题6分，共24分)

5．(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanA的值是____．
6．(2013·安顺)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为__24__．

7．(2014·舟山)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为__7tanα__米．(用含α的代数式表示)
8．(2014·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(≈1.4)

解析：如下图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×≈1.54米，CE＝5×sin45°＝5×≈3.5米，BE＝BC＋CE≈5.04，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷≈3.14米，(56－5.04)÷3.14＋1＝50.96÷3.14＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位

三、解答题(共52分)
9．(10分)(2014·内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A，B，C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，参考数值：≈1.7)

解：∵∠BCF＝90°，∠FBC＝45°，∴BC＝CF，∵∠CAF＝30°，∴tan30°＝＝＝＝，解得CF＝400＋400≈400×(1.7＋1)＝1080(米)．答：竖直高度CF约为1080米
10．(10分)(2014·宁波)如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直的公路AB的长；
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)

解：(1)作CH⊥AB于点H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2千米，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1千米，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan∠CBA＝4.2÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6千米，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7千米．故改直的公路AB的长14.7千米
(2)在Rt△BCH中，BC＝CH÷sin∠CBA＝4.2÷sin37°≈4.2÷0.6＝7千米，则AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3千米．答：公路改直后比原来缩短了2.3千米
11．(10分)(2014·遵义)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)

解：过点E作EF⊥BC的延长线于点F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝＝＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE＝10米，CF＝10米，∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10)米，在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋10)米，∴AB＝AH＋HB＝(35＋10)米．答：楼房AB的高为(35＋10)米
12．(10分)(2013·绍兴)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：(单位： cm)

伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
(1)求AM的长；
(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长．(精确到1 cm)
备用数据：sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.

解：(1)由题意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的长为72 cm
(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝∠BAC＝52°.过点E作EG⊥AD于点G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°＝36×0.6157＝22.1652，∴AD＝2AG＝2×22.1652≈44(cm)．故AD的长约为44 cm
13．(12分)(2013·眉山)如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保留根号)

解：(1)分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交AB于点G，H.∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行EG.故四边形EGHD是矩形．∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝10÷tan45°＝10(米)．在Rt△FGE中，i＝＝，∴FG＝EG＝10(米)．∴AF＝FG＋GH－AH＝10＋3－10＝10－7(米)
(2)加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长＝×(3＋10－7)×10×500＝25000－10000(立方米)．答：(1)加固后坝底增加的宽度AF为(10－7)米　(2)完成这项工程需要土石(25000－10000)立方米
2015年名师预测

1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(　C　)
A．4 km B．2 km
C．2 km D．(＋1) km

解析：如图，过点A作AD⊥OB于点D.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4，∴AD＝OA＝2.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2，∴AB＝AD＝2.即该船航行的距离(即AB的长)为2 km

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝.其中正确的是__②③④__．(填序号)

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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