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21 玉溪师范学院学报（第39卷）2023年第6期 Journal of Yuxi Normal University Vol.39 No.6 Nov.2023隐函数求导方法探索杨 雄，袁新全（娄底职业技术学院，湖南 数底 417000）关键词隐函数；求导；偏导数摘 要在隐函数求导的教学过程中，将一元隐函数的求导方法拓展到多元隐函数的求导，降低隐函数求导的难度，并应用实际案例对隐函数的求导公式进行了应用探索.中图分类号 O211.62 文献标识码 A 文章编号1009-9506（2023）06-0021-06求导是高等数学教学中的主要内容之一，其中隐函数求导是导数中的难点内容，为了便于对隐函数求导的理解，首先阐释一元隐函数的求导的方法，然后推广到多元隐函数求导的情况，并且得出相应的隐函数求导公式，同时应用实际案例对隐函数的求导公式进行应用探索1 隐函数的定义及其求导方法a如果在方程(,)0F x y=中，当 x取某区间内的任一值时，相应地总是有满足此方程唯一的 y 值存在，那末方程(,)0F x y=在该区间内确定了一个一元隐函数1类似地，若有一个三元方程(,)0F x y z=所确定的二元函数(,)zf x y=存在，那么则有可能确定一个二元隐函数对于此类隐函数的求导，其主要方法有：（1）先通过运算，把隐函数(,)0F x y=或(,)0F x y z=转化成显函数()yf x=或(,)zf x y=，再利用求导公式和求导法则进行求导，一般情况许多隐函数很难显化，并且求出导函数也是隐函数（2）把隐函数看作方程，方程左右两端对 x 求导（求导时注意 y 是关于 x 的函数），可得到关于导数()y x 的方程，进行解方程即可求出函数的导数()y x 或者在多元函数中方程两端求偏导，再解方程求出偏导数（3）将,x y 看作两个“平等地位”的变量，利用一元微分或多元函数全微分的形式不变性，在等式(,)0F x y=或(,)0F x y z=两端同时取微分，一元微分得到关于dy 与dx 的等式，把导数看作微商即可求作者简介杨雄，硕士，副教授，研究方向：高等数学教学及应用通讯作者袁新全，硕士，讲师，研究方向：高等数学教学及应用基金项目2022 年湖南省社会科学成果评审委员会课题“新时代高职公共基础课合力育人研究”（项目编号：XSP22YBC054）玉溪师范学院学报 22 出()y x，多元函数求出全微分等式，类比dx 前的因子是 x的偏导数，dy 前的因子是 y 的偏导数2 一元隐函数求导法则2.1 一元隐函数的求导公式隐函数存在定理 12设函数(,)F x y 在点00(,)P xy的某一邻域内具有连续的偏导数，且0000(,)0,(,)0yF xyF xy=，则方程(,)0F x y=在点00(,)xy的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数()yf x=，它满足条件00()yf x=，并有xyFdydxF=（1）如果(,)F x y 的二阶偏导数也都连续，可以把（1）式的两端看作 x 的复合函数而再求一次导数，则有一元隐函数的二阶导数公式222232xxyxyxyyyxyF FF F FF Fd ydxF+=（2）案例 1 求隐函数22arctanlnyxyx=+的导数.方法一 用复合函数求导法则求解隐函数的导数.解 直接用复合函数求导法则，有2222111(22)21y xyxyyxxyyx=+整理解得dyxyydxxy+=.分析 在此求导过程中一定注意，y 是关于 x的函数，即()yf x=，比如求2y 的导数，应该是2yy，而不是2y，等式两边求导后相当于解一元一次方程即可求出导数，当然求出的导函数还是一个隐函数方法二 用等式两端求微分的方法求解隐函数的导数.解 方程两边取微分，则有22222(arctan)(ln)()yxyddxydxxyx=[phone]()xy xydxydxxyxxy=[phone]()2y xyd xydxxyxyxy=+221(22)2()xyy dxy xyxy=+.分析 等式两端求微分，求解过程用到一元微分的形式不变性，其实质用()()df xfx dx=，然后把等式两端的dx 约去，得到关于y 的方程，解方程即得导数方法三 直接应用定理 1 中的（1）式求解.23 杨 雄，袁新全：隐函数求导方法探索方程变为22(,)arctanlnyF x yxyx=+，则有，22222221yxyxyFxyxxyxy=+，2222xyxyFdyxyxyxydxFxyxy+=+.分析 直接用定理 1 求解，隐函数要变到(,)0F x y=的形式，然后分别对(,)F x y 求偏导数，当 x求偏导数时，y 看作常数，当对 y 求偏导数时，x看作常数，其他与一元函数求导法则、求导公式一样2.2 一元隐函数的其他求导方法分析2.2.1 用复合函数求导法则求解隐函数的导数案例 2 设()yf xy=+，其中 f 二阶可导，且其一阶导数不等于 1，求22d ydx.解 等式两端对 x求导，则有()(1)yfxyy=+，即()1()fxyyfxy+=+对上式两边再对 x 求导，可得2()(1)()yfxyyfxy y=+，进而有2()(1)1()fxyyyfxy+=+.将y 代入上式，有223()1()d yfxyydxfxy+=+.分析 在求此类函数的导数时，一注意 y 是关于 x的函数，二要注意复合函数的求导法则，不能丢掉内函数的导数，三要注意一直用方程两端求导，求导过程中不要先求出一阶导数y，再对一阶导数等式两端求导，这样变成了一个分数函数求导，继续求高阶导数会变复杂，只要最后把y 代入即可2.2.2 用对数求导法求解隐函数的导数案例 3 求隐函数yxxy=的导数.解 对等式两端取对数，则有lnlnyxxy=，lnlnyxyxyyxy+=+解得22lnlnlnlndyyyxyyxyydxxxyxxxyx=.分析 如果等式中含有幂指函数，一般用到对数求导法，先等式两边取对数，并一般需要先通过相应的对数运算，然后等式两边求导数即可当然有时可以转换成e的指数形式，再用复合函数求导，如此题可转换成2.2.3 用等式两边求微分的方法求解隐函数的导数案例 4 求隐函数33cos()xyx y=的导数.解 对等式两端求微分，则有333333cos()()sin()()()()dxyd x yxy d xyy d xx d y=+sin()()xyydxxdy+233233x y dxx y dy=+整理解得23223222sin()3sin()3sin()3sin()3dyyxyx yyxyx yydxxxyx yxxyx yx+=+.玉溪师范学院学报 24 分析 此解法与例 1 中的解法二是有区别的，例 1 中用到的是一元函数的微分公式，这里用到的二元函数的全微分公式，即(,)(,)(,)xydf x yfx y dxfx y dy=+，实质是等式两边求全微分2.2.4 用变量代换求解隐函数的导数案例 5 设函数()yy x=由方程22ln4yxyx+=确定，求dydx.3解 将方程改写为2ln2ln4yxeyx+=，进行变量代换，设2lnuyx=，则有4ueu+=对 x求导，可得(1)00ududuedxdx+=，即22ln02 lnydyyy yxyxdxxx+=.分析：解此类题，在解题过程中加强观察，可能会找到简便的解法，当然观察的能力来自于平时的积累，因此，对一些解题的方法和技巧要平时多积累2.2.5 求一元隐函数的导数值案例 6 设()yy x=由方程1yyxe=确定，求202xd ydx=的值4.解 方程两端求导可得0yyyexe y=，由1yyxe=可得1yxey=，代入以上方程化简可得(2)0yy ye=，以上方程两边再对 x求导可得2()(2)0yyy yye+=，由已知方程及0 x=得(0)1y=，再由方程0yyyexe y=得(0)ye=，将它们代入以上方程得2(0)2ye=.分析 若要求任意点 x 处的二阶导数y，在求解得到二阶导y 之后，应将一阶导数y 的表达式代入含有y 和y 的方程中，把y 消除；在隐函数求导过程中，通过一次求导，求得关于一阶导数y 的方程，若能用原方程将含有一阶导数y 的方程化简的，应代入化简，这方便于进一步求二阶导数y.3 多元隐函数的求导法则隐函数存在定理 22设函数(,)F x y z 在点000(,)P xyz的某一邻域内具有连续的偏导数，且000000(,)0,(,)0zF xyzF xyz=，则方程(,)0F x y z=在点000(,)xyz的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)zf x y=，它满足条件000(,)zf xy=，并有,yxzzFFzzxFyF=.（3）案例 7 已知22241xyzz+=，求zx.方法一 相似案例 1 中方法一，用复合函数求导方法，即(,)zf x y=，方程两端对 x 求偏导，则有2240zzxzxx+=，解得2zxxz=.方法二 相似案例 1 中方法二，对方程两端取全微分，则有22240 xdxydyzdzdz+=，解得22xydzdxdyzz=+，进而有2zxxz=.方法三 应用公式（3）求解，设222(,)41F x y zxyzz=+，则有 25 杨 雄，袁新全：隐函数求导方法探索2,24xzFx Fz=，所以2242xzFzxxxFzz=.分析 方法一对 x 求偏导时，y 是常数，z 是关于 x 和 y 的函数；方法二是求出全微分，然后比较dx 前的因子是 x 的偏导数；方法三对 x 求导时，y 和 z 都是常数，对 z 求导时，x 和 y 是常数如果弄清楚谁是变量，谁是常数，求导就变容易了4 方程组给出的隐函数的求导法则隐函数存在定理 3 5设(,)(,)F x y u vG x y u v、在点0000(,)P xy u v的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又00000000(,)0,(,)0F xy u vG xy u v=，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：(,)(,)FFF GuvJGGu vuv=在点0000(,)P xy u v不等于零，则方程组(,)0,(,)0F x y u vG x y u v=在点0000(,)xy u v的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数(,),(,)uu x y vv x y=，它们满足条件000000(,),(,)uu xyvv xy=，并有1(,)(,)xvxvuvuvFFGGuF GFFxJx vGG=，1(,)(,)uxuxuvuvFFGGvF GFFxJu xGG=.1(,)1(,),(,)(,)yvuyyvuyuvuvuvuvFFFFGGGGuF GvF GFFFFyJy vyJu yGGGG=.（4）案例 8 已知0,1xuyvyuxv=+=，求,uuvxyx和vy.方法一 直接应用公式（4）计算.(,),(,)1F x y u vxuyv G x y u vyuxv=+，则有220FFxyuvJxyGGyxuv=+，22xvxvuvuvFFuyGGuxuyvvxFFxyxxyGGyx+=+.同样的方法采用公式（4）可计算出222222,vyuxvuxvyuvxuyvxxyyxyyxy+=+.方法二 利用复合函数的求导法则计算，因为(,),(,)uu x y vv x y=，方程的两端对 x 求导可得0,0.uvuvuxyxyuxxxxuvuvyvxyxvxxxx+=+=+=，若220 xyJxyyx=+，则有玉溪师范学院学报 26 2222,uyxuuxuyvvyuxvvxyvxyxyxxyxxyyxyx+=+.同样的方法方程两端对 y 求导，可求出,vvxy.方法三 方程两端取全微分，则有00 xduudxydvvdyxduydvudxvdyyduudyxdvvdxyduxdvudyvdx+=+=+=，若0 xyJyx=，则解方程组可得2222udxvdyyudyvdxxxuyvvxyududxdyxyxyxyyx+=+，2222xudxvdyyudyvdxxvyuuxvydvdxdyxyxyxyyx+=+.所以有22,uxuyvxxy+=+222222,vyuxvuxvyuvxuyvxxyyxyyxy+=+.在隐函数求导的教学过程中，通过从一元隐函数的求导方法，拓展到多元隐函数的求导方法，降低了隐函数求导的难度，进而引导学生积极参与思考，促进学生多途径、多角度思考问题的能力，并且在知识的深度和广度上得到充分挖掘参考文献：1 同济大学数学教研室.高等数学：上册 M.北京：高等教育出版社，1996:128.2 同济大学数学教研室.高等数学：下册 M.北京：高等教育出版社，1996:37-40.3 孙清华，孙昊.数学分析内容、方法与技巧：上 M.武汉:华中科技大学出版社，2003:155.4 裴礼文.数学析中的典型问题与方法 M.北京：高等教育出版社，2005.5 欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析：下册 M.上海：复旦大学出版社，2003:51-52.Research on the Derivation of Implicit FunctionYANG Xiong,YUAN Xinquan(Loudi Vocational and Technical College,Loudi 417000,China)Key Words:implicit function;derivation;partial derivativeAbstract:To reduce the difficulty in teaching implicit function derivation,the derivation method of unary implicit function was extended to the derivation of multivariate implicit function.The implicit function derivation formula was explored for its application in the practical cases.