凌波微步数学建模融入基础课程教学专题知识市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

凌波微步凌波微步-数学建模融入数学建模融入 基础课程教学基础课程教学 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 第1页 数学建模主要思想数学建模主要思想 利用数学知识处理问题利用数学知识处理问题 实际问题实际问题 -建模建模 数学模型数学模型 i i求解求解 实际实际解解 检验检验-数学数学解解 第2页 咏数学建模咏数学建模数学精微何处寻数学精微何处寻,纷纭世界有模型纷纭世界有模型.描摹万象得神韵描摹万象得神韵,识破玄机算古今识破玄机算古今.岂是空文无实效岂是空文无实效,能生妙策济苍生能生妙策济苍生.经天纬地展身手经天纬地展身手,七十二行任纵横七十二行任纵横.第3页 将数学建模思想引入基础将数学建模思想引入基础课程教学（一）课程教学（一）利利用用基基础础课课知知识识建建立立模模型型处处理问题理问题:(1)(1)来自现实生活实际问题来自现实生活实际问题(2)(2)数学本身发展提出问题数学本身发展提出问题第4页 将数学建模思想引入基础将数学建模思想引入基础课程教学（二）课程教学（二）从问题出发从问题出发 建立数学模型处理建立数学模型处理 “创造创造”出基础课程知识出基础课程知识-人类旧知识人类旧知识,学生新知识学生新知识第5页 凌波微步凌波微步 =数学建模数学建模 数学建模主要思想数学建模主要思想实际问题实际问题 -建模建模 数学模型数学模型 i i求解求解 实际实际解解 检验检验-数学数学解解难以处理难以处理 -转化转化 轻易处理轻易处理凌波微步凌波微步:打不赢就跑打不赢就跑-转化转化 跑到打得赢地方再打跑到打得赢地方再打/10/10第6页 润物细无声：应用案例润物细无声：应用案例 第7页 第8页 第9页第10页 第11页 第12页 第13页 第14页 第15页随风潜入夜随风潜入夜:概念引入概念引入方程个数真与假方程个数真与假 方程组方程组 有几个方程？有几个方程？3 3个个?2?2个个?某个方程是其余方程线性组合某个方程是其余方程线性组合 线性相关线性相关第16页问题：怎样判断问题：怎样判断a,b,ga,b,g线性无关？线性无关？分别解三个方程？分别解三个方程？xa+a+y b=g,b=g,x a+a+y g=b,g=b,x b+b+y g=ag=a只须解一个方程只须解一个方程 xa+a+yb+b+zg=0g=0 看它是否有非零解看它是否有非零解线性相关与线性无关线性相关与线性无关“打假打假”到底到底:极大无关组极大无关组,秩秩第17页 方程组线性相关方程组线性相关 有多出方程（是其余方程线性组合）有多出方程（是其余方程线性组合）删去多出方程删去多出方程 -打假打假将打假进行到底将打假进行到底极大线性无关组极大线性无关组剩下方程个数剩下方程个数-秩秩rank rank 极大线性无关组，秩极大线性无关组，秩第18页问题：秩唯一性方程组方程组(A1,A1,A2,A3)与与(B1,B1,B2)互为线性组互为线性组合合A1 =a11B1+a12B2 A2=a21B1+a22B2 A3=a31B1+a32 B2x1 A1+A1+x2 A2+A2+x3 A3=0A3=0 :未知数个数未知数个数 方程个数方程个数 有非零解有非零解(x1,x2,x3)A1,A2,A1,A2,A3 A3 线性相关线性相关.方方程程能能够够换换成成任任意意对对象象,只只要要仍仍有有加加法法和和数数乘乘且满足运算律且满足运算律,证实仍成立证实仍成立 抽象向量空间抽象向量空间第19页二元一次方程组几何意义二元一次方程组几何意义行列式定义行列式定义方程组方程组可写成向量形式可写成向量形式即即第20页1.有唯一解条件有唯一解条件不共线不共线即即2.消元消元:方程方程(1.1)两边与两边与(1.1)作内积消去作内积消去y,得得其中其中第21页就是就是同理得同理得图图2所以所以,于是于是3.二阶行列式二阶行列式 平行四边形面积平行四边形面积第22页称为称为二阶行列式二阶行列式,记作记作是平行四边形是平行四边形 OAPB 有向面积有向面积,是两个向量是两个向量或或函数函数,计算公式计算公式:或或图图2第23页4.代数算法代数算法第24页可写成可写成其中其中三阶行列式与体积三阶行列式与体积1.三元一次方程组几何意义三元一次方程组几何意义第25页两边同时与两边同时与方程方程作内积消去作内积消去 y,z,得到得到类似地能够得到类似地能够得到 y,z 表示式。表示式。当当时得时得第26页从原点从原点O出发作有向线段出发作有向线段OA，OB，OC使使则则就是以就是以OA,OB,OC为棱平行六面为棱平行六面体有向体积。称为体有向体积。称为三阶行列式三阶行列式，记作，记作2.三阶行列式三阶行列式 平行六面体体积平行六面体体积第27页利用基本性质计算利用基本性质计算 n 阶行列式阶行列式(3.1)当当 i1,i2,in 中有两个相等时，中有两个相等时，这么项能够从这么项能够从(3.1)中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2,in 两两不相等项两两不相等项,(3.1)中中 变成对变成对1,2,1,2,n 全全体排列体排列 (i1,i2,in)求和求和,成为成为:第28页几何模型几何模型线性变换前后图形/10/10第29页 向量方向改变/10/10第30页 选取特征向量为基选取特征向量为基/10/10第31页数模数模赛案例赛案例.足球队排名足球队排名 依据足球比赛成绩给出各队实力名次依据足球比赛成绩给出各队实力名次 X X1 X Xj X Xn X X1 a a1j a a1n X Xi a ai1 a aij a ain X Xn a an1 a anj a ain 第32页依据对手实力对得分加权依据对手实力对得分加权 先验实力比：先验实力比：x1,xj ,xn 后验实力比：后验实力比：y1,yj ,yn y1=a=a11x1+a a1j xj +a a1nxn yi=a=ai1x1 +a aij xj +a ainxn yn=a=an1x1+a anj xj +a annxn Y=AX=Y=AX=l lX X,X ,X 是特征向量是特征向量 第33页线性代数线性代数 空间为体空间为体,矩阵为用矩阵为用研究对象研究对象-几何：线性空间(向量)研究工具研究工具-代数：矩阵运算 向量向量 (问题问题)矩阵语言描述矩阵语言描述 矩阵运算处理矩阵运算处理 向量向量(解答解答)与微积分关系与微积分关系:非线性非线性 -微积微积分 线性线性 -线性代数线性代数 第34页多元微积分：线性代数模型多元微积分：线性代数模型微积分基本思想微积分基本思想 :非线性非线性线性线性复合函数导数复合函数导数:/10/10第35页隐函数存在定理隐函数存在定理 F(x,y)在某点在某点P0可微可微何时由何时由 F(x,y)=0 确定确定 y=f(x)?普通普通F不好处理不好处理凌波微步凌波微步线性化线性化:aD Dx+bD Dy 0,y=f(x)在在 x0 可微可微,导数为导数为/10/10第36页隐函数存在定理严格证实隐函数存在定理严格证实F(x,y)=0.将将F(x,y)线性化得线性化得:aD Dx+bD Dy+d d(D Dx,D Dy)=0解得解得D Dy=f(D Dx,D Dy)=D Dx+d(D Dx,D Dy)迭代迭代:D Dy0=0,D Dyn=D Dx+d(D Dx,D Dyn-1).则则 D Dyn-D-Dyn-1=dy(D Dyn-1-D Dyn-2)选选 D Dx,D Dy 范围充分小范围充分小,可使可使|dy|0.5且充分小且充分小,D Dyn 收敛到所需范围收敛到所需范围./10/10第37页 可微函数可微函数n 个方程个方程 =0,线性化线性化 即即当当 det B 时有唯一解时有唯一解隐映射定理隐映射定理/10/10第38页一元微积分一元微积分物理：以匀速代替非匀速物理：以匀速代替非匀速几何：以直代曲几何：以直代曲（只能看不能算）（只能看不能算）代数：以线性代替非线性代数：以线性代替非线性例例.自由落体自由落体 x=4.9 t2.求求t 秒末速度秒末速度.解：解：x(t+D Dt)=4.9(t+D Dt)2 =4.9 t2+9.8t(D Dt)+4.9(D Dt)2线性化：线性化：x(t+D Dt)4.9 t2+9.8t(D Dt)误差误差4.9(D Dt)2:D Dt 无穷小倍无穷小倍=o(D Dt).速度速度vt=一次项系数一次项系数 9.8t=导数导数第39页几何几何:以直代曲以直代曲 抛物线抛物线 x=4.9(t+D Dt)2 在点在点(t,4.9t2)附近附近 被切线被切线 x=4.9t2+9.8D Dt 近近似代替似代替速度速度v1=切线斜率切线斜率此几何意义与此几何意义与 x,t 物理意义无关物理意义无关能够推广到别能够推广到别 函数函数 y=f(x)D DtD Dxtx第40页 微分与导数微分与导数函数函数 y=f(x)在在 x=a 附近线性化。附近线性化。函数增量函数增量 D Dy=f(x)-f(a),自变量增量自变量增量D Dx=x-a D Dy k D Dx，误差误差:D DykkD Dx=o(D Dx)微分微分:dy=kD Dx导数导数:=k,记为记为 f(a)=改变率改变率=切线斜率切线斜率.一次函数代替一次函数代替 f(x):y=f(x)f(a)+f(a)D DxxD DxD Dyy第41页误差代数理论误差代数理论约等式约等式 D Dy=f(x)-f(a)k D Dx与与 y=f(x)f(a)+f(a)D Dx 误差误差能否将能否将 f(x)f(a)+f(a)D Dx 与与 g(x)g(a)+g(a)D Dx 加、减、乘得到：加、减、乘得到：f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)D Dxf(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)D Dx?约等式缺点：普通不像等式那样含有传递性，约等式缺点：普通不像等式那样含有传递性，不能像等式那样加、减、乘。不能像等式那样加、减、乘。第42页假作真时貌似真假作真时貌似真极限：极限：f(x)A 即即:f(x)=A+q q,q q无穷小无穷小(0).0).若若 f(x)A,g(x)B f(x)g(x)=(A+q q1)(B+q q2)=AB+q q1B+Aq q2+q q1q q2 AB无穷小无穷小代数性质代数性质 (同济同济.用用 e-de-d语言证实语言证实.)能够将能够将 q q1,q,q2看成看成 0，略去不写，略去不写写写 f(x)A,g(x)B,像等式一样加、减、乘像等式一样加、减、乘得到得到 f(x)g(x)A B,f(x)g(x)AB即即f(x)g(x)A B,f(x)g(x)AB.被忽略元素集合被忽略元素集合=无穷小无穷小=O(D Dx)微分：微分：D Dy dy（mod o(D Dx)f(x)f(a)+f(a)D Dx（mod o(D Dx)第43页多项式导数多项式导数 .多项式多项式 f(x)=anxn+a1x+a0 导数导数:差差分分D D f(x)=f(x+t)t)f(x)=(nanxn-1+a1)t t +()t t2 是是 t t 多项式多项式,其中其中t t 一次项系数即一次项系数即 f(x)=nanxn-1+a1第44页 和差积商导数公式和差积商导数公式f(x)f(a)+f(a)D Dx g(x)g(a)+g(a)D Dx 两式相加减两式相加减 和差导数和差导数相乘相乘乘积导数乘积导数f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)D Dx倒数导数倒数导数:第45页 指数函数微分指数函数微分ax+D Dx ax+kD Dx (mod o(D Dx),aD Dx 1+lDlDx,l=l=k/ax(a1/l1/l)lD lDx 1+lDlDxbt t 1+t,t,b=a1/l1/l,t t=lDlDx，取，取 t t=1/n,b1/1/n 1+1/n(o)b (1+1/n)n (O)?b1/1/n =(1+1/n)(1+q q/n),b=(1+1/n)n(1+q q/n)n 1+q q(1+q q/n)n 1/(1-q q/n)n 1/(1-q)q)n,q q0,0,b=e,a=el l,l,l=ln a,(ax)=k=ax ln a.第46页 对数函数导数对数函数导数k=lim(loga(x+D Dx)logax)/D)/Dx,=lim loga(1+D Dx/x)1/D1/Dx,t=Dt=Dx/x =(1/x)lim loga(1+t t)1/t1/t=(1/x)loga e当当 a=e 时时 k=1/x.第47页 不请自来不请自来 e e例例1.邯郸农行案邯郸农行案某彩票中奖率某彩票中奖率 1/n,买买2n张全不中概率张全不中概率（1-1/n)2n e-2 0.135例例2.将正实数将正实数 a 分成若干个正实数分成若干个正实数 xi 和，这些和，这些xi 乘积何时最大乘积何时最大解解.假定已分成假定已分成 a=nx,xn 最大最大.试验：试验：x再细分成再细分成2份份,(x/2)2 x x4.两个两个x合并成合并成 2x2.n个个x细分成细分成(nx/(n+1)n+1 xn,x(1+1/n)n+1 n个个x粗分成粗分成(nx/(n-1)n-1 (1+1/(n-1)n-1x=e 时必定满足。时必定满足。第48页匀速圆周运动匀速圆周运动三角函数导数三角函数导数 质点绕原点做匀速圆周运动质点绕原点做匀速圆周运动 角速度角速度 w w,半径半径 R=1 时刻时刻 t:位置位置 P(cosw wt,sinw wt)速度向量速度向量 v 大小为大小为 w,w,方向可由方向可由x轴旋转轴旋转 w wt+p p/2 得到得到,坐标坐标(w wcos(w wt+p p/2),w wsin(w wt+p p/2)=(-w wsinw wt,w wcos w wt)(sinw wt)=w wcos w wt,(cos w wt)=-w wsinw wtw wtsinw wtPw wt+p p/2w wvxO第49页定积分物理模型定积分物理模型:求旅程求旅程已知速度已知速度 v(t)(t a,b)求旅程求旅程匀速匀速:v(t)=k(常数常数),旅程旅程 s=kD Dt=k(b-a)变速变速:分段看成匀速求旅程分段看成匀速求旅程:短旅程短旅程 即时速度即时速度 短时间短时间 大旅程大旅程 i短旅程短旅程 i v(ti)D Dti s=ab v(t)dt第50页 几何模型：求面积几何模型：求面积时间段时间段a,b内旅程内旅程 s=区间区间a,b上速度函数曲线上速度函数曲线v=v(t)与横轴所围面积与横轴所围面积 S(a,b).数学试验数学试验:经过求单位圆面积算经过求单位圆面积算p ptsabv(t)vtabvv(t)=ks=k(b-a)OO第51页 微积分基本定理微积分基本定理数学聊斋数学聊斋(生活中模型生活中模型)：飞檐走壁之电影飞檐走壁之电影 实现实现由旅程由旅程 s=f(t)求速度易求速度易:v(t)=f(t)由速度由速度v(t)求旅程求旅程 s(a,b)=ab v(t)dt 难难倒过来放映倒过来放映:求位置函数求位置函数 f(t)使使 f(t)=v(t)旅程旅程 s(a,b)=位置差位置差D Df(t)=f(b)-f(a).对对 y=f(x),找找 F(x)(原函数原函数)使使 F(x)=f(x),则则第52页求曲边梯形面积求曲边梯形面积例例.求曲线求曲线 y=xn与与 x 轴在区间轴在区间 0,b上上 所围面积所围面积 S(0,b).解解.将将x看成时刻看成时刻,y看成速度看成速度,求位置函数求位置函数 F(x)使使 F(x)=xn则则 S(0,b)=F(b)-F(0).在求导公式在求导公式(axn)=naxn-1中中将将 n 换成换成n+1,a换成换成知知 F(x)=符合要求符合要求.故故 S(0,b)=bn+1Obxyy=xnS(0,b)第53页数学试验:多项式迫近 sin(x)/10/10第54页 罗必达法则罗必达法则创造罗必达法则创造罗必达法则例例.求极限求极限(1)(2)If 分子分母是多项式分子分母是多项式:享受幸运享受幸运!约分约分!Else,创造幸运创造幸运:化成多项式化成多项式(凌波微步凌波微步)再约分再约分!第55页 Taylor展开展开,余项预计余项预计f(n+1)(a)=常数常数,f(n+2)(a)=0f(x)=a0+a1D Dx+an+1(D Dx)n+1(k!)ak=f(k)(a),0kn+1.M1f(n+1)(a)M2gi(k)(a)=f(k)(a),0k0d(x)0,g1(x)f(x)g2(x)f(x)=S Sk=0nf(k)(a)(D Dx)k/(k!)+l l(D Dx)n+1/(/(n+1)!+1)!)M1l l MM2第56页 网上资源网上资源 中科大中科大 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级 数学试验数学试验(),(),线性代数线性代数()()北航北航 http:/ 精品课程精品课程教育部教育部 线性代数线性代数(非数学类非数学类)()()高等数学高等数学 (郑志明郑志明)联络方法联络方法:第57页 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志,线性代数线性代数(数学专业用数学专业用),),高等教育出版社高等教育出版社,.5,.5 第58页 参考文件参考文件凌波微步让微积分更简单易学,大学数学，第24卷第3期,p1-12,.6。线性代数(数学专业用),高教出版社,.让抽象变得自然-建设国家精品课程体会,中国大学教学,第7期线性代数精彩应用案例(之一),大学数学,第3期线性代数精彩应用案例(之二),大学数学,第4期若当标准形计算,大学数学,第5期从问题出发引入线性代数概念,高等数学研究,第5期,第6期第59页数学聊斋数学聊斋 之一之一 峨嵋山佛光峨嵋山佛光 第60页 博比博比:长颈鹿长颈鹿 马马马马 老虎老虎 猫咪猫咪 狮子狮子 狗狗狗狗 黑猩猩黑猩猩 父亲父亲 纠错码纠错码:正当码两两之间差异大正当码两两之间差异大 (最少最少3 3位位)原码原码:010011101011:010011101011传输传输 错码错码:01001:010010 0101011101011纠错纠错 最靠近正当码最靠近正当码之二之二 指鹿为马之幼儿版指鹿为马之幼儿版第61页 数学聊斋数学聊斋 之三之三人挤成照片之维数改变人挤成照片之维数改变 之四之四飞檐走壁之电影实现飞檐走壁之电影实现 第62页 之八之八 足球圆与方足球圆与方 -概率概率 沙场百胜古来稀沙场百胜古来稀 九密一疏已足奇九密一疏已足奇 祸福偶然存概率祸福偶然存概率 风云多变泄天机风云多变泄天机 第63页 之九之九 没收非法所得是处罚吗没收非法所得是处罚吗?-数学期望数学期望某件商品卖某件商品卖500元元正当经营正当经营:成本成本400元，利润元，利润100元。元。制假卖假：成本制假卖假：成本100元，利润元，利润400元，元，非法所得非法所得 400-100=300 元。元。1.没收非法所得：没收非法所得：-300，处罚处罚=0 元。元。2.抓假概率抓假概率 10%：奖励：奖励 300/10=20元元(次）次）3.假一罚十假一罚十:3009(30010 300)=04.提升抓假概率至提升抓假概率至20%=假一罚十假一罚十5.手机竞赛题手机竞赛题第64页 之十五之十五 千手观音有多少只手千手观音有多少只手 -集合元素个数集合元素个数第65页 星移斗转落银河星移斗转落银河,月印三潭伴碧波。月印三潭伴碧波。保短保长皆变换保短保长皆变换,能伸能屈是几何。能伸能屈是几何。矩阵与变换矩阵与变换/10/10第66页 代数几何熔一炉代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书乾坤万物坐标书 图形百态方程绘图形百态方程绘 变换有规矩阵筹变换有规矩阵筹代数与几何代数与几何/10/10第67页 平方得负岂荒谬平方得负岂荒谬,左转两番朝后方左转两番朝后方.加减乘除依旧算加减乘除依旧算,方程有解没商议方程有解没商议.复数复数/10/10第68页 谢谢谢谢！第69页