湖南省郴州市延寿中学2019年高二数学理月考试题含解析.docx

湖南省郴州市延寿中学2019年高二数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. x为实数，且有解，则m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
求出|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．
【详解】有解，只需大于的最小值，，所以，有解．
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．
2. i为虚数单位，
A．i            B．－i         C．1         D．－1
参考答案：
B
3. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（   ）

A．甲类水果的平均质量
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
参考答案：
D
4. “”是“方程表示双曲线”的是（    ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
方程表示双曲线等价于，
即或，所以“”是“方程表示双曲线”
的充分而不必要条件．故选．
5. 在数列中，则的值为（　　）
A. 49　　　　　　B. 50   　　　　　C. 51      　 　  D.52    
参考答案：
D
略
6. 已知则的最小值（    ）
A.  4        B.         C.      D.
参考答案：
A
7. 已知函数f(x)=(2x－a)ex，且f′(1)=3e，则曲线y= f(x)在x =0处的切线方程为（    ）
A. x－y+1=0 B. x－y－1=0
C. x－3y+1=0 D. x+3y+1=0
参考答案：
B
【分析】
先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。
【详解】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.
【点睛】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。
8. 已知f(x)是定义在R上的函数，满足，，当时，，则函数的最大值为（   ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
由题意可知，函数是以为周期的周期函数，且为奇函数，求出函数在区间上的最大值即可作为函数在上的最大值.
【详解】，，则函数为奇函数，则.
由，所以，函数是以为周期的周期函数，
且，又，所以，.
当时，，
那么当时，，
所以，函数在区间上的值域为，
因此，函数的最大值为，故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值，解题时要充分注意函数的最值与单调性、周期性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9. 在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（　　）
A. B. C.1 D.
参考答案：
B
10. 复数的共轭复数是（   ）
A．      B．          C．         D．
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果从抛物线上各点，向轴作垂线段，那么线段中点的轨迹方程为                 。
参考答案：

12. 已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点O，，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是       

参考答案：

略
13. 已知，则      .
参考答案：
120
因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
故答案为：120

14. 已知复数（i是虚数单位），则|z|=　 　．
参考答案：
1
首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．
解： ==，
∴|z|=1，
故答案为：1
15. 求曲线在点M（π，0）处的切线方程　　．
参考答案：
y=﹣
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据曲线的解析式求出导函数，把M的横坐标代入导函数中求出的导函数值为切线方程的斜率，然后由切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．
【解答】解：求导得：y′=，
∴切线方程的斜率k=y′x=π=﹣，
则切线方程为y=﹣（x﹣π），即y=﹣x+1．
故答案为：
16. 在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是　    　，渐近线方程是　    　．
参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线方程，求解虚轴长与渐近线方程即可．
【解答】解：在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是：6；
渐近线方程为：y=x．
故答案为：；
17. 若命题 ，则为____________________；.
参考答案：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．
【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，
∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=﹣a+a2﹣1+b，
又f′（1）=﹣1，
∴a2﹣2a+1=0，
解得a=1，b=．
（2）∵f（x）=x3﹣x2+，
∴f′（x）=x2﹣2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增
极大值
减
极小值
增
所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=，f（2）=，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，
∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8．
19. 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对名岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共人，患胃病者生活规律的共人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共人．
（1）根据以上数据列出列联表；
（2）能够以99%的把握认为岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？
参考答案：
解：（1）由已知可列列联表得：（4分）

患胃病
未患胃病
合计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
合计
80
460
540
（2）根据列联表中的数据，由计算公式得的观测值为：      
        （8分）

因此，我们有的把握说40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．（10分）
略
20. 已知函数f（x）=﹣sin2x+sinx+a，
（1）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围；
（2）若，恒有1≤f（x）≤，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】三角函数的最值．
【分析】（1）由题意可转化为a=sin2x﹣sinx有解，（﹣1≤sinx≤1），通过求解函数y=sin2x﹣sinx（﹣1≤sinx≤1）的值域确定a的范围；
（2）把sinx看成一个整体，求出函数f（x）的值域为[a﹣﹣，a+]，再根据题意得[a﹣﹣，a+]?[1，]，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）∵sinx∈[﹣1，1]
若f（x）=0有实数解?a=sin2x﹣sinx=（sinx﹣）2﹣有解
y=sin2x﹣sinx在区间[﹣1，]上单调递减，[，1]上单调递增
从而y=（sinx﹣）2﹣∈[﹣，2]，
∴a∈[﹣，2]；
（2）f（x）=﹣sin2x+sinx+a
=﹣（sinx﹣）2+a+．
由，﹣≤sinx≤1可以的出函数f（x）的值域为[a﹣﹣，a+]，
由1≤f（x）≤得[a﹣﹣，a+]?[1，]．
∴?+≤a≤4，
故a的范围是+≤a≤4．
21. 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．
(1)若·＝－1，求sin的值；
(2)]O为坐标原点，若＝，且α∈(0，π)，求与的夹角．
参考答案：
(1)＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
得sin2α＋cos2α－3(sin α＋cos α)＝－1，
所以sin＝．
(2)因为＝，
所以(3－cos α)2＋sin2α＝13，
所以cos α＝－，
因为α∈(0，π)，所以α＝，sin α＝，
所以C，
所以＝，
设与的夹角为θ，则=＝，
因为θ∈(0，π)，所以θ＝为所求．
22. 已知数列的前项和为，且。
（1）试计算并猜想的表达式；（2）证明你的猜想，并求出的表达式；
参考答案：
解：（1）
（2）利用数学归纳法证明，