湖南省长沙市县第四中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析.docx

湖南省长沙市县第四中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象大致是（    ）

(A)                   (B)                 (C) (D)
参考答案：
B
，定义域，由得，则函数
在区间内递增，在区间内递减，且，故选B．
2. 已知点A（﹣2，1），y2=﹣4x的焦点是F，P是y2=﹣4x上的点，为使|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标是（　　）
A．（，1） B．（﹣2，） C．（，﹣1） D．（﹣2，）
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】过P作PK⊥l（l为抛物线的准线）于K，则|PF|=|PK|，进而问题转化为求|PA|+|PK|的最小值，当P，A，K三点共线时即当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|+|PK|最小，把y=1代入抛物线方程求得x，则点P的纵坐标可得，进而求得P的坐标．
【解答】解：过P作PK⊥l（l为抛物线的准线）于K，则|PF|=|PK|，
∴|PA|+|PF|=|PA|+|PK|．
∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，
|PA|+|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y=1代入y2=﹣4x，得，
即当P点的坐标为（，1）时，|PA|+|PF|最小．
故选A
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的掌握和数形结合思想的应用．
3. 不等式的解集是
A．                 B.  
       C．                        D.
参考答案：
A
4. 长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　)
A．20π  B．25π
C．50π  D．200π
参考答案：
C
5. 已知为第二象限角，，则（    ）
A．           B．         C．        D．
参考答案：
A
略
6. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件
C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
7. 已知不等式的解集为,则不等式的解集为(     )   A、                   B、    
  C、                    D、
参考答案：
B
略
8. 已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为(     )
A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0
参考答案：
D
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题．
【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．
【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线． 线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为 k==﹣1，
故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为 y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，
故选 D．
【点评】本题考查求线段的中垂线所在的直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．
9. 已知函数在[2, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(     ) 
A.,       B.      C.           D.
参考答案：
C
略
10. 已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为 （  ）
A．                     B．                    C．                   D．
参考答案：
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取           ，         ，          辆.
参考答案：
6  ，  30  ，  10
略
12. .若命题p:R是真命题,则实数a的取值范围是  
参考答案：

13. 数列{}是等差数列，=7，则=_________
参考答案：
49
略
14. 设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为600,则的最大值等于            
参考答案：
2
略
15. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是　     　．
参考答案：
5
【考点】7F：基本不等式．
【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0
∴
∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5
当且仅当即x=2y=1时取等号
故答案为：5
16. 在△ABC中,若,,,则的大小为___________.
参考答案：

略
17. 若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有=          。
参考答案：

略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （满分13分）已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为R，求实数的取值范围.[来源:ks5u]
参考答案：
（Ⅰ）当时，. …………………………………1分
由,得＜0.   …………………………………………3分
即  （.  所以  .  ………………………5分
所以当时，不等式的解集为………………7分
（Ⅱ）若不等式的解集为R，则有.  ………10分    
解得，即实数的取值范围是…………13分
略
19. 求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．
参考答案：
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），利用复合三角函数的单调性转化为求y=sin（x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．
【解答】解：y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），
要求函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．
即求y=sin（x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．
∴由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：
4kπ+≤x≤+4kπ（k∈Z），
∴y=sin（﹣x）的递增区间为[4kπ+，+4kπ]（k∈Z），
又x∈[﹣2π，2π]，
∴y=sin（﹣x）在x∈[﹣2π，2π]上的递增区间为[﹣2π，﹣]和[，2π]．
【点评】本题考查复合三角函数的单调性，由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）求得y=sin（﹣x）的递增区间是关键，也是易错点，属于中档题．
20. (本题满分10分) 已知：，不等式恒成立；
   ：椭圆的焦点在x轴上．
（1）若“且”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“或”为真命题，求实数m的取值范围．
参考答案：
（1）（2）
21. 已知点P的轨迹方程为（x+1）2+（y﹣2）2=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y轴上的截距相等，
（1）若截距均为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．
（2）若截距不为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】圆的标准方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式有，用未知点表示已知点，代入已知关系式中得到结论．
（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0，当直线l在x轴、y轴截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx，并结合线圆相切得到斜率k的值，进而得到结论．
【解答】解：（1）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（x0，y0），
则由中点坐标公式有
∵N点在圆x2+y2=4上，

即为点P的轨迹方程…6分
（2）因直线l在x轴、y轴上截距相等，故l的斜率存在且不为0，
当直线l在x轴、y轴截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx，即kx﹣y=0
∵直线l与（x+1）2+（y﹣2）2=1相切，∴…9分
当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为，即x+y﹣a=0
∵直线l与（x+1）2+（y﹣2）2=1相切，∴，
故直线l的方程为或
综上可知l的方程为：
或或…12分
【点评】本试题主要是考查了利用相关点法求解轨迹方程，以及利用直线与圆相切，确定参数的值，并利用直线在两坐标轴上截距相等得到直线的方程．
22. 已知某芯片所获订单y（亿件）与生产精度x（纳米）线性相关，该芯片的合格率z与生产精度x（纳米）也线性相关，并由下表中的5组数据得到，z与x满足线性回归方程为：．
精度x（纳米）
16
14
10
7
3
订单y（亿件）
7
9
12
14.5
17.5
合格率z
0.99
0.98
0.95
0.93

（1）求变量y与x的线性回归方程，并预测生产精度为1纳米时该芯片的订单（亿件）；
（2）若某工厂生产该芯片的精度为3纳米时，每件产品的合格率为P，且各件产品是否合格相互独立．该芯片生产后成盒包装，每盒100件，每一盒产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．现对一盒产品检验了10件，结果恰有一件不合格，已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格产品支付200元的赔偿费用．若不对该盒余下的产品检验，这一盒产品的检验费用与赔偿费用的和记为，以为决策依据，判断是否该对这盒余下的所有产品作检验？
（参考公式：，）
（参考数据：；）
参考答案：
（1），19.2亿件；（2）分类讨论，详见解析.
【分析】
（1）求出，，根据给定公式求解回归方程并进行预测估计；
（2）根据回归方程求出，令表示余下的90件产品中的不合格品件数，依题意知，，，分类讨论得解.
【详解】（1）由题知：， ，
所以，
所以，所以线性回归方程： ，
所以估计生产精度为l纳米时该芯片的订单为（亿件）；
（2）由题知：在回归直线上，因为，所以，
所以，得 ，
令表示余下的90件产品中的不合格品件数，依题意知，，
因为，即
所以（元），
如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为元  ，
当，即，得
当，即，得
当，即，得
综上：当时，检验与不检验均可；
当时，应该不对剩余产品检验；
当时，应对剩余产品检验．
【点睛】此题考查求回归方程，根据已知数据结合公式求解，根据二项分布求期望值，结合已知条件进行决策分析.