资源描述
221. α
β
γ
a
b
c
图2－63
如图2－63，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。α∩γ＝a，β∩γ＝b且a∥b，求证α∥β。
证明：在平面γ内作直线c⊥a，
∵a∥b，∴c⊥b。
∵α⊥γ，∴c⊥α，
又∵β⊥γ，∴c⊥β，
∴α∥β
222. 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。
已知：如图：a//α,a//β,α∩β＝b，求证：a//b
解析： 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。
证明: 如图2－28，过a作平面γ、δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d，那么有
αα
β
bα
aα
cα
dα
δ
γ
点评: 本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。
223.
A
B
C
D
E
F
G
H
图2－29
如图2－29：四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，
（1）求证：CD//平面EFGH；
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
证明：（1）∵截面EFGH是一个矩形，
∴EF//GH，又GH平面BCD
∴EF//平面BCD，而EF平面ACD，面ACD∩面BCD＝CD
∴EF// CD，∴CD//平面EFGH
解：（2）则（1）知EF// CD，同理AB//FG，
由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。
∴AB、CD所成的角为90°
224. 图2－31
A
M
a
O
N
B
b
α
如图2－31：设a、b是异面直线，A∈a，B∈b，AB⊥a，AB⊥b，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上任意两点，MN与α交于点P，
求证：P是MN的中点。
证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ，OQ。
∵ b//α，b平面ABN，平面ABN∩α＝OQ，
∴b// OQ，又O为AB有中点，∴Q为AN的中点。
∵a//α，a 平面AMN，平面AMN∩α＝PQ，
∴a// PQ，
∴P是MN的中点。
D
A
B
C
H
E
G
F
图2－32
225.如图2－32：平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB
（1）求证：EFGH是矩形
（2）点E在什么位置时，EFGH的面积最大
D
A
B
C
H
E
G
F
图2
（1）证明：∵CD//平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF
∴CD//EF，同理HG//CD，∴EF// HG，同理HE//GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，由CD//EF，HE// AB，
∴∠HEF为CD和AB所成的角
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF
∴四边形EFGH为矩形
（2）解：由（1）可知在BCD中EF//CD，设DE＝m，EB＝n
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226. 如图2－23：已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BDC1。
A1
A
B
C
D
B1
C1
D1
图2－23
解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线
证明:∵ABC1D1，C1D1A1B1，∴AD1//BC1∴AB A1B1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1//平面AB1D1，同理，BD//平面AB1D1，又BD∩BC1＝B，
∴平面AB1D1//平面BDC1。
点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。
227.如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，
（1）求证：平面MNG//平面ACD；
（2）求[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]
A
B
D
C
P
H
F
M
G
N
图2－24
解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
则有：
连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。
解：由（1）可知，
∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD
同理：NG＝AC，MN＝CD，
∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，
∴＝1：9
点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
228. A
B
C
D
E
F
G
H
如图：在正方体ABCD－EFGH中，求证：平面AFH//平面BDG。
解析：易证BD//平面AHF，BG//平面AHF，
∴平面BDG//平面AHF。[来源:学科网ZXXK]
A
B
C
D
E
F
G
H
图2－26
R
Q
S
M
N
P
229.如图：在正方体ABCD－EFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP//平面QRS。
解析：先证明SR//BD，BD//HF,HF//NP,
∴SR//平面MNP,再证RO//平面MNP，
从而证明平面MNP//平面QRS
230. 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号
1．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 （ ）[来源:学科网ZXXK]
2．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 （ ）
3．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （ ）
4．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 （ ）
5．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 （ ）
解析： 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。
解答: 1．直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此应打×
2．该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“√”号；若为相交，则该命题应打“×”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“×”号
3．垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”
4．前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴该命题应打“√”[来源:学科网]
5．三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，
∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝0，且c确定一平面，设为α，则a⊥α，
同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面
∴该命题应打“√”[来源:学科网ZXXK]
点评:此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。
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