一阶微分方程.pptx

Basic concept of differential equations三、齐次方程三、齐次方程一、一阶微分方程的形式一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程微微积积分分电电子子教教案案二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程2/18方程中方程中f(x,y)就是就是零次齐次函数零次齐次函数二、齐次方程二、齐次方程3.解法解法作变量代换作变量代换代入原式得代入原式得1.1.标准形式标准形式2.2.常见形式常见形式齐次函数齐次函数概念？概念？要分清新老变量！要分清新老变量！关于关于u的微分方程的微分方程3/18用用“”不用不用“”代入原式得代入原式得2)求解：分离变量求解：分离变量积分得：积分得：可分离变量的方程可分离变量的方程4/18例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 2 2 求解微分方程求解微分方程5/18微分方程的解为微分方程的解为例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解（1）6/18代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为对不好判断的微分对不好判断的微分方程方程,先化为正规型先化为正规型7/18一一 阶阶 线线 性性 微微 分分 方方 程程 的的 标标 准准 形形 式式:上述方程称为上述方程称为齐次的齐次的.上述方程称为上述方程称为非齐次的非齐次的.三、一阶线性方程三、一阶线性方程例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.未知函数及导未知函数及导数都是一次的数都是一次的8/18齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程 的通解的通解.一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的 解解 法法(使用分离变量法使用分离变量法)例例1 1解解1:分离变量分离变量9/18解解2:两端积分得两端积分得:2.线性非齐次方程线性非齐次方程 的通解的通解当当u（x）？时，）？时，y 真的是解。真的是解。10/18积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:此法称为常数变易法：此法称为常数变易法：1 1、求齐次方程的通解。、求齐次方程的通解。2 2、把齐次方程通解中的任意常数、把齐次方程通解中的任意常数C C变易为变易为待定函数待定函数 u(x).).3 3、代入原方程确定、代入原方程确定 u(x).).11/18解解1:例例2 2用常数变易法及公式法用常数变易法及公式法原方程对应的齐次方程为原方程对应的齐次方程为:其中其中设原方程的解为设原方程的解为 求导得求导得代入原方程整理得代入原方程整理得:12/18解解2:练习练习:13/18所求特解为所求特解为例例3:解解:原方程化为原方程化为:14/18解解:原方程化为原方程化为可化为一阶线性微分方程的微分方程可化为一阶线性微分方程的微分方程特点特点解法解法15/18积分积分:解解:将原方程化为正规型将原方程化为正规型16/18解解:求导得求导得17/18由题意知由题意知 代入通解代入通解:注意注意:和和 的区别的区别.作业：作业：P384，2（1，3，5），），3（1，4，7），），4（4，6，7）P396 1（4）18/181 1、若、若则则f(x)=_ 2、设函数设函数f(t)在在 0,+)上连续上连续,且满足方程且满足方程求求f(t).解释解释:1 1、利用微分法消去可变上限积分、利用微分法消去可变上限积分,使方程变使方程变为微分方程为微分方程,再求解再求解.解：解：方程两边对方程两边对x求导求导,得得：f (x)=f(x)(2x)=2f(x)记记f(x)=y,则上式为：则上式为：2,ln)2()(20+=dttfxfxdxdyyxfetftyxt +=22224224)21()(p pydxdy2=分离变量分离变量,得：得：dxydy2=lny=2x+lnC注意注意:1:1、求导、求导2 2、隐条件隐条件代入初始条件代入初始条件f(0)=ln2,得得:C=ln2xCey2=2ln2xey=练习：练习：19/182、解：积分区域、解：积分区域D是以是以2t为半径的园域为半径的园域D=(r,)|02，0r2t于是有：于是有：对对t求导，得：求导，得：此为关于此为关于f(t)的微分方程的微分方程20/18代入初始条件代入初始条件f(0)=1，得得：1=C故所求为：故所求为：难度反映在计算量大，知识点多难度反映在计算量大，知识点多极坐标极坐标变上限求导变上限求导一阶线性方程一阶线性方程求常数求常数(隐条件隐条件)