1、数学试验之十三混沌中国科学技术大学数学系陈发来第1页试验内容函数迭代二次函数迭代FeigenBaum图混沌特征其它函数迭代第2页一、函数迭代 给定一函数 以及初始点 ，定义数列 称为函数 迭代序列。满足 点 称为 不动点不动点，记之为 。假如全部附近点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点吸引点。假如全部附近第3页点都远离它，则它是排斥点排斥点。比如，0 与 1 是 不动点。0 是吸引点，1是排斥点。假如则点集 形成一个 k k 循环循环。称为 k 周期点周期点。k称为周期周期。第4页类似地，周期点也能够分吸引点与排斥点。假如点 最终究宿于某个循环中，则称它为预周期点预周期点。如
2、 1 是 预周期点。迭代序列 收敛与发散性质不但与函数 相关，而且与初值选择相关。比如，对于迭代第5页 当初值 时，迭代序列收敛，不然发散。第6页二、二次函数迭代对二次函数对二次函数 做迭代做迭代:迭代几何直观图迭代几何直观图第7页练习练习 1 1 对几组不一样参数值 （如 1.4)以及不一样初值 ，观察迭代是否收敛。练习练习 2 2 取参数 ，用不一样初值做迭代。你能找到一个吸引不动点吗？一个排斥不动点吗？哪些初值收敛到吸引不动点？哪些初值使序列发散？取不动参数 回答一样问题。第8页练习练习 3 3 找出一个参数 使它对应迭代含有2周期点。这种性质依赖于初值吗？练习练习 4 4 对任意整数
3、，你能找到一个 值使得它对应迭代含有 周期点吗？对哪些 值能给出 周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对 和 值进行验证）第9页练习练习 5 5 假如某个 值能给出周期点，它是否一定是吸引周期点？你能否找到排斥周期点？练习练习 6 6 依据前面练习，试着从理论上分析：怎样求不动点？对哪些 值对应吸引不动点？哪些 值对应排斥不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似分析。第10页不动点计算不动点计算 从 得到 及第11页 吸引不动点与排斥不动点吸引不动点与排斥不动点 定理定理设 是 不动点，假如在 附近有 ，则 是 吸引不动点；不然，是 排斥不动点。因为 故当 0a1时，为吸引点，(a
4、-1)/a为排斥点。当1a3,为排斥点，(a-1)/a为吸引点。第12页 2 2 周期点周期点 得第13页三、Feigenbaum图将区间（0,4 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最终形成图形称为 Feigenbaum图。第14页练习练习 7 观察Feigenbaum图。（1）它左部有一条曲线，这表示什么意义？（2）从某一点 开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代什么性质？迭代点是怎样运动？（3）再在下一个分支点 ，曲线分成几支？这说明迭代什么性质？（4）上述分支过程是否一直进行下去？第15页是否存在极限分支点?（5）在极限分支点之
5、后，Feigenbaum图是否显得很混乱？练习练习 8 在Feigenbaum图右部，有一个有三条线穿过空白地带，它是一个周期为3 窗口。你能找到其它窗口吗？它们周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？第16页四、混沌特征对初值敏感性对初值敏感性练习练习 9 任取两个初值使它们之间差绝对值不超出 0.1,在迭代他们是否逐步分开？假如两个初值差绝对值不超出0.01,0.001,0.0001 结果怎样？由此得出迭代对初值是否敏感？第17页 非随机性非随机性 依然考虑迭代练习练习 10 从不一样初值 出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中点个数，你得到结果是随机吗？深入，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间点个数？结果怎样？第18页五、其它函数迭代锯齿函数锯齿函数 练习练习 11 11 锯齿函数迭代对初值是否敏感？找出锯齿函数周期点。第19页 帐篷函数帐篷函数 练习练习 12 12 帐篷函数迭代对初值是否敏感？找出帐篷函数周期点。第20页 其它函数迭代其它函数迭代 对以下函数迭代行为做探讨，并与函数 迭代行为相比较。第21页六、听一听混沌练习练习 14 选取初值 （如 ），由迭代产生迭代序列 ，依据 大小确定对应音调高低，编程演奏该迭代序列。第22页
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