数学文化十一省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

微积分完备化微积分完备化 -浅谈三次数学危机浅谈三次数学危机 1第1页 历史上，数学发展有顺利也有波折。大挫历史上，数学发展有顺利也有波折。大挫折也能够叫做危机。危机也意味着挑战，危折也能够叫做危机。危机也意味着挑战，危机处理就意味着进步。所以，危机往往是数机处理就意味着进步。所以，危机往往是数学发展先导。数学发展史上有三次数学危机。学发展先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是每一次数学危机，都是数学基本部分数学基本部分受到质受到质疑。实际上，也恰恰是这疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了三次危机，引发了数学上三次思想解放数学上三次思想解放，大大推进了数学科学，大大推进了数学科学发展。发展。2第2页 一、第一次数学危机一、第一次数学危机 第第一一次次数数学学危危机机是是由由 不不能能写写成成两两个个整整数数之之比比引引发发，我我们们以以前前已已经经专专门讨论过，现再简明回顾一下。门讨论过，现再简明回顾一下。3第3页 这这一一危危机机发发生生在在公公元元前前5世世纪纪，危危机机起起源源于于：当当初初认认为为全全部部数数都都能能表表示示为为整整数数比比，但但突突然然发发觉觉 不不能能表表为为整整数数比比。其实质是：其实质是：是无理数，全体整数之比是无理数，全体整数之比组成是有理数系，有理数系需要扩充，需组成是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数。要添加无理数。4第4页 当初古希腊欧多克索斯部分地处理了这一危机。当初古希腊欧多克索斯部分地处理了这一危机。他采取了一个十分巧妙关于他采取了一个十分巧妙关于“两个量之比两个量之比”新说法，新说法，回避了回避了 是无理数实质，而是用几何方法去处理不是无理数实质，而是用几何方法去处理不可公度比。这么做结果，使几何基础牢靠了，几何可公度比。这么做结果，使几何基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得几何原本中从全部数学中脱颖而出。欧几里得几何原本中也采取了这一说法，以致在以后近二千年中，几何也采取了这一说法，以致在以后近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学基础。变成了几乎是全部严密数学基础。不过彻底处理这一危机是在不过彻底处理这一危机是在19世纪，依赖实数世纪，依赖实数理论建立。理论建立。5第5页 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创建微积分十七世纪。当初第二次数学危机发生在牛顿创建微积分十七世纪。当初背景是：微积分诞生之后，数学迎来一次空前繁荣时期。背景是：微积分诞生之后，数学迎来一次空前繁荣时期。数学家们把微积分应用于各个领域，并取得了丰硕结果。数学家们把微积分应用于各个领域，并取得了丰硕结果。在数学本身他们又发展了微分方程理论，无穷级数理论，在数学本身他们又发展了微分方程理论，无穷级数理论，大大地扩展了数学研究范围。这一时期被称为英雄世纪。大大地扩展了数学研究范围。这一时期被称为英雄世纪。但微积分在基础理论上存在很多缺点。第一次数学危机是但微积分在基础理论上存在很多缺点。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出，第二次数学危机则是由牛顿由毕达哥拉斯学派内部提出，第二次数学危机则是由牛顿学派外部、贝克莱大主教提出，是对牛顿学派外部、贝克莱大主教提出，是对牛顿“无穷小量无穷小量”说说法质疑引发。法质疑引发。6第6页 1危机引发危机引发 1）牛顿）牛顿“无穷小无穷小”牛顿微积分是一项划时代科学成就，蕴含着巨牛顿微积分是一项划时代科学成就，蕴含着巨大智慧和创新，但也有逻辑上问题。我们来看一大智慧和创新，但也有逻辑上问题。我们来看一个例子。个例子。微积分一个起源，是想求运动物体在某一时刻微积分一个起源，是想求运动物体在某一时刻瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内。在牛顿之前，只能求一段时间内平均平均速度速度，无法求某一时刻瞬时速度。，无法求某一时刻瞬时速度。7第7页 比如，设自由落体在时间比如，设自由落体在时间 下落距离为下落距离为 ，有，有公式公式 ，其中，其中 是固定重力加速度。我们要是固定重力加速度。我们要求物体在求物体在 瞬时速度，先求瞬时速度，先求 。（*）8第8页 当当 变成无穷小时，右端变成无穷小时，右端 也也变成无穷小，因而上式右端就能够认为是变成无穷小，因而上式右端就能够认为是 ，这就是物体在，这就是物体在 时瞬时速度，它是两时瞬时速度，它是两个无穷小之比。个无穷小之比。牛顿这一方法很好用，处理了大量过去牛顿这一方法很好用，处理了大量过去无法处理科技问题。不过逻辑上不严格，无法处理科技问题。不过逻辑上不严格，遭到责难。遭到责难。9第9页 2）贝克莱发难）贝克莱发难 英国贝克莱大主教发表文章猛烈攻英国贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿理论。击牛顿理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个作为一个量，终究是不是量，终究是不是0？10第10页 假如是假如是0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0，就，就没有意义了。假如不是没有意义了。假如不是0，上式右端，上式右端 就不能任就不能任意去掉。意去掉。在推出上式时，假定了在推出上式时，假定了 才能做除法，所以才能做除法，所以上式成立是以上式成立是以 为前提。那么，为何又能够让为前提。那么，为何又能够让 而求得瞬时速度呢？而求得瞬时速度呢？所以，牛顿这一套运算方法，就如同从所以，牛顿这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0，得出，得出5=3一样一样荒谬。荒谬。（*）11第11页 贝克莱还讽刺讽刺说：即然贝克莱还讽刺讽刺说：即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既了，而无穷小作为一个量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量鬼魂量鬼魂”了。了。这就是著名这就是著名“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分这一责难并不是由数学家提对牛顿微积分这一责难并不是由数学家提出，不过，非常击中要害。出，不过，非常击中要害。12第12页贝克莱责问是击中要害贝克莱责问是击中要害数学家在快要2时间里，不能彻底反驳贝克莱责难。直至柯西创建极限理论，才很好地反驳了贝克莱责难。直至魏尔斯特拉斯创建“”语言，才彻底地反驳了贝克莱责难。13第13页 3）实践是检验真理唯一标准）实践是检验真理唯一标准 应该认可，贝克莱责难是有道理。应该认可，贝克莱责难是有道理。“无穷小无穷小”方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当初其它数学家并不能在逻辑上严格说清初其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”方法。数学家们相信它，只是因为它使用起来方法。数学家们相信它，只是因为它使用起来方便有效，而且得出结果总是正确。尤其是像海方便有效，而且得出结果总是正确。尤其是像海王星发觉那样鼓舞人心例子，显示出牛顿理论和王星发觉那样鼓舞人心例子，显示出牛顿理论和方法巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱指责。方法巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱指责。这表明，在大多数人脑海里，这表明，在大多数人脑海里，“实践是检验真理实践是检验真理唯一标准。唯一标准。”14第14页 2危机实质危机实质 第一次数学危机实质是第一次数学危机实质是“不是有理不是有理数，而是无理数数，而是无理数”。那么第二次数学危机实。那么第二次数学危机实质是什么？应该说，是质是什么？应该说，是极限概念不清楚，极极限概念不清楚，极限理论基础不牢靠。限理论基础不牢靠。也就是说，微积分理论也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。缺乏逻辑基础。15第15页 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走无穷小物体所走无穷小距离与所用无穷小时间之比距离与所用无穷小时间之比”时候，这种说法本身时候，这种说法本身就是不明确，是含糊。就是不明确，是含糊。当然，牛顿也曾在他著作中说明，所谓当然，牛顿也曾在他著作中说明，所谓“最终最终比比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为0还不是还不是0时比时比比比如（如（*）式中）式中gt，它不是，它不是“最终量比最终量比”，而是，而是“比所比所趋近极限趋近极限”。他这里即使提出和使用了他这里即使提出和使用了“极限极限”这个词，但这个词，但并没有明确说清这个词意思。并没有明确说清这个词意思。16第16页 德国莱布尼茨即使也同时创造了微积分，德国莱布尼茨即使也同时创造了微积分，不过也没有明确给出极限定义。不过也没有明确给出极限定义。正因为如此，今后近二百年间数学家，正因为如此，今后近二百年间数学家，都不能满意地解释贝克莱提出悖论。都不能满意地解释贝克莱提出悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发第二次数学危引发第二次数学危机，机，实质上是缺乏严密极限概念和极限理论实质上是缺乏严密极限概念和极限理论作为微积分学基础。作为微积分学基础。17第17页牛顿莱布尼茨18第18页 3危机处理危机处理 1）必要性）必要性 微积分即使在发展，但微积分逻辑微积分即使在发展，但微积分逻辑基础上存在问题是那样显著，这毕竟是基础上存在问题是那样显著，这毕竟是数学家一块心病。数学家一块心病。19第19页 而且，伴随时间推移，研究范围扩大，类而且，伴随时间推移，研究范围扩大，类似悖论日益增多。数学家在研究无穷级数时似悖论日益增多。数学家在研究无穷级数时候，做出许多错误证实，并由此得到许多错候，做出许多错误证实，并由此得到许多错误结论。因为没有严格极限理论作为基础。误结论。因为没有严格极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛问题）。虑无穷级数收敛问题）。20第20页 所所以以，进进入入19世世纪纪时时，首首先先微微积积分分 取取 得得 成成 就就 超超 出出 人人 们们 预预 料料，另另 一一 方方面面，大大量量数数学学理理论论没没有有正正确确、牢牢靠靠逻逻辑辑基基础础，所所以以不不能能确确保保数数学学结结论论是是正正确确无无误。误。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。21第21页 2）严格极限理论建立）严格极限理论建立 到到19世纪，一批出色数学家辛勤、世纪，一批出色数学家辛勤、天才工作，终于逐步建立了严格极限天才工作，终于逐步建立了严格极限理论，并把它作为微积分基础。理论，并把它作为微积分基础。应该指出，严格极限理论建立是应该指出，严格极限理论建立是逐步、漫长。逐步、漫长。22第22页 在在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步、粗糙。那是初步、粗糙。达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠理论去年指出，必须用可靠理论去代替当初使用粗糙极限理论。但他本人未能提供这代替当初使用粗糙极限理论。但他本人未能提供这么理论。么理论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格论证引入数学分析，他写无穷悖论一书中包含论证引入数学分析，他写无穷悖论一书中包含许多真知灼见。许多真知灼见。23第23页 而做出决定性工作、可称为分析学奠而做出决定性工作、可称为分析学奠基人是基人是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版年间出版分析教程和无穷小计算分析教程和无穷小计算讲义讲义是数学史上划时代著作。他对极限给是数学史上划时代著作。他对极限给出比较准确定义，然后用它定义连续、导数、出比较准确定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数收敛性，已与我们微分、定积分和无穷级数收敛性，已与我们现在教科书上差不太多了。现在教科书上差不太多了。24第24页柯西波尔查诺波尔查诺25第25页 3）严格实数理论建立）严格实数理论建立 对以往理论再认识对以往理论再认识 以后一些发觉，使人们认识到，极限理以后一些发觉，使人们认识到，极限理论深入严格化，需要实数理论严格化。微积论深入严格化，需要实数理论严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究。分或者说数学分析，是在实数范围内研究。不过，下边两件事，表明极限概念、连续性、不过，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系依赖比人们想象要可微性和收敛性对实数系依赖比人们想象要深奥得多。深奥得多。26第26页 一件事是，一件事是，1874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）结构了一个）结构了一个 “点点连续而点点不可导函数点点连续而点点不可导函数”。“连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断，函数曲线没有间断，连在一起连在一起”，而，而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函函数曲线在该点有切线数曲线在该点有切线”。所以，在直观上。所以，在直观上“连续连续”与与“可导可导”有亲密联络。有亲密联络。这之前甚至有些人还证实过：函数在连续点上这之前甚至有些人还证实过：函数在连续点上都可导（当然是错误）。所以根本不可想象，还会都可导（当然是错误）。所以根本不可想象，还会有有“点点连续而点点不可导函数点点连续而点点不可导函数”。27第27页 魏尔斯特拉斯(18151897)德国数学家。1810月31日生于威斯特法伦州奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日取得柯尼斯堡大学声誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院组员，1864年升为教授。28第28页 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导函数点点连续而点点不可导函数”例子是例子是 其中其中 是奇数，是奇数，使使 。29第29页 另一件事是德国数学家黎曼另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发觉，）发觉，柯西把定积分限制于连续函数是没有必柯西把定积分限制于连续函数是没有必要。要。黎曼证实了，被积函数不连续，其黎曼证实了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续，当自变量取有理数无理数时它是连续，当自变量取有理数时它是不连续。时它是不连续。30第30页 黎曼黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年学生。31第31页 这这些些例例子子使使数数学学家家们们越越来来越越明明白白，在在 为为 分分 析析 建建 立立 一一 个个 完完 善善 基基 础础方方 面面，还还 需需 要要 再再 前前 深深 入入：即即需需 要要了解和说明实数系更深刻性质。了解和说明实数系更深刻性质。32第32页 魏尔斯特拉斯贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，18151897）努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。他成功产生了深远影响，主要表现在两方面，一方面是建立了实数系，其次是创造了精确“”语言。33第33页柯西贡献柯西贡献柯西柯西（A.L.Cauchy,1789-A.L.Cauchy,1789-18571857），法国数学家，），法国数学家，在数学分析和置换群在数学分析和置换群理论方面做了开拓性理论方面做了开拓性工作，是最伟大近代工作，是最伟大近代数学家之一。他在数学家之一。他在1821-18231821-1823年出版年出版分析教程和无分析教程和无穷小计算讲义是数穷小计算讲义是数学史主划时代著作。学史主划时代著作。34第34页魏尔斯特拉斯规划魏尔斯特拉斯规划魏尔斯特拉斯提出一个规划：魏尔斯特拉斯提出一个规划：1)1)逻辑地结构实数系；逻辑地结构实数系；2)2)从实数系出发去定义极限概念、从实数系出发去定义极限概念、连续性、可微性、收敛和发散。连续性、可微性、收敛和发散。这一规划被称为这一规划被称为分析算术化分析算术化。35第35页魏尔斯特拉斯规划魏尔斯特拉斯规划魏尔斯特拉斯规划成功影响：魏尔斯特拉斯规划成功影响：q既然分析能从实数系导出，所以，假如实既然分析能从实数系导出，所以，假如实数系是相容，那么全部分析是相容。数系是相容，那么全部分析是相容。q欧氏几何经过笛卡尔坐标系也能奠基于实欧氏几何经过笛卡尔坐标系也能奠基于实数系上。所以，假如实数系是相容，那么欧数系上。所以，假如实数系是相容，那么欧氏几何也是相容，几何学其它分支也是相容。氏几何也是相容，几何学其它分支也是相容。q实数系可用来解释代数许多分支，所以许实数系可用来解释代数许多分支，所以许多代数相容性也依赖于实数系相容性。多代数相容性也依赖于实数系相容性。36第36页魏尔斯特拉斯规划魏尔斯特拉斯规划总之，第二次数学危机关键是微积分总之，第二次数学危机关键是微积分基础不稳固。基础不稳固。柯西贡献在于将微积分建立在极限论柯西贡献在于将微积分建立在极限论基础上，遗留问题是，任何实数列极基础上，遗留问题是，任何实数列极限存在吗？限存在吗？魏尔斯特拉斯贡献在于，先逻辑地结魏尔斯特拉斯贡献在于，先逻辑地结构实数系，因而建立分析基础逻辑次构实数系，因而建立分析基础逻辑次序是实数系序是实数系极限论极限论微积分。微积分。37第37页从有理数谈起从有理数谈起有理数系是稠密，而且四则运算封闭，有理数系是稠密，而且四则运算封闭，是我们碰到第一个比较完美数系。但是我们碰到第一个比较完美数系。但它仍存在严重缺点。它仍存在严重缺点。q从几何角度，有理数没有填满整个数从几何角度，有理数没有填满整个数轴。轴。q从代数角度，有理数系对开方运算不从代数角度，有理数系对开方运算不封闭。封闭。q从变量角度考虑，有理数在极限运算从变量角度考虑，有理数在极限运算下不封闭。下不封闭。38第38页从有理数谈起从有理数谈起39第39页戴德金分割戴德金分割戴德金关于分划定义：q定义 把全体有理数集合分成两个集合A和A，满足下面三个条件：v集合A和A都是非空（不空）；v每一个有理数在而且只在A与A两个集合一个之中（不漏）；v集合A中每一个数a都小于集合A中每一个数a(不乱)40第40页戴德金分割戴德金分割q命题命题 不存在不存在Q Q这么分划这么分划A|AA|A，使，使A A中有最大数，中有最大数，AA中有最小数。中有最小数。分划有三种类型：分划有三种类型：1)1)在上类中没有最小数，而在下类中有最在上类中没有最小数，而在下类中有最大数大数r r；2)2)在上类中有最小数在上类中有最小数r,r,而在下类中没有最大而在下类中没有最大数；数；3)3)在上类中没有最小数，在下类中也没有在上类中没有最小数，在下类中也没有最大数。最大数。41第41页戴德金分割戴德金分割q定义定义任何属于类型任何属于类型3 3）分划定义了）分划定义了一个无理数一个无理数a.a.对于每个有理数对于每个有理数r r，存在两个定义它分划，存在两个定义它分划，定义其归入上类，则下类定义其归入上类，则下类A A中没最大数。中没最大数。42第42页实数性质实数性质实数有三种基本性质：实数有三种基本性质：q实数有序性实数有序性q实数连续性实数连续性q实数代数结构实数代数结构43第43页实数集合有序化实数集合有序化v定义定义由分划由分划A|AA|A和和B|BB|B分别定义分别定义两个实数两个实数 ,当且仅当这两个分划相当且仅当这两个分划相同时才相等。同时才相等。v定义定义若若A A类完全包含类完全包含B B类，且不与类，且不与B B类相同，则称类相同，则称 或或v定理定理1 1任何两个实数和之间必有以下任何两个实数和之间必有以下三种关系之一：三种关系之一：44第44页实数集合有序化实数集合有序化v引理引理1 1设设 是两个任意实数。若是两个任意实数。若 v 则总能够找到有理数则总能够找到有理数r r，使之介，使之介于于 之间：之间：v引理引理2 2设设 是两个给定实数，假是两个给定实数，假如对不论怎样小有理数如对不论怎样小有理数e0e0，总能使，总能使 夹在两个一样有理数中间：夹在两个一样有理数中间：45第45页实数集合连续性实数集合连续性v定理定理2 2（戴德金）（戴德金）对实数集合任何分对实数集合任何分划划A|AA|A，都存在产生这个分划实数，都存在产生这个分划实数a a，这，这个数个数 或者是下类或者是下类A A中最大数，或者是上类中最大数，或者是上类AA中最小数。中最小数。这个定理是实数理论第一个主要定理，这个定理是实数理论第一个主要定理，又称为戴德金基本定理。又称为戴德金基本定理。46第46页确界存在定理确界存在定理几个基本概念：几个基本概念：设设E E是一个实数集合，假如存在数是一个实数集合，假如存在数M M，使得对全部使得对全部 都有都有 我们就说集合我们就说集合E E是是有界集有界集假如假如E E不满足上述条件，即对任意正数不满足上述条件，即对任意正数M M，不论它多大，总有，不论它多大，总有 ，使得，使得 ，我们就称，我们就称E E为为无界集无界集47第47页确界存在定理确界存在定理几个基本概念：几个基本概念：对于集合对于集合E E来说，假如存在数来说，假如存在数K K（或（或k k），），使得对全部数使得对全部数 都有都有 ，我们就称集合，我们就称集合E E有有上界上界（或者有（或者有下界下界）。）。数数K(K(或或k)k)称为集合称为集合E E一个上界（或下界）。一个上界（或下界）。48第48页确界存在定理确界存在定理几个基本概念：几个基本概念：49第49页确界存在定理确界存在定理v定理定理3 3假如假如H=xH=x是有上（下）界集合，是有上（下）界集合，则它一定有上（下）确界。则它一定有上（下）确界。证实略证实略50第50页根存在性根存在性v单调序列必有极限单调序列必有极限v区间套定理区间套定理:一定能套住一个点一定能套住一个点v从任何有界序列中总能选出收敛于有限极限子序列从任何有界序列中总能选出收敛于有限极限子序列.v v （柯西准则）（柯西准则）51第51页 “”语言成功，表现在：语言成功，表现在：这这 一一 语语 言言 给给 出出 极极 限限 准准 确确 描描 述述，消消 除除了了 历历 史史 上上 各各 种种 含含 糊糊 用用 语语，诸诸 如如“最最终终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这这 么么 一一 来来，分分 析析 中中 全全 部部 基基 本本 概概 念念 都都能能 够够 经经 过过 实实 数数 和和 它它 们们 基基 本本 运运 算算 和和 关关 系系 精精确地表述出来。确地表述出来。52第52页 4）极限）极限“”定义及定义及“贝克莱悖贝克莱悖论论”消除消除 极限极限“”定义定义53第53页 定义：设函数定义：设函数 在在 附近都有定附近都有定义，假如有一个确定实数义，假如有一个确定实数 （不论多不论多么小正数么小正数 ）。）。都都 （都能找到一个正数都能找到一个正数 ，依赖，依赖于于 ），使当），使当 时（时（满足不等式满足不等式 全部不等于全部不等于 ），有），有 （这些这些 对应函数值对应函数值与与 差小于预先给定任意小差小于预先给定任意小 ）我们就）我们就说说“函数函数 在在 趋近于趋近于 时，有极限时，有极限 ”。记为记为 。54第54页 由由极极限限这这个个“”定定义义，能能够够求求出出一一些些基基本本极极限限，并并严严格格地地建建立立一一整整套套丰富极限理论。简单说，比如有丰富极限理论。简单说，比如有 两两个个相相等等函函数数，取取极极限限后后仍仍相相等等；两两 个个 函函 数数，和和 极极 限限 等等 于于 极极 限限 和和。等等。等等。由此再建立严格微积分理论。由此再建立严格微积分理论。55第55页 “贝克莱悖论贝克莱悖论”消除消除 回到牛顿（回到牛顿（*）式上：）式上：（*）这是在这是在 （即（即 ）条件下，得到等式；它）条件下，得到等式；它表明表明 时间内物体平均速度为时间内物体平均速度为 。（。（*）式等号两边都是函数。然后，我们把物体在式等号两边都是函数。然后，我们把物体在 时时刻瞬时速度定义为：上述平均速度当刻瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于趋于0时极时极限，即限，即 物体在物体在 时刻瞬时速度时刻瞬时速度=。56第56页 下边我们对（下边我们对（*）式等号两边同时取）式等号两边同时取极限极限 ，依据，依据“两个相等函数取极两个相等函数取极限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再依据再依据“两个函数和极限等于极限两个函数和极限等于极限和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 57第57页 上述过程所得结论与牛顿原先结论上述过程所得结论与牛顿原先结论是一样，但每一步都有了严格逻辑基是一样，但每一步都有了严格逻辑基础。础。“贝克莱悖论贝克莱悖论”焦点焦点“无穷小量无穷小量 是是不是不是0？”，在这里给出了明确回答：，在这里给出了明确回答：。这里也没有这里也没有“最终比最终比”或或“无限趋近无限趋近于于”那样含糊不清说法。那样含糊不清说法。58第58页 总之，第二次数学危机关键是微积分基础不稳总之，第二次数学危机关键是微积分基础不稳固。柯西贡献在于，将微积分建立在极限论基础。固。柯西贡献在于，将微积分建立在极限论基础。魏尔斯特拉斯贡献在于，逻辑地结构了实数系，建魏尔斯特拉斯贡献在于，逻辑地结构了实数系，建立了严格实数理论，使之成为极限理论基础。所以，立了严格实数理论，使之成为极限理论基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础建立数学分析（或者说微积分）基础“逻辑次序逻辑次序”是：是：实数理论实数理论极限理论极限理论微积分。微积分。而而“历史次序历史次序”则恰好相反。则恰好相反。59第59页知识知识逻辑次序逻辑次序与与历史次序历史次序有时是有时是不一样不一样.60第60页 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”曙光曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极出现使几何理论愈加扩展和完善；实数理论（和极限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算限理论）出现使微积分有了牢靠基础；群理论、算术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。术公理出现使算术、代数逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在人们水到渠成地思索：整个数学基础在哪里？正在这时，这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学基础。合论有可能成为整个数学基础。61第61页 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成图形为对象。同时，用集合论语言，算术对象可说图形为对象。同时，用集合论语言，算术对象可说成是成是“以整数、分数等组成以整数、分数等组成集合集合”；微积分对象可；微积分对象可说成是说成是“以函数等组成以函数等组成集合集合”；几何对象可说成是；几何对象可说成是“以点、线、面等组成以点、线、面等组成集合集合”。这么一来，。这么一来，都是以都是以集合为对象集合为对象了。了。集合成了更基本概念。集合成了更基本概念。62第62页 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”危机。尽管集合论本身相容性还未证实，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在19巴黎国际数学家大会上宣称：“现在 我们能够说，完全严格性已经到达了！”63第63页 2算术集合论基础算术集合论基础 1）人人们们按按以以下下逻逻辑辑次次序序把把全全部部数数学学基基础础归归结结为为算算术术，即即归归结结为为非非负负整整数数，即即自自然然数数集集合合加加上上0现现在在我我国国中中小小学学就就把把这这一一集集合合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形64第64页 所以，全部数学似乎都可归结为非负整数了，所以，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都能够归结为算术了。全部数学都能够归结为算术了。这么，假如能把算术建立在集合论基础上，就这么，假如能把算术建立在集合论基础上，就相当于处理了整个相当于处理了整个“数学基础数学基础”问题。问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这么工作。他写了）就做了这么工作。他写了一本名叫一本名叫算术基础算术基础书。书。65第65页弗雷格弗雷格算术基础算术基础66第66页 2)弗雷格算术基础弗雷格算术基础 为了使算术建立在集合论基础上，全部为了使算术建立在集合论基础上，全部非负整数，都需要用集合论观点和语言重新非负整数，都需要用集合论观点和语言重新定义。定义。首先从首先从0说起。说起。0是什么？是什么？应该先回答应该先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”符号。符号。67第67页 为为此此，先先定定义义“空空集集”。空空集集是是“不不含含元元素素集集合合”。比比如如，“方方 程程 在在 实实数数 集集 中中 根根 集集 合合”就就 是是 一一 个个 空空 集集，再再 例例如如“由由 最最 大大 正正 整整 数数 组组 成成 集集 合合”也也 是是 一一 个个空集。空集。68第68页 全部空集放在一起，作成一个集合集合全部空集放在一起，作成一个集合集合，（为说话简单我们把（为说话简单我们把“集合集合集合集合”称作类），称作类），这个类，就能够给它一个符号：这个类，就能够给它一个符号：0，中国人念，中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。空集是空，但由全部空集组成类，它本身空集是空，但由全部空集组成类，它本身却是一个元素了，即，却是一个元素了，即，0是一个元素了。由它是一个元素了。由它再作成一个集合再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。69第69页 弗雷格再定义两个集合间弗雷格再定义两个集合间双射双射：既是满射又是单：既是满射又是单射映射叫作双射，也称射映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通俗地说，就是；通俗地说，就是存在逆映射映射。它能够在两个集合间往返地映射，存在逆映射映射。它能够在两个集合间往返地映射，所以普通称为所以普通称为“双射双射”。弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合两个集合“等价等价”：，能够在其间建立双射两个集合能够在其间建立双射两个集合A、B称为称为“等价等价”。70第70页 下边能够定义下边能够定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价全部集合放在一起，作成一个集合集合。这全部集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，就能够给它一个符号：个类，就能够给它一个符号：1。再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价全部等价全部集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，集合放在一起，作成一个集合集合。这个类，就叫：就叫：2。然后，把然后，把与与0，1，2等价集合作成类，等价集合作成类，叫：叫：3。71第71页 普普 通通 地地，在在 有有 了了0，1，2，n定定义义后后，就就把把全全部部与与 集集 合合0，1，2，n 等等 价价 集集 合合 放放 在在 一一 起起，作作 成成 集集 合合 集集合，这么类，定义为：合，这么类，定义为：n+1。这这 种种 定定 义义 概概 念念 方方 法法，叫叫 作作“归归 纳纳 定定义义”方法。方法。72第72页 这这么么，弗弗雷雷格格就就从从空空集集出出发发，而而仅仅仅仅用用 到到集集 合合及及集集 合合 等等 价价概概 念念，把把全全部部非非负负整整数数定定义义出出来来了了。于于是是依依据据上上边边说说“可可以以把把全全部部数数学学归归结结为为非非负负整整数数”，就就能能够够说说，全全部部数数学学能能够够建建立立在在集集合合论论基基础础上上了。了。73第73页 3 罗素罗素“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引发震憾和危机悖论引发震憾和危机 正正 当当 弗弗 雷雷 格格 即即 将将 出出 版版 他他 算算 术术 基基础础 一一 书书 时时 候候，罗罗 素素 集集 合合 论论 悖悖 论论 出出 来来了了。这这 也也 是是 庞庞 加加 莱莱 宣宣 告告“完完 全全 严严 格格 数数 学学已已经经建建立立起起来来！”之之后后刚刚才才两两年年，即即1902年。年。74第74页 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell,Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学主要创始人，世界和平运动提倡者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素75第75页 集合论中竟然有逻辑上矛盾！集合论中竟然有逻辑上矛盾！倾倾 刻刻 之之 间间，算算 术术 基基 础础 动动 摇摇 了了，整整 个个数数 学学 基基 础础 似似 乎乎 也也 动动 摇摇 了了。这这 一一 动动 摇摇 所所 带带来来 震震 憾憾 是是 空空 前前。许许 多多 原原 先先 为为 集集 合合 论论 兴兴高高 采采 烈烈 数数 学学 家家 发发 出出 哀哀 叹叹：我我 们们 数数 学学 就就是建立在这么基础上吗？是建立在这么基础上吗？罗罗 素素 悖悖 论论 引引 发发 危危 机机，就就 称称 为为 第第 三三 次次数学危机。数学危机。76第76页 罗罗 素素 把把 他他 发发 觉觉 悖悖 论论 写写 信信 告告 诉诉 弗弗 雷雷格格。弗弗 雷雷 格格 在在 他他 算算 术术 基基 础础 一一 书书 末末尾尾 无无 可可 奈奈 何何 地地 写写 道道：“一一 个个 科科 学学 家家 碰碰 到到最最 不不 愉愉 快快 事事 莫莫 过过 于于，当当 他他 工工 作作 完完 成成时时，基基础础崩崩塌塌了了。当当本本书书即即将将印印刷刷时时，罗罗素素 先先 生生 一一 封封 信信 就就 使使 我我 陷陷 入入 这这 么么 尴尴 尬尬 境境地。地。”77第77页 2）罗素悖论罗素悖论 在在叙叙述述罗罗素素悖悖论论之之前前,我我们们先先注注意意到到下下 边边 事事 实实：一一 个个 集集 合合 或或 者者 是是 它它 本本 身身 成成员员(元元 素素),或或者者不不是是它它本本身身组组员员(元元 素素)，二二者者必必居居其其一一。罗罗素素把把前前者者称称为为“异异 常常 集集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。78第78页 比如比如,全部抽象概念集合，本身还是抽象概念。全部抽象概念集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身元素，所以是即，它是这一集合本身元素，所以是“异常集合异常集合”。不过，全部些人集合，不是人，即，它不是这一集合不过，全部些人集合，不是人，即，它不是这一集合本身元素，所以是本身元素，所以是“正常集合正常集合”。再比如，全部集合集合，本身还是集合，即，它再比如，全部集合集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身元素，所以是是这一集合本身元素，所以是“异常集合异常集合”。不过，。不过，全部星星集合不是星星，即，它不是这一集合本身元全部星星集合不是星星，即，它不是这一集合本身元素，所以是素，所以是“正常集合正常集合”。79第79页罗素当年例子罗素当年例子“异常集合异常集合”1：不多于不多于29个字母表示句子所组成集合个字母表示句子所组成集合“异常集合异常集合”2：不是麻雀东西所组成集合不是麻雀东西所组成集合80第80页 罗罗素素悖悖论论是是：以以 表表示示“是是其其本本身身组组员员全全部部集集合合集集合合”（全全部部异异常常集集合合集集合合），而而 以以 表表 示示“不不是是它它本本身身组组员员全全部部集集合合集集合合”（全全部部正正常常集