数理统计主要知识点.doc

《数理统计》的主要知识点
一． 统计量及其抽样分布
（一）统计量的概念
1. 统计量的定义： 简单地说，统计量就是样本的函数，它除外不含其它未知参数。
2. 简单随机抽样：从总体中抽取样本，若它们相互独立同分布 ，且分布与总体
相同，则称其为简单随机抽样。
3. 常见的统计量：
（1）样本均值： （2）样本方差：
（3）样本阶原点距： （4）样本阶中心距：
（二）抽样分布的结构和性质
1. 分布： 若 是来自总体的简单随机抽样，且~，则随机变量=，此时称其分布为自由度为的分布，记~
性质： ① ②
2.分布：若~，~，且相互独立，记随机变量，称其分布为自由度为与的分布，记 ~
性质：
3.分布：
设随机变量相互独立，且~，~，则称 的分布为自由度为的分布，记~
性质：①自由度为1的分布是标准柯西分布，它的均值不存在；
②时，分布的数学期望存在且为0；
③时，分布的方差存在且为
④当自由度较大时，分布可以用近似。

二． 参数估计：

（一）点估计：
1. 矩估计：（替换原理）一般地：
①用样本均值估计总体均值；即
②用样本二阶中心矩估计总体方差；
③用事件A出现的频率估计事件A发生的概率。
2.极大似然估计：若总体的概率函数为，求极大似然估计的基本思路：
①写出极大似然函数
②取对数（此步骤仅为简化求导计算）
③求导数，并令其为0，求出估计值
性质：若是的极大似然估计，则对任一函数，其极大似然估计为
3.点估计的评价标准：
①相合性 ：若则称是的相合估计。
备注： 一般计算时，只要，，则就是的相合估计
②无偏性：若，则就是的无偏估计。
③有效性：若都是的估计值，只要，则称有效
（二）区间估计（单个正态总体下，参数的置信区间）
若正态总体
1.已知时，的置信度的置信区间为：
2. 未知时，的置信度的置信区间为：
3. 未知时，的置信度的置信区间为：

三．假设检验：
（一） 概念：
1. 检验统计量

2. 拒绝域
3. 显著性水平，临界值。
4. 两种错误：第一种错误：拒真，记=
其中是显著性水平。
第二种错误：取伪，记=
注意：当样本容量一定时，一类错误的概率减少将导致另一类错误的概率增加
（二） 假设检验的基本步骤：
1.根据实际问题提出原假设以及备择假设
2.选取适当的检验统计量
3.选取适当的显著性水平，求得对原假设的拒绝域
4.根据样本值计算统计量的值，若落入，则不真，拒绝，接受备择假设，否则接受。
（三）单个正态总体下，参数的假设检验
1.-检验：已知时，的检验：
检验统计量：
拒绝域：
2.-检验：未知时，的检验：
检验统计量：
拒绝域：
3.-检验：未知时，的检验：
检验统计量：
拒绝域：

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