专题45-变量间的相关关系知识点.doc

1．相关关系
当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系．即相关关系是一种非确定性关系．
当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关；
当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关.
【注意】相关关系与函数关系的异同点：
共同点：二者都是指两个变量间的关系．
不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．
2．散点图
将样本中的n个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
具有正相关关系的两个变量的散点图如图1，具有负相关关系的两个变量的散点图如图2.
3．回归分析
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)．
4．回归方程的求解

（1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．
若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，.
其中，称为样本点的中心．
（2）线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量．
【注意】①回归直线必过样本点的中心，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．
②利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加1个单位，的变化量．
③在回归直线方程中，既表示直线的斜率，又表示自变量x的取值每增加一个单位时，函数y的改变量．
5．相关系数
（1）样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为.
（2）样本相关系数r的性质
①；
②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；
③|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；
④|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱.
6．非线性回归分析

对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究．
在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决．

1．已知与之间的一组数据如下表所示：

0

已求得关于的线性回归方程为，则的值为
A． B．
C． D．
2．某考察团对全国10大城市的职工人均工资与居民人均消费进行统计调查，与具有相关关系，回归方程为(单位：千元)，若某城市居民消费水平为千元，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为
A． B．
C． D．
3．经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下表：
x
15
16[来源:ZXXK]
18
19
22
y
102
98
115
115
120
由表中样本数据求得回归方程为，则点与直线x＋18y=100的位置关系是
A． B．
C． D．与的大小无法确定

4．(2015年高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户年收入为万元家庭的年支出为
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
5．(2014年高考重庆卷)已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
A． B．
C． D．
6．(2014年高考湖北卷) 根据如下样本数据：

3
4
5
6
7
8

4.0
2.5

0.5

得到的回归方程为，则
A．， B．，
C．， D．，

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