具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1831-1842http:/具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量郑大小（安徽师范大学安徽芜湖2 410 0 2)摘要：该文研究芬斯勒卷积度量，得到了Landsberg芬斯勒卷积度量的方程刻画，并且完全求解出了方程.在此基础上，构造了一类非Berwald且具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量。关键词：芬斯勒卷积度量；Douglas张量；旗曲率张量；Landsberg曲率，MR(2020）主题分类：53B40中图分类号：0 18 4文献标识码：A文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-18 31-121引言在芬斯勒几何中，有个非常著名的独角兽问题：“正则的Landsberg度量是否一定是Berwald度量？”如果不考虑正则条件，则有许多非Berwald的Landsberg度量例如，Asanov1和Shen10在（,)-度量中，构造了一类几乎正则非Berwald的Landsberg度量.Li和 Shenl6给出了弱Landsberg(,B)-度量的方程刻画.Cheng，W a n g 和Wangl4给出了具有迷向平均 Landsberg(,)-度量的方程刻画.对于广义(,)-度量,Zhou,Wang 和 Li12)证明了正则的Landsberg度量一定是Berwald度量.在本文中，我们考虑芬斯勒卷积度量.令I是R上的开集，M是（n1）维流形且具有黎曼度量.则在卷积流形M=IM上，称如下芬斯勒度量F(a,y)=(z,9)d(r,s)为芬斯勘卷积度量。其中=(r,员),=(,),s=，且函数中定义在 R 某个区域上的光滑函数3.芬斯勒卷积度量是黎曼卷积度量的自然推广。在黎曼情形，这些卷积度量主要用来构造具有特殊的曲率的黎曼流形2。最近,芬斯勒卷积度量的研究取得重要的进展3,5,7,8,11.Chen，Sh e n,Zh a o,Li u 和Mol3,8得到了具有标量旗曲率的芬斯勒卷积度量的方程刻画.Liu和Mol7给出了Douglas 芬斯勒卷积度量的方程刻画Yang和Zhangl1给出了具有迷向Landsberg芬斯勒卷积度量的刻画.令(1.1)20ss20ss本文得到如下结果.收稿日期：2 0 2 2-0 8-30；修订日期：2 0 2 2-12-30E-mail:基金项目：安徽省自然科学青年基金（2 0 0 8 0 8 5QA05)Supported by the Anhui Provincial Natural Science Youth Foundation(2008085QA05)Hcientiasprpss+s(pr-sprs)业4=s _ r_s0rs.1832定理 1.1（M,)是（n-1)维黎曼流形,其中 n 3.F(,y)=(z,9)d(r,s)是M=IM上的芬斯勒卷积度量.则FLandsberg度量当且仅当下面两个之一成立(1)F是 Berwald度量;(2)由以下式子给出其中0;(3)（强凸性)对所有的(,y)ETM0),nn矩阵(gi(e,y)=(/F2(c,y),是正定的.对于给定芬斯勒度量 F=F(c,y)，F的测地系数满足如下微分方程d2c+2Gdt2其中测地系数Qi=Gi(c,y)由下面式子给出Gi=(F2amg/ym-F2at.如果 Ci=Fi(n)y关于 u=u最 T M 是二次型,则称 F 是 Berwald度量,Landsberg张量L=Lijkdai?dai?dak定义如下1FF2Syiyhoy显然，如果G=si(ar)y是二次型，则Lijk=0如果Lik=0，则称芬斯勒度量为Landsberg 度量.黎曼曲率Ry:=RidachRk:=2QiQioak旗曲率 K=K(P,y),P=span(y,u)TM 定义如下dtQi定义如下Qi+2Qmymoyk-OymQykgij(a,y)Ri,wuhaGi aQm很自然的需要研究具有特殊曲率性质的芬斯勒度量。1834定义2.1F是n维流形M上的芬斯勒度量(a)如果K=K(,y),yETM与 P无关，则称F具有标量旗曲率;(b)如果K=是一个常数，则称F具有常旗曲率.接下来，我们考虑M=IM上的芬斯勒卷积度量.引理2.13)对于芬斯勒卷积度量 F=d(r,s),其基本张量 gAB和测地系数 GA 表示如下(2.1)(pidgipdij-spidgidgi)9igiG1=2,Gh=Gk+Wayh,2i,j,kn,其中=(ss),Po=sss，P1=(s s)s s s,h 是黎曼度量的测地系数,亚和的表达式在(1.1)式给出.进一步，F是强凸的当且仅当一s0，ss0.文献7 证明了Berwald 芬斯勒卷积度量,引理 2.2 7)F(a,y)=(,9)d(r,s)是 M=IM上的芬斯勒卷积度量.F 是 Berwald度量当且仅当 亚=l(r)s，重=m(r)+n(r)s2,其中 l(r),m(r)和 n(r)是光滑函数.文献11证明了Landsberg 芬斯勒卷积度量,引理2.31)F(a,u)=(z,i)d(r,s)是M=IM上的芬斯勒卷积度量.F是Landsberg度量当且仅当中满足(2.3)ps(s-sdss)-s(d-ss)Uss=0.(2.4)文献3，8 证明了具有标量旗曲率芬斯勒卷积度量，引理2.43,8)F(a,)=(,9)d(r,s)是M=IM上的芬斯勒卷积度量则F具有标量旗曲率当且仅当具有常截面曲率k以及(2.5)其中T=(2dr-s亚rs)+s(V-2ss)+2s-亚。s,=V2-2sV亚。-s亚,+2 0 亚s.在这种情形下，F的旗曲率K满足K=u+k23Landsberg芬斯勒卷积度量在这一章中，我们考虑Landsberg芬斯勒卷积度量首先，我们给出芬斯勒卷积度量的方程刻画.定理3.1F(a,y)=(z,9)d(r,s)是M=IM上的芬斯勒卷积度量.则F是Landsberg芬斯勒卷积度量当且仅当亚和满足(3.1)52数学物理学报91191jPop,dsss+(d-sps)ss=0,T+(+k)ds=0,亚=h+ls,d=m+nsVol.43 Apigi(2.2)(2.6)(2.7)(2.8)No.6其中 h=h(r),l=l(r),m=m(r)和 n=n(r)是光滑函数.在这种情形,F 是 Berwald 度量当且仅当h=0.证由引理2.3,满足(2.3)和(2.4)式.(2.4)式两边对s求导，可得ss(d-stss)-$psdss-(b-s0s-$*ps)Is-s(b-sps)Vss=0.将(2.3)式代入(3.2)式得(3.3)式两边乘以 s得将(2.4)式代入(3.4)式得情形 1 亚ss 0.由(3.5)式可得因此我们有所以存在一个函数 p=p(r)使得于是其中=q(r）是一个光滑函数将（3.9）式代入（1.1)式得亚=号，由此亚s。=0 与假设亚ss0矛盾.情形 2 亚ss=0.将亚ss=0代入(2.3)和(2.4)式,可得sss=0以及。s ss=0.于是亚和重满足(3.10)其中 h=h(r),l=l(r),m=m(r)和 n=n(r)是光滑函数.如果亚和满足(3.1)式，则亚ss=0,意味着亚和满足（2.3）和（2.4)式.由引理2.3,F是Landsberg度量证毕接下来，我们求解方程(3.1).引理3.1方程亚=0 的解为=(fs),其中f=f(r）是一个光滑函数.证由（1.1)式，我们可得亚=0 当且仅当sr中s+中。(sprs）=0,等价于（)。=0.于是存在一个函数g=g(r）使得中=gss于是我们有=(fs),其中于=egdr.1注3.1在这种情形下，可以计算得重=号s2.由引理2.2,F是Berwald度量.郑大小：具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量pss(0s-$4ss)-(b-$s-s2pss)Vss=0.pspss(ds-s4ss)=ps(b-$p。-s p s s)Is s:s(-$ps)psss=ps(b-s0s-$2pss)ss:s(b-ss)pss=s(b-sps-s2pss),o(d-sbs)s=0,d(b-sds)=p.=Vp+qs2,亚=h+ls,=m+ns2,sss=0,ds-sdss=0,1835(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)211836引理3.2 方程(3.1)的解为以下情形之一情形 1 h=l=m=0,其中f=e/2ndr;情形2 h=0,l0以及m0,数学物理学报b=d(fs),Vol.43 A2m其中g=l d r 是个光滑函数;情形 3 l=0 or m=0 以及(h,l,m)(0,0,0),=e(-2m+2hs),这种情况下22=0，可以排除掉；情形4h0,l0以及m0,其中是非零常数，f=和g=l d r 不是常值函数.证将(3.1)式代入(1.1)式,可得sdr.+ds(dr-sprs)2020中ss(pr-sprs)-m+hs+(l-n)s2.2中ss将(3.13式代入(3.12)式，可得(h+ls)-s-m+hs+(l-n)s?dr=2(3.14)式两边对s求导，可得将(3.14)和(3.15)式代入(3.13)式，可得如果-2 m+2hs+ls=0,则h=l=m=0以及亚=0.由引理3.1可得=(fs),其中如果-2 m+2hs+ls0,则于是or=e%s.(r,s)=e9 J6+2ared,t+2f=h+ls,Ss2(2m+2hs+ls2)ps=(2h+ls)p.f=e/2ndr.2h+ls-(-2m+2hs+ls2)=e9+J82h+lt=2m+2+u2dt,(3.11)(3.12)(3.13)(3.14)1ss(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)No.6其中g=g(r)是光滑函数.如果h=0,l0和m0,则由(3.18),可得郑大小：具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量18372m在这种情况下亚=gs,其中g=Jldr.如果 1=0 或者 m=0,则=e9(-2m+2hs),此时 22=0,可以排除掉.接下来考虑h0,l0,m0情形.将(3.16)式代入(3.14)式,可得(3.17)式两边对r求导，可得(3.19)式两边对s求导，可得(3.20)和(3.2 1)式意味着令=令，则由(3.2 2)和(3.2 3)式，可得其中是常数。将(3.2 4)式代入(3.18)）式,可得(3.11)式.由(3.11)式，可得其中-2(s+f)ds=-2afs2+2 fs-2a.f21=-2affd(2+2fs-2af2)0代入到(3.2 6)式可得or=-ml+2hns+Ins?2-2m+2sh+ls2.2(hm-mh)+(mll-mll)s(ln d)rs=22(-2m+2hs+ls2)22hm(l-2n)+2lm(l-2n)s(ln d)rs=2(-2m+2hs+ls2)2hm-mh=hm(l-2n),ml-ml=2lm(l-2n).m=al.f2,fi1=2n+r=g+(1)b,s+2f2affs2+2fs-2af2(3.19)(3.20)(3.21)(3.22)(3.23)(3.24)(3.25)(3.26)?Sds(s2+2fs-2a.f2)22aff2+2fs-2af2-+(3.27)1838另一方面，将（3.2 4）和(3.2 5）式代入（3.19)式，可得由(3.2 7)和(3.2 8)式,可得g=1+0,等价于g=l d r.引理3.2 得证.由定理3.1和引理3.2，我们可以证明定理1.1.定理1.1证明由定理3.1和引理3.2,我们有四种情形.情形1和2 中F是Berwald度量.情形3由于22=0，无需讨论.对于情形4,，直接计算可得数学物理学报(-2alf2+2(fl-f)s+(l-s2+2fs-2a.f2-2a.f2Vol.43 A(3.28)(3.29)和-2a.f2注意到s?+2fs-2af=(s+f)-(2a+1)f,于是s2+2fs-2af20,只需1a0是一个常数,0 以及 bil为一形式关于的水平导数.则令S=号,3=.则S直接计算可得其中sER,b=Il1lla=bo,bili=(bgaij-bib,).bo32+ln Vr2+g2+ln r+t72+t2+2+2f-2af2d2dt(2af2+r2)t+2 f r2dt(r2+t2)(t2+2 ft-2af2)(r2+2af2)t+2fr V63-t2S(r+2af2)t2+2frtV/6-t2-2abs.f2(3.30)S：/6-s2Jot2+2ft-2af2t+2ft+2fdtdt.No.6因此芬斯勒卷积度量 F(c,u)=(x,)eg+6 7+22aredt 可72+21-2af2dteg+/6t+2f2+2/-2af2dtVr2+32(r2+2af2)+2frbg-t2g-Inr+J8=Qe郑大小：具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量可以重新表示为F(c,)=(,1)e+J/t+2f(r2+2af2)t2+2frtVb3-t2-2ab3g21839t+2ft+2fdt32cibgrg=ln(c4r),f=2(6s+c)其中c10,c3 和 c4 是常数.则F为以下（,)-度量c3t+c1V%-t2F=c4Qec3t2+citVb8-t2+1因此我们的例子包含Shen在文献10 中构造的例子.注 3.3令 2=(gl)+r22,=ryl 则b=IIlle=r,令8=号,3=.则S直接计算，可得因此芬斯勒卷积度量 F(2,u)=(2,i)e+JB-2ad 可以表示为以下广义(a,)-度量通过选取合适的m，n 和a，我们可以得到Zhou，W a n g 和Li在文献12 构造的例子.bc3+c1和a=-2.dtbilij=aijTS&t+2f-ln Vr2+g2+lnr+2dtt2+2.ft-2a.f2JOtt+2fr2+t2t2+2ft-2af2S(2af2+r2)t+2f r20(r2+t2)(t2+2ft-2af2)(r2+2af2)t+2frVr2-t2(r2+2af2)t2+2frtVr2-t2-2ar2 f2F(c,)=(2,)e+6-ar dt72+2f22a.f2dtVr2+32(r2+2af2)t+2frVr2-t2=Qedtdtt+2ft+2feg+/t+2fdt.t+2fdt18404具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量在这一章，我们考虑具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量由引理2.4，可得引理4.1F(a,y)=(,9)d(r,s)是 M=IM上的芬斯勒卷积度量.则F具有零旗曲率当且仅当具有常截面曲率k以及(4.1)证由(2.8）式和K=0,可得+k=0.将+k=0代入（2.5)式,可得=0现在我们可以证明定理1.2.定理1.2 证明由定理1.1，F是非Berwald Landersberg度量.由注记1.1，可得和g=J导dr,可得由a=一2数学物理学报T=0,u+k=0.亚=fg+gs,$=afg+fg-ts22fVol.43 A(4.2)(4.3)C亚：.Sk+c22c将（4.4）和（4.5）式代入(2.6)和(2.7)式，可得T=0,由引理4.1,F具有零旗曲率.反过来，由引理41,可得(4.6)）式。将(4.2)和(4.3）式代入(4.6）式,可得=一嘉和g=d r.证毕.由定理1.2 和注记3.2，我们有以下推论推论4.1令(M,)是(n-1)维黎曼流形,其中n3且-dtF=C4Qec3t2+citVb-t2+1是M=IM上的一个(,)-度量,其中 10,Cs以及 c4 是常数,=boyl,2=(gl)+r22,S=则F是具有零旗曲率非Berwald Lansberg度量当且仅当正截面旗曲率k，且1k=C1+cgbg 4(c+cab)2由定理1.2 和注记3.3，我们有以下推论推论4.2 令（M,)是（n一1)维黎曼流形,其中n3且(r2+2af2)t+2frVr2-t2F=ae(4.4)2(4.5)2.fu+k=0.c3t+c1V-t2(4.6)dtNo.6是M=IM上的一个广义(,)-度量,其中 ci0,C3以及C4 是常数,a-是一个常数，=f(r)是非零函数以及g=g(r)=dr,为非零常数。则 F 是具有零旗曲率非BerwaldLansberg度量当且仅当正截面旗曲率k，且k=-(2a+1)c.5具有零Ricci曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量如果我们将条件：“具有常截面曲率k”替换为 具有常Ricci曲率Ric=（n 2)k ,则由以下引理和定理1.2 我们可以构造许多具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量.引理5.13)假设F(a,)=(,9)(r,s)具有常旗曲率K和具有常截面旗曲率k.给定另外一个具有常Ricci 曲率(n2)k 的黎曼度量a,则新构造的芬斯勒卷积度量F=d(r,s)具有常Ricci曲率(n-1)K.“替换”在构造芬斯勒卷积度量时是一个非常有用的技巧.例如，在文献3,9中，作者用这个方法构造了具有Ricci,Douglas 或者相对迷向的Landsberg芬斯勒卷积度量，利用这个技巧和定理1.2，我们可以构造许多具有零Ricci曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量.定理5.1令(M,)是一个(n一1)维黎曼流形,其中n3,且为M=上的芬斯勤卷积度量，9=g(）d r 毫，是非零常数，f=f(r）是非零光滑函数.假设正常Ricci曲率（n-2)k,则F满足(1)F 是 Landsberg 度量;(2)F不是Berwald度量;(3)F具有零Ricci 曲率.证由定理1.2 和引理5.1易得.由定理5.1和注记3.2，我们有以下推论推论5.1 令(M,)是(n1)维黎曼流形,其中n3且-dtF=C4Qec3t2+c1tVb3-t2+1是M=IM上的一个(,)-度量，其中c10,C3以及 c4是常数,Q2=(gl)2+r22,B=boyl,郑大小：具有零旗曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量2=(gl)2+r2&2,=ryl，F(a,)=a(x,9)eg+Js 2+2t-2a dtt+2fc3+c1V%-t21841S=S=假设具有常Ricci曲率（n一2)k，且1k=Ci+cgbg=4(ci+c3b)2则F是具有零Ricci曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量.由定理5.1和注记3.3，我们有以下推论.b1842推论5.2 令(M,)是(n1)维黎曼流形,其中n3且(r2+2af2)t+2frVr2-t2F=Qe数学物理学报dtVol.43 A是M=IM上的一个广义（,)-度量,其中 c10,c以及c4 是常数,2=(gl)2+r22,-是一个常数,=f(r)是非零函数以及g=g(r)=dr,c为非零常数。假设有常Ricci 曲率（n2)k，且k=-(2a+1)c.则F是具有零 Ricci曲率的Landsberg芬斯勒卷积度量1 Asanov G s.Finsleroid-Finsler spaces of positive-definite and relativistic types.Reports on Math Phys,2006,58:2753002 Bishop R L,ONeill B.Manifolds of negative curvature.Trans Amer Math Soc,1969,145:1-493 Chen B,Shen Z,Zhao L.Constructions of Einstein Finsler metrics by warped product.Int J Math,2018,47:127-1284 Cheng X,Wang H,Wang M.(,)-metrics with relatively isotropic mean Landsberg curvature.Publ MathDebrecen,2008,72:475-4855 Kozma L,Peter R,Varga C.Warped product of Finsler manifolds.Ann Univ Sci Budapest,2001,44:157-1706 Li B,Shen Z.On a class of weak Landsberg metrics.Sci China Math,2007,50(4):573-5897 Liu H,Mo X.Finsler warped product metrics of Douglas type.Canad Math Bull,2019,62:119-1308 Liu H,Mo X,Zhang H.Finsler warped product metrics with special Riemannian curvature properties.SciChina Math,2020,63:1391-14089 Shen Z.On the non-Riemannian quantities in Finsler geometry.Canad Math Bull,2013,56:184-19310 Shen Z.On a class of Landsberg metrics in Finsler geometry.Canad J Math,2009,61:1357-137411 Yang Z,Zhang X.Finsler warped product metrics with relatively isotropic Landsberg curvature.CanadMath Bull,2021,64(1):182-19112 Zhou S,Wang B,Li B.On a class of almost regular Landsberg metrics.Sci China Math,2019,62:935-960,=ryl,SQ参考文献Landsberg Finsler Warped Product Metrics withZero Flag CurvatureZheng Daxiao(Department of Mathematics and Statistics Science,Anhui Normal University,Anhui Wuhu 241002)Abstract:In this paper,we study Finsler warped product metrics.We obtain the differential equationsthat characterize Landsberg Finsler warped product metrics.By solving these equations,we obtainthe expression of these metrics.Furthermore,we construct a class of Finsler warped product metricsF with the following properties:(1)F is a Landsberg metric;(2)F is not a Berwald metric;(3)F haszero flag curvature(or Ricci curvature).Key words:Finsler warped product metrics;Douglas metrics;Flag curvature;Landsberg.MR(2020)Subject Classification:53B40