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第58 卷第3期2024年3月原子能科学技术Atomic Energy Science and TechnologyVol.58,No.3Mar.2024函数展开计数在CLUTCH方法中的初步应用黄金龙，曹良志，贺清明*，秦帅，吴宏春（西安交通大学核科学与技术学院，陕西西安7 10 0 49)摘要：反复裂变几率（IFP)方法广泛应用于求解k特征值对连续能量核数据的灵敏度系数，然而IFP方法存在内存占用大的问题，因此CLUTCH方法被提出以解决该问题。但对于大规模问题，如压水堆全堆问题,基于网格的CLUTCH(CLUTCH-Mesh)方法存在权重函数不易收敛的问题。本文采用函数展开计数(FET)方法对CLUTCH方法中的权重函数进行统计(CLUTCH-FET)以解决该问题，函数展开计数选取的基函数是勒让德多项式。本文在蒙特卡罗粒子输运计算程序NECP-MCX中实现了IFP、CLUTCH-Mesh 和CLUTCH-FET 3种方法，以IFP方法的计算结果作为参考解，对CLUTCH-Mesh和CLUTCH-FET方法的精度和效率进行了验证。数值结果表明：对于小规模问题，如Godiva 和Flattop问题,CLUTCH-Mesh和CLUTCH-FET方法具有与IFP方法相当的精度，且计算效率较IFP方法更高；对于大规模问题，如AP1000全堆问题，CLUTCH-Mesh方法的计算精度下降，而CLUTCH-FET方法可保持较高的精度和计算效率，CLUTCH-FET方法的品质因子较IFP方法和CLUTCH-Mesh方法分别最多提高了5.2 和6.0 倍。关键词：敏感性分析；CLUTCH方法；权重函数；函数展开计数；勒让德多项式；蒙特卡罗中图分类号：TL329doi:10.7538/yzk.2023.youxian.0384Preliminary Application of Function Expansion TallyHUANG Jinlong,CAO Liangzhi,HE Qingming*,QIN Shuai,WU Hongchun(School of Nuclear Science and Technology,Xian Jiaotong University,Xian 710049,China)Abstract:The iterated fission probability(IFP)method and Contributon-linked eigen-value sensitivity/uncertainty estimation via track-length importance characterization(CLUTCH)method are commonly used by many Monte Carlo codes for the sensitivityanalysis of k-eigenvalue to continuous-energy nuclear data.The memory consumption ofthe IFP method is huge and the CLUTCH method is proposed to reduce the memoryusage of the IFP method.However,its hard to tally sufficiently-converged importanceweighting functions for the mesh-based CLUTCH(CLUTCH-Mesh)method for large-scale problems,such as AP1oo0 whole core problem,subsequently reducing the accura-cy of sensitivity coefficients calculated by the CLUTCH method.Therefore,the文献标志码：Ain CLUTCH Method文章编号：10 0 0-6 9 31(2 0 2 4)0 3-0 56 3-10收稿日期：2 0 2 3-0 5-2 9；修回日期：2 0 2 3-0 8-12基金项目：中核集团领创科研项目；中核集团“青年英才”项目；中国科协青年人才托举工程项目（2 0 19QNRC001)*通信作者：贺清明564function expansion tally(FET)was used to tally importance weighting functions in theCLUTCH(CLUTCH-FET)method in this paper.Legendre polynomial was selected asthe basic function of FETs and both segmented FETs with low orders and the globalFET with the high order were implemented.During the tally process of FETs,thespatial locations of particles should be projected into domains of definition firstly,andthen the tally scores of function expansion coefficients were obtained and accumulated.By averaging function expansion coefficients among inactive cycles,the FET wasfinished.The FETs were used for both ancestor fission neutrons distribution in originalgenerations and the averaged progenies of the ancestor fission neutron in asymptoticgenerations.Based on the method mentioned above,the IFP,CLUTCH-Mesh andCLUTCH-FET methods were implemented in Monte Carlo code NECP-MCX.The veri-fications were conducted among Godiva,Flattop and AP1oo0 whole core problems bycomparing the sensitivity results of CLUTCH-Mesh method,CLUTCH-FET methodand the IFP method,whose results were selected as the reference.The numericalresults indicate that for small-scale problems,such as Godiva and Flattop problems,theCLUTCH-Mesh and CLUTCH-FET methods are able to calculate the sensitivity resultswith the same high precision as the IFP method.In addition,the tally efficiency ofCLUTCH-Mesh method equals to that of the CLUTCH-FET method and the tallyefficiency of these two methods are significantly higher than that of the IFP method.Forlarge-scale problems,such as the AP1000 whole core problem,large bias exists betweenthe sensitivity results of the CLUTCH-Mesh method and those of the IFP methodbecause very large number of particles are needed to obtain sufficiently-converged impor-tance weighting functions.However,the CLUTCH-FET method remains high accuracyand tally efficiency for large-scale problems.The FOM(figure of merit)values of theCLUTCH-FET method can be increased by 5.2 and 6.O times when compared to thoseof the IFP method and the CLUTCH-Mesh method,respectively.Therefore,theCLUTCH-FET method is recommended for sensitivity calculation of large-scale prob-lems.Segmented FETs with low orders are more recommended than a global FET withhigh order to avoid under-fitting or over-fitting problems.Key words:sensitivity analysis;CLUTCH method;importance weighting function;function expansion tally;Legendre polynomial;Monte Carlo核数据是核反应堆中子学计算的重要输人参数，其敏感性分析结果可反映对响应参数敏感的核数据，进而对核反应堆堆芯设计和不确定度量化1等有重要的指导意义。反复裂变几率(IFP)方法2 被众多蒙特卡罗程序用于k特征值对核数据的敏感性分析3-6 ，该方法的主要缺点是，内存占用与每代模拟粒子数呈正比，当每代模拟粒子数较大时，内存占用甚至不可接受。Kiedrowski在MCNP中提出稀疏矩阵存储方式，以降低IFP方法的内存使用。数据表明，采用稀疏矩阵方法可降低10 10 0 倍的原子能科学技术第58 卷内存，但内存占用量依旧较大。Perfettit81提出CLUTCH方法9-10 1可在不损失结果精度的前提下，显著降低内存占用。CLUTCH方法需要划分网格来统计权重函数，且网格的大小8 推荐为1cm，对于大规模问题（如压水堆全堆问题），需要划分大量网格来统计权重函数，在网格数量较多的情况下，保证权重函数收敛所需的粒子数是不可接受的。因此，本文将使用函数展开计数(FET)方法11对权重函数进行统计，提高统计权重函数的精度和效率，从而实现对大规模问题的高效率、高精度的连续能量第3期核数据敏感性分析。本文在蒙特卡罗程序NECP-MCX121上实现基于网格和函数展开计数方法的CLUTCH方法(CLUTCH-Mesh 和 CLUTCH-FET)，以黄金龙等：函数展开计数在CLUTCH方法中的初步应用565权重函数I*（r)可根据未归一的裂变谱的灵敏度系数求解，表达式为：(r)=(S.(r).D)/(J.J.(E):进行k特征值对核数据敏感性分析。以IFP方法 1 3 的计算结果为参考解，在Godiva、Fl a t t o p和 AP1000 全堆问题上对 CLUTCH-Mesh 和CLUTCH-FET方法进行验证，并比较两种方法的计算精度和效率。1理论方法基于一阶微扰理论，k特征值对核数据的灵敏度系数S可表示为：S.s,(r.E)=12,8F山）+4*其中：Z,（r,E)为反应道在位置r处能量为E的宏观截面；F为裂变项算子；S为散射项算子；T为碰撞项算子；山为中子通量；*为共轭通量；r)为转移函数,表示从P。处转移到r处的中子通量；I*（r)为r处的权重函数。Zr(r,2,E)(r,2,E)dadE)=v(E)Er(r,2,E)(r,2,E).4元d2dEX(r,E)y(r,2,E)d2dEdr)J0J4元4元1kJoJ4元v(E)Z(r,2,E)(r,2,E)d2dE)(3)其中D为式(1)的分母项；式（3)的分母表示初始代r处产生的裂变中子数，分子表示初始代由r处产生的裂变中子，经过几个蒙特卡罗代Z.oT的模拟后，在渐近代产生的中子数，因此，I*（r)为初始代r处平均产生的1 个裂变中子在渐近代所产生的中子数。由于I*（r)只与空(1)间位置有关，因此，通常基于空间网格对I*（r）进行统计且可在非活跃代统计得到。空间网格需要足够精细，以准确描述权重函数的空间分布，同时需要模拟足够多的粒子，以保证权重函数收敛。Perfetti81推荐，网格大小约为1 cm，每个包含燃料的网格有1 0 0 0 个非活跃代中子历史，可保证权重函数足够精细和收敛。以AP1000全堆问题为例，为保证网格大小约为1cm，需采用32 0 32 0 40 0 的网格，为保证每个包含燃料的网格有1 0 0 0 个非活跃代中子历史，若每代模拟的中子数为1 0，则需要模拟的非活跃代数为2 8 58 1 代，计算代价很大。因4*(r,2,E)x(r,E).4元1I*(r)G(Por)drkQ.(Po)Jv(2)此,本文将使用函数展开计数方法对权重函数进行统计。1.2函数展开计数方法1)FET系数求解蒙特卡罗统计目标量（)可用任意正交完备的基函数展开 1 1，表示为：$(e)=2a.g(e)p(s)其中:为归一化后的相空间位置；n为函数展开阶数；a,为n阶函数展开系数；n为n阶展开函数;p(=)为处的权重函数。根据基函数的正交性，可求解n：an=L4(E)p.(E)p(E)de(4)(5)566其中，F为正交区域。基于碰撞估计器，可得到，的估计表达式：NM1m=1其中：c为蒙特卡罗代数索引；N为蒙特卡罗活跃代代数;m为粒子的第m次碰撞;M.为第c代的粒子碰撞总次数；s.m为第c代粒子第m次碰撞的归一化相空间位置;(c.m)为m处发生1次碰撞对目标量(s)的计数贡献。基于函数展开计数方法对式(3)进行统计时需分两步：1）初始代用函数展开计数方法统计裂变中子的分布，即统计分母，并保存函数展开系数；2）由于初始代的裂变中子分布已得到，即式（3)的分母已知，再用函数展开计数方法对式（3）进行统计。2）勒让德多项式勒让德多项式 1 51 是在区间一1,1 上的正交多项式，n阶勒让德多项式可表示为：1_ d(-1)P,()=2n！其在区间一1,1 上的正交性表示为：=1Pm()P,()da=J-1mn2m=n(2n+1以基于勒让德函数对三维空间变量（，,)的函数展开为例进行说明。(,，)可表示为：d(,y,之)=i=0 j=0k=0222.uP,(a)P,()P.(2)K-ok-0其中：i，j,k 分别为，y，之方向展开系数索引；I,J,K分别为，y，方向展开阶数；fij.k为函数展开系数，根据式（8)所示勒让德函数的正交性，fi.j.可根据式（1 0)求得。u(a.y,2)2+(a).2ilP,(y).2klp,(c)ddyde(10)2基于碰撞估计器，可得到fi.j.的估计式：NM(a.y.2).2itP(a).21m=1原子能科学技术第58 卷2ilP,().2k1P,(ce)(11)22其中,(,)为（,y,)处发生1 次碰撞对目标量（，y，之）的计数贡献。在非活跃代基于勒让德多项式对权重函数进行函数展开计数，将得到的各阶展开系数代入式（9），在活跃代即可得到空间各位置处的权重函数,将得到的权重函数代人式（2），用于共轭通量的求解，进而由式（1)计算得到灵敏度系数。2数值结果基于上述理论方法在NECP-MCX中实现基于网格和函数展开计数的CLUTCH方法，用于k特征值对核数据的敏感性分析，并与IFP方法的计算结果比较，对比 CLUTCH-Mesh和CLUTCH-FET方法的计算精度以及效率,其中计算效率用品质因子（FOM)衡量，品质因子的定义如式（1 2)所示。n=0,1,2,.d.(7)(8)（9)题，因此只需在半径方向上对权重函数进行统计。221FOM=R?T其中:R为蒙特卡罗统计量的相对统计标准差；T为蒙特卡罗计算时间。品质因子越大，则计算效率越高。本文选取Godiva、Fl a t t o p 和AP1000全堆问题进行验证，使用ACE格式的ENDF/BVI.0数据库。2.1Godiva 问题Godiva 基准题 1 6 是一个均匀裸球装置，材料为高浓铀，半径为8.7 41 cm，如图1 所示。灵敏度系数计算采用2 0 0 0 个蒙特卡罗代，其中活跃代设为1 0 0 0 代，每代模拟粒子数为1 0，块的大小设置为1 0 代。由于Godiva属于一维问图 1 Godiva基准题Fig.1Model for Godiva problem(12)8.741cm第3期选用不同展开阶数的勒让德多项式对权重函数进行统计,得到不同展开阶数下 CLUTCH-FET表1 Godiva问题中不同展开阶数下CLUTCH-FET方法计算的灵敏度系数Table 1Sensitivity coefficient of CLUTCH-FET method under different expansion orders for Godiva problem核数据IFPAveRSD/%235U-v0.98246235U-0t0.80498235U-0f0.65401235U-oelas0.10535235 U-0inel0.08334235U-6Y-0.039690.07238U-0t0.01796238U-v0.00933234U-v0.00821234 U-0i0.00726定义差异值a，以描述CLUTCH-FET方法中勒让德阶数取n阶时灵敏度系数计算结果与参考解之间差异的平均水平，d，越小，表明计算精度越高。d.m=1M其中：m为反应道序号；M为反应道总数，即M=10;dnm为勒让德阶数取n阶时第m个反应道的灵敏度系数计算结果与参考解之间的差异，表示为：Aven.m-AveiFP.mdn.m/RSD.m+RSDip.m其中：Aven.m和RSDn.m分别为展开系数阶数取n 的第m个反应道的灵敏度系数的均值和相对统计涨落；AveiFP.m和RSDirpm分别为IFP方法的第个反应道的灵敏度系数的均值和相对统计涨落。在不同展开阶数下，CLUTCH-FET方法的灵敏度系数结果与参考解之间的平均差异如图2 所示。从图2 可看出，展开阶数n取4阶时CLUTCH-FET方法即可获得较准确的灵敏度系数，同时当展开阶数n4阶时，d，基本保持不变，表明n4阶后，CLUTCH-FET方黄金龙等：函数展开计数在CLUTCH方法中的初步应用灵敏度系数3阶4阶AveR.SD/%0.000.982.430.060.805180.020.654.360.420.104.300.320.083370.039680.03-0.039670.030.790.018090.370.009360.390.008200.920.00729M567方法计算的灵敏度系数,如表1 所列,其中Ave和RSD分别为灵敏度系数均值和相对统计涨落。5阶20阶AveRSD/%0.000.982.430.030.804.460.010.654240.140.104.480.090.083.500.390.018060.160.009370.180.008210.480.00729法灵敏度系数计算的精度对权重函数的函数展开阶数不敏感，这是由于CLUTCH方法对权重函数的精度要求不高，统计涨落在1 0%20%即可。因此，本文后续计算中，问题尺寸较小时展开阶数取4阶，问题尺寸较大时，可适当取高阶。(13)1.31.21-1.1(14)1.00.90图2Godiva问题中不同展开阶数下CLUTCH-FET方法计算的灵敏度系数与参考解间的差异Fig.2 Difference between sensitivity coefficientscalculated by CLUTCH-FET under differentexpansion orders and reference for Godiva problemCLUTCH-Mesh方法在半径方向上划分16等分作为统计权重函数的网格。CLUTCH-Ave0.000.982 430.030.804.590.010.654.260.140.104.450.090.08348-0.039670.03-0.039670.030.390.018060.160.009370.180.008210.480.007291020函数展开阶数RSD/%0.000.982430.030.804560.010.654260.140.104460.090.083500.390.018060.390.160.009370.160.180.008210.480.00729130Ave4050RSD/%0.000.030.010.140.090.180.48灵敏度系数568FET方法采用4阶勒让德多项式对权重函数在半径方向上的分布进行统计，两种方法求得的权重函数分布如图3所示,IFP、C LU T C H-Mesh和 CLUTCH-FET方法计算得到的灵敏度系数列于表2,FOM值示于图4。图3表明，基于网格和基于函数展开计数方法计算得到的权重函数符合得较好，随着半径的增大，权重函数的数值逐渐减小。表2 显示,CLUTCH-Mesh 和 CLUTCH-FET方法的计算结果与IFP方法计算结果的相对偏差基本小于1%，表明了两种方法的准确性。通过对比图4所示FOM值，可看出，CLUTCH-Mesh和CLUTCH-FET方法计算得到的灵敏度系数的FOM值相近,CLUTCH-Mesh方法计算得到的FOM值略高于CLUTCH-FET方法，两种CLUTCH方法的FOM值普遍高于IFP核数据均值相对标准差/%均值相对标准差/%相对偏差/%235U-v0.982.46235U-0t0.804.98235U-0l0.65401235 U-oelas0.10535235U-0inel0.08334235 U-0Y-0.03969238 U-6t0.01796238U-V0.009.33234U-v0.00821234U-0i0.007 26原子能科学技术第58 卷方法,表明 CLUTCH-Mesh 和 CLUTCH-FET方法相比于IFP方法计算效率有较大提升。同一方法、不同核数据的FOM值也有较大差异，这与不同反应道发生的概率有关。1.6-McshFET(4阶)1.20.80.4F0.00123456789半径R/cm图3Godiva问题权重函数分布Fig.3Distribution of importance weightingfunctions for Godiva problem表2 Godiva问题灵敏度系数计算结果Table 2SSensitivity coefficient result for Godiva problemIFP均值相对标准差/%相对偏差/%0.000.982430.060.804.460.020.654.240.420.104290.320.083320.07-0.039670.790.018060.370.009.370.390.008210.920.00729CLUTCH-Mesh0.000.030.010.140.090.030.390.160.180.48CLUTCH-FET0.000.98243-0.060.804.460.030.65424-1.010.104.48-0.010.083.500.06-0.039670.510.018060.360.009370.010.008210.330.007290.000.030.010.140.090.030.390.160.180.48一0.0 0-0.060.04-0.830.190.060.510.360.010.33106105104WOd1031021011005U图4Godiva问题FOM值对比Fig.4Comparison of FOM values for Godiva problem2.2Flattop 问题IFPCLUTCH-MeshMVCLUTCH-FET.61-Oelas235U235U核数据Flattop基准题 1 6 布置如图5所示，装置中心材料是合金，反射层材料是铀，堆芯半径为4.5332 cm，反射层外径为2 4.1 42 cm。CLUTCH-Mesh方法采用半径方向均分48 份一维球状网格,CLUTCH-FET方法在半径方向上全局和分段进行函数展开计数，其中全局函数展开计数表示在半径方向上对 0 cm，2 4.1 42 c m 进行勒让德函数展开，展开阶数分别取5、1 0、1 5、20阶，分段函数展开计数表示在半径方向上分别对 ocm,4.5332cm和 4.5332 cm,24.142cm第3期进行勒让德函数展开，得到两套函数展开系数，展开阶数均为4阶,其他计算参数与Godiva问题相同。得到的权重函数沿半径的分布如图624.142cm图5Flattop基准题Fig.5Model for Flattop problemTable 3Sensitivity coefficient result for Flattop problem核数据IFP均值相对标准差/%均值相对标准差/%相对偏差/%239Pu-V0.879 11239Pu-ot0.65353239Pu-0f0.63192238U-0t0.22098238U-6elas0.137 36238U-v0.078 64238U-0inel0.064.81238U-0f0.057.59238U-01-0.03976240Pu-v0.02880239Pu-0elas0.021.87240Pu-ot0.02167240Pu-of0.02072图6 表明，权重函数在半径方向上的变化达到上百倍，若不进行分段函数展开计数，展开阶数取2 0 阶，仍无法准确统计出权重函数的分布，因此需要进行分段函数展开计数，才能较好地拟合权重函数的分布。结果显示，分两段进行函数展开计数，展开阶数取4阶时，便可得到较好的权重函数分布结果。因此，当权重函数变化较大时，分段进行函数展开计数较全局函黄金龙等：函数展开计数在CLUTCH方法中的初步应用54324.5332cm00图6 Flattop问题权重函数分布Fig.6Distribution of importanceweighting functions for Flattop problem表3Flattop问题灵敏度系数计算结果灵敏度系数CLUTCH-Mesh0.010.878800.060.653240.020.631.550.290.220980.440.137 640.130.078.910.400.065.050.160.057840.15-0.039850.210.028801.550.02185.0.530.021690.300.020.71569所示，3种方法计算的灵敏度系数列于表3，FOM值示于图7。5均值相对标准差/%相对偏差/%0.01-0.040.03-0.040.01-0.060.150.000.130.200.050.350.120.380.070.430.050.210.090.010.50-0.100.280.080.13-0.01数展开计数的效果更好。一般函数展开计数的分段选在材料分界处，保证每段函数展开计数区域内权重函数的梯度不大，以得到更精确的权重函数。图6 还表明，分段进行权重函数展开计数时，在区间边界处会出现间断，但由于权重函数仅在燃料区域有意义，且研究结果 8 表明灵敏度系数的计算对权重函数的精度要求为10%2 0%,因此权重函数在区间边界处的间Mesh不分段FET(5阶)不分段FET(10阶)不分段FET(15阶）不分段FET(20阶）一分段FET(4阶）1015半径R/cmCLUTCH-FET0.878890.010.653 420.030.631660.010.220840.150.137 500.130.078.830.050.065.010.120.057 770.07-0.039800.050.028800.090.021.910.500.021700.280.020720.1320-0.02-0.02-0.04-0.060.100.230.320.310.100.020.190.130.03570断性对灵敏度系数的计算影响较小。由表3可看出,基于 CLUTCH-Mesh 方法和 CLUTCH-FET方法计算的灵敏度系数与 IFP 结果的相对偏差均小于1%，且两种方法的计算偏差数值相近，表明两种方法具有较高的精度且精度相近。图 7 表明,基于 CLUTCH-Mesh 方法和 CLUTCH-FET方法计算得到的灵敏度系数的FOM值相近,且普遍高于IFP方法的FOM值,表明两种CLUTCH方法的计算效率比IFP方法更高。2.3AP1000全堆问题AP1000堆芯布置如图8 所示，采用1 5X1510510410310210110010-原子能科学技术第58 卷的燃料布置，共1 57 个燃料组件，控制棒处于全提状态。在统计权重函数时,CLUTCH-Mesh方法采用340 X340X400的立方体网格，以保证网格的大小约为1 cm,CLUTCH-FET方法对每个燃料组件分别进行函数展开计数，即采用1 57 套函数展开计数，每个燃料组件内，、方向各选取4阶勒让德函数展开计数，由于燃料区域的材料在方向没有变化，因此在之方向不分段，由于之方向燃料区域较长，适当选取高阶展开系数，选取1 0 阶勒让德函数展开计数。每代模拟的粒子数为1 0，其他计算参数同 Godiva 问题。IFP、CLU T CH-M e s h 和CLUTCH-FET方法计算的灵敏度系数列于IFP表4,FOM值对比示于图9。CLUTCH-MeshCLUTCH-FET6核数据图7 Flattop问题FOM值对比Fig.7Comparison of FOM values for Flattop problemTable4Sensitivity coefficient result for AP10o0 problem核数据IFP均值相对标准差/%均值相对标准差/%相对偏差/%235U-v0.91645235 U-0f0.42756235U-00.32028238U-0-0.22472iH-oelas0.183.5710B-0t-0.183 01238U-0t0.166691H-010.13733235U-0Y-0.107 14238U-v0.08341238U-0f0.052611H-0Y-0.04624俯视图图8AP1000堆芯布置Fig.8AP1o0o core layout表4AP1000全堆问题灵敏度系数计算结果灵敏度系数CLUTCH-Mesh0.000.916360.010.427.570.020.320 230.01-0.222350.240.181 670.01-0.185230.11-0.166 270.320.13684.0.01-0.108700.030.083500.050.052670.01-0.04484左视图CLUTCH-FET均值相对标准差/%相对偏差/%0.00-0.010.010.000.01-0.020.01-1.060.12-1.030.011.210.06-0.250.16-0.360.011.460.020.110.030.100.01-3.040.916 420.427640.320.38-0.224.850.182.74-0.18296-0.166940.13638-0.107030.083440.05264-0.046360.000.010.010.010.100.010.050.140.010.020.020.010.000.020.030.06-0.45-0.020.15-0.69-0.100.040.060.26第3期10410310210110010-110-210-3图9 AP1000问题FOM值对比Fig.9Comparison of FOM valuesfor AP1000 problem表4表明，在当前计算条件下,CLUTCH-Mesh方法计算得到的2 38 U-o、H-o e l a s、1 B-o i、235U-c和 H-的灵敏度系数的计算相对偏差较大，均大于1%，H-c的甚至达到一3.0 4%，这是由于AP1000全堆问题规模较大，需要划分足够精细的网格才能准确描述权重函数的空间分布，网格数的增多使得每个网格统计得到收敛的权重函数所需的粒子数增多，根据前文结果，在当前网格设置下，每代模拟1 0 6 个粒子，需要2 8 58 1 代的非活跃代模拟才能使权重函数收敛，而本次计算仅采用1 0 0 0 代非活跃代，权重函数未收敛，导致灵敏度系数的计算相对偏差较大。而在当前计算条件设置下，CLUTCH-FET方法计算得到的灵敏度系数的相对偏差均小于1%，表明CLUTCH-FET方法具有较高的精度。对比图 9 所示的FOM值，发现 CLUTCH-FET方法的FOM值普遍高于CLUTCH-Mesh和IFP方法，CLUTCH-Mesh方法的FOM值最低，这是由于CLUTCH-Mesh方法中网格数达到千万级别，对于数据量在千万级别的数组进行规约和运算非常耗时，导致CLUTCH-Mesh方法的FOM值比CLUTCH-FET方法小。相较于 IFP 方法和 CLUTCH-Mesh 方法,CLUTCH-FET方法的FOM值分别最大提高了5.2 倍和6.0倍。3结论本文分别基于网格和函数展开计数方法对CLUTCH方法中的权重函数进行了统计，函黄金龙等：函数展开计数在CLUTCH方法中的初步应用IFPACLUTCH-MeshMMVCLUTCH-FET核数据571数展开计数选取的基函数为勒让德多项式，在Godiva、Fla tto p 和AP1oo0全堆问题上进行了验证，并将两种 CLUTCH 方法（CLUTCH-Mesh和 CLUTCH-FET)计算得到的灵敏度系数与IFP方法进行了比较。结果表明，对于Godiva 和 Flattop 问题，CLUTCH-Mesh 和CLUTCH-FET方法具有和IFP方法相当的精度，且相较于IFP方法，两种 CLUTCH方法的计算效率有显著提升。对于AP1000全堆问题，因该问题规模较大，统计权重函数所需的网格数较多，导致权重函数难收敛，从而使得CLUTCH-Mesh方法的计算精度下降，表明CLUTCH-Mesh方法不适用于大规模问题的灵敏度系数求解。而在选取合适的函数展开阶数的条件下,CLUTCH-FET方法的计算精度与IFP方法相当,计算效率有所提升，其品质因子较IFP方法最大提高了5.2 倍，较 CLUTCH-Mesh方法最大提高了6.0 倍，表明CLUTCH-FET方法适用于大规模问题的灵敏度系数求解。Flattop问题的权重函数分布结果表明，分段进行函数展开计数的效果较不分段的效果好。参考文献：1万承辉。核反应堆物理计算敏感性和不确定性分析及其在程序确认中的应用研究 D西安