践行“三个理解”,实施整合教学——以“二项式系数的性质及应用”的教学为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）践行“三个理解”，实施整合教学以“二项式系数的性质及应用”的教学为例冯秋霞江苏省平潮高级中学226361咱摘要暂 整合设计学科知识袁形成促进课堂动态生成的教学内容是践行野三个理解冶的良好举措.文章以野二项式系数的性质及应用冶的教学为例袁从野基于耶三个理解爷袁分析整合教学冶野遵循PCK理论袁实现高效教学冶野紧扣教学方法袁发展核心素养冶野渗透数学文化袁激发爱国热情冶等方面谈一些思考.关键词理解数学曰理解学生曰理解教学曰整合教学作者简介院冯秋霞（1985），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.野三个理解冶是章建跃教授提出的理解数学尧理解学生尧理解教学.该理论要求教师全面关注学生的认知能力与理性精神袁以学生最近发展区为定向袁促进学生全面尧和谐尧可持续发展咱1暂.实践证明袁整合设计学科知识袁形成促进课堂动态生成的教学内容是践行野三个理解冶的良好举措.本文以野二项式系数的性质及应用冶的教学为例袁具体从下文几方面对践行野三个理解冶袁实施整合教学展开剖析.教学分析野二项式系数的性质与应用冶教学从杨辉三角出发袁总结二项式系数的性质分别为院淤Cmn=Cn-mn.于Cmn+Cm-1n=Cmn+1.盂当r跃n原12时袁Cr+1nCrn曰若n是偶数袁二项式系数中Cn2n最大曰若n是奇数袁二项式系数中Cn-12n与Cn+12n相等且最大.榆C0n+C1n+C2n+噎+Cnn=2n.课堂时间是固定的袁但这么多性质内容必须在课堂上完成教学袁实属不易.其中袁性质盂体现的是二项式系数的增减性袁是教学的难点之一.若教师选择野机械注入式冶教学模式袁虽能有效掌控课堂时间袁但因学生无法主动参与尧体验知识形成的过程袁则教学效果较差.而选择面面俱到的教学模式袁必然导致时间紧张.为此袁笔者尝试从整合的角度进行教学袁取得了一定的成效.基于“三个理解”的整合教学措施1.理解数学袁明确目标理解数学主要包括理解教学目标尧教学内容以及教学体系等袁它是实施教学的基本前提.本节课的教学建立在排列与组合知识的基础上袁利用多项式乘法运算法则得到二项式定理.性质淤于在之前的排列与组合中已经有所接触曰性质盂渊增减性冤的难度较大袁需要进行一定的探索与证明才能获得曰性质榆渊赋值法冤在之前的学习中也有所接触.对于高中生来说袁代数的推理是教学的重点与难点袁而逻辑推理能力又是数学核心素养的重要内容之一袁本节课性质盂的教学正是训练学生逻辑推理能力的机会.鉴于此袁本节课应将教学重点放在性质盂的探索上袁给予学生充足的时间与空间袁以达成教学目标.当然袁课堂时间是有限的袁此处费时较多袁其他环节就要相应地压缩时间.2.理解学生袁因材施教学生是课堂的主体袁教学应在理解学生的基础上进行.笔者所授班级学生的基础扎实袁思维灵敏袁但有少部分学生存在眼高手低尧懒得计算等问题.另外袁学生明显反感上课拖堂行为.因此袁课堂设计应把控好时间与计算量袁用前测或交流的方式袁摸清学生的最近发展区袁为接下来的整合教学奠定基础.3.理解教学袁合理整合在充分了解数学与学生的基础上袁设计教学目标有据可依.本节课可制定如下教学目标院理解并掌握二项式系数的性质袁经历性质形成的过程袁 体验特殊到一般的数学思想方法袁培养理性思维尧逻辑推理以及数学探究能力.教学实施基本流程为院第一袁花费12分钟的时间袁开宗明义地直奔教学主题曰第二袁花费2分钟左右的时间袁回顾性质淤和性质于渊说出怎么观察尧发现的即可冤曰第三袁性质榆在之前的学习中已经有所接触袁本节课可作为已知直接使用渊费时12分钟冤曰教学实践36投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）第四袁性质盂的探索有些许复杂袁需从代数推理的角度进行袁对学生而言这是一个难点袁尤其对于Crn什么时候随r的增加而增大袁什么时候随r的增加而减小袁这要经历一个较长的探索过程.教学简录1.问题导入师院上节课我们一起探讨了二项式定理袁大家还记得渊a+b冤n的展开式吗钥学生回顾袁笔者板书如下院渊a+b冤n=C0nan+C1nan-1b+噎+Crnan-rbr+噎+Cnnbn渊n沂N*冤袁其中各项的系数Crn渊r=0袁1袁2袁噎袁n冤叫做二项式系数.师院今天我们一起来探索二项式定理中一些有趣的二项式系数的性质.2.学生活动探索方法院笔者带领学生先从特殊情况下寻找规律袁根据这些规律获得猜想袁然后严谨论证猜想.在活动过程中袁有意识地利用杨辉三角渗透数学文化袁培养学生的数学学科素养.学生在观察中发现院图1展示的是渊a+b冤n的展开式的二项式系数.在学生观察图1的同时袁笔者趁机展示图2渊杨辉三角的汉字版冤袁介绍杨辉三角相关知识袁以渗透数学文化袁并提出杨辉三角的发现要比法国著名的帕斯卡三角早500年左右袁以触发学生的爱国情怀.学生在笔者的带领下袁通过对两幅图的整体结构的观察与分析袁经过短时间的讨论袁总结出二项式系数的主要特征有渊板书冤院淤对称性曰于相邻两行袁除1外袁其余的数都等于它肩上的两数之和曰盂从两端往中间的数逐渐增大渊增减性冤曰榆第n行的数的和是2n.设计意图 带领学生在观察尧尝试与列举中归纳并猜想二项式系数的特征袁同时介绍杨辉三角袁以渗透数学文化袁培养学生的爱国情感.引导学生应用从特殊到一般的研究方法探索问题袁发展学生的观察力尧概括力与抽象力袁提升学生的核心素养.3.性质建构问题院可以用怎样的数学符号来表示二项式系数的性质钥要求学生通过自主思考与合作交流的方式进行分析与推理.渊1冤性质淤和性质于为组合数公式袁要求学生说说这两个公式的证明思路渊组合数公式代入法冤.渊2冤性质盂为二项式系数的增减性袁 该性质为本节课教学的重难点袁笔者教学时设计了如下探究活动.淤提出问题院Crn什么时候随r的增加而增大袁什么时候随r的增加而减小钥于探索规律院带领学生观察图1袁学生容易发现袁若n为偶数4袁在C04袁C14袁C24袁C34袁C44中袁中间的一项C24最大曰若n为偶数6袁在C06袁C16袁C26袁C36袁C46袁C56袁C66中袁中间的一项C36最大.猜想当n为偶数时袁二项式系数中Cn2n最大.若n为奇数3袁在C03袁C13袁C23袁C33中袁中间的两项C13与C23相等且最大曰若n为奇数5袁在C05袁C15袁C25袁C35袁C45袁C55中袁中间的两项C25与C35相等且最大.猜想当n为奇数时袁二项式系数中Cn-12n与Cn+12n相等且最大.由此猜想院当rn原12时袁Crnn原12时袁CrnCr+1n.盂证明猜想.方法1渊分析法冤院当rn原12时袁要证明CrnCr+1n袁也就是证明n!r!渊n原r冤!n!渊r+1冤!渊n原r原1冤!袁即证明1n原r1r+1袁即证明rn原12.由于rn原12时袁CrnCr+1n成立.方法2渊比较法冤院Crn原Cr+1n=n!r!渊n原r冤!原n!渊r+1冤!渊n原r原1冤!=n!渊r原n+1+r冤渊r+1冤!渊n原r冤!=n!咱2r原渊n原1冤暂渊r+1冤!渊n原r冤!.因为n!0袁渊r+1冤浴窑渊n原r冤浴0袁当rn原12时袁2r原渊n原1冤0袁所以Crnn原12时袁2r原渊n原1冤0袁所以CrnCr+1n.渊笔者板书以上证明过程冤榆归纳结论渊略冤.渊3冤对于性质榆袁引导学生利用赋值法进行证明袁即令a=b=1可直接获得结论C0n+C1n+噎+Cnn=2n.4.实际运用题1 证明院在渊a+b冤n的展开式中袁偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和为相等的关系.如同性质榆袁引导学生利用赋值法进行证明.除此之外袁在证明过程中袁可得多个结论袁常见的有院淤C0n+2C1n+22C2n+噎+2nCnn=3n曰于2n原C1n窑2n-1+图1左积右隅一一一一二一一三三一一四六一四一五十十五一一六六一十五二十十五本积商除平方立方三乘四乘五乘命实而除之以廉乘商方中藏者皆廉右袤乃隅算左袤乃积数图2杨辉三角C01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C06C16C26C36C46C56C66噎噎噎二项式系数渊a+b冤1渊a+b冤2渊a+b冤3渊a+b冤4渊a+b冤5渊a+b冤6噎噎 噎11121133114641151010511615201561教学实践37投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）C2n窑2n-2+噎+渊原1冤n-1窑 Cn-1n窑2+渊原1冤n=1.变式题院若渊x+1冤n=a0+a1渊x原1冤+a2渊x原1冤2+噎+an渊x原1冤n渊n沂N*冤袁则a0的值与a1+a2+a3+噎+an的值分别为多少钥提炼院想要求出展开式的系数尧系数的和尧系数的差袁最关键的环节是给字母赋值袁而赋值根据待求展开式的系数的特征来做决定.题2 若在渊a+b冤n的展开式中袁第5项的二项式系数最大袁求n的值曰若二项式系数最大的是第10项和第11项袁求n的值.提炼院当n为奇数时袁中间的两项Cn-12n和Cn+12n相等且最大曰当n为偶数时袁中间的一项Cn2n最大.题3 利用二项式定理证明野9910原1可以被1000整除冶袁并思考以下两个问题院渊1冤9911被1000除 后 的 余 数 是多少钥渊2冤38被5除后的余数是多少钥提炼院应用二项式定理解决整除类问题时袁首先要合理变形问题中的式子要要要一般用拆数这种变形方法袁将幂底数拆为两数之和袁而其中有一个数为除数的因数.拓展延伸院若渊2原3 姨x冤100=a0+a1x+a2x2+噎+a100 x100袁求下列各式的值.渊1冤a0曰渊2冤a1+a2+噎+a100曰渊3冤渊a0+a2+噎+a100冤2原渊a1+a3+噎+a99冤2.5.课堂小结本节课的主要教学内容有院淤二项式系数的四个性质曰于研究问题的常用步骤院尝试尧猜想尧特殊到一般尧推理证明等曰盂培养学生的数学学科核心素养袁如逻辑推理素养等.教学思考由上述典型的整合教学案例袁笔者总结出以下几点经验.1.基于野三个理解冶袁分析整合教学章建跃教授的野三个理解冶为课堂教学提供了分析方向袁本节课从理解数学袁明确教学目标出发袁通过分析学情袁在充分理解学生的基础上因材施教袁根据学生的最近发展区科学合理地设计教学重点与难点袁课堂时间分配得当袁教学节奏张弛有度袁学生在这种氛围下建构新知袁有种水到渠成之感.基于合理分析袁笔者瞄准教学目标袁课堂上踩住教学的关键点袁带领学生在野回顾尧观察尧理解尧经历冶中获得二项式系数的四个性质袁并通过知识的实际应用增加学生的应用能力.其中袁性质盂为本节课的教学重难点袁笔者基于野三个理解冶袁在性质盂的讲解上铆足了劲.整个教学过程时间安排得当袁练习野度冶掌握得比较合理袁顺利完成教学任务的同时袁凸显了教学的时效性.2.遵循PCK理论袁实现高效教学舒尔曼教授将PCK定义为院教师个人教学经验尧教师学科内容知识和教育学的特殊整合.实际上是将PCK作为学科知识尧课程知识尧教学法尧教学情境等的综合袁是野用专业学科知识和教育学的综合去理解特定教学内容的组织方法与呈现方式冶.简而言之袁PCK就是将学科知识转化成学生更加容易接受的教学知识袁具有显著的整合性与融合性等特征.例如本节课袁在野三个理解冶的基础上袁笔者根据学生的认知经验袁精心剖析教学内容袁 制定教学目标袁设计教学方案袁通过整合让整个教学活动紧扣目标尧适当取舍尧弛张有度尧详略得当.3.紧扣教学方法袁发展核心素养性质盂为本节课的教学重难点袁特别是对问题野Crn什么时候随r的增加而增大袁什么时候随r的增加而减小冶的探究袁存在较大难度.想要突破这个重难点袁就要从特殊值着手袁通过尝试尧观察尧分析尧猜想与论证袁推理出相应结论.为了突破这个重难点袁本节课设计了几个重要的局部探究活动袁主要为院淤提出问题袁明确教学目标曰于从学生的认知特点出发袁取特殊值探索主要规律曰盂用分析法和比较法证明猜想袁训练学生的推理能力曰榆归纳结论.学生从这个流程中能感知体验到野由特殊到一般尧由猜想到验证冶是研究数学问题的重要方法.数学学科核心素养是数学思维品质尧数学能力尧情感态度与价值观等的综合体现袁它是在学习过程中逐步形成且发展而来的.本节课的局部探究活动充分体现了学生逻辑推理能力的形成与发展袁主要表现在以下两点院淤从特殊到一般进行归纳推理曰于从一般到特殊进行演绎推理.事实证明袁逻辑推理是获得结论的主要方法袁是保证数学严谨性的基础.数学学科核心素养的培养无捷径可言袁必须立足课堂袁通过不断探索与日积月累获得良好的观察尧猜想尧抽象与概括等能力.将归纳推理与演绎推理交织融合在一起袁能让学生的数学思维变得清晰尧明朗袁从真正意义上提升学生的数学学科核心素养.4.渗透数学文化袁激发爱国热情新课标明确提出院数学教学不仅仅是运算或推理的教学袁更是语言表达或数学思想文化的教学咱2暂.数学史的应用是渗透数学文化的主要方式袁本节课提到杨辉三角袁并强调它的发现比法国的帕斯卡三角早500年左右袁这一段素材的应用袁能成功激发学生的爱国热情.尤其对高三学生而言袁近在咫尺的高考让他们感到压力很大袁甚至有学生对数学学习丧失了信心袁而数学文化的渗透则能帮助学生缓解压力袁建立数学学习信心.总之袁基于野三个理解冶的高中数学整合教学不仅能激发学生的学习兴趣袁提高教学效率袁还能有效促进学生数学学科核心素养的形成与发展.因此袁这是一种值得研究与实施的教学措施.参考文献院1章建跃.中学数学课改的十个论题J.中学数学教学参考，2010（07）：2-5+11.2中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）M.北京：人民教育出版社，2018.教学实践38