关于“灰色预测模型”讲解(课堂PPT).ppt

灰色模型灰色模型 目录目录一、灰色模型的概述二、灰色模型建模三、例题灰色系统理论及起源灰色系统理论及起源1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特殊的要求和限制，因此应用领域十分宽广。不确定性方法的比较不确定性方法的比较概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。例：年轻人概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。例如：总人口控制在15亿到16亿之间。三种不确定性系统研究方法的比较分析三种不确定性系统研究方法的比较分析项目项目灰色系统灰色系统概率统计概率统计模糊数学模糊数学研究对象研究对象贫信息不确定贫信息不确定随机不确定随机不确定认知不确定认知不确定基础集合基础集合灰色朦胧集灰色朦胧集康托集康托集模糊集模糊集方法依据方法依据信息覆盖信息覆盖映射映射映射映射途径手段途径手段灰序列算子灰序列算子频率统计频率统计截集截集数据要求数据要求任意分布任意分布典型分布典型分布隶属度可知隶属度可知侧重点侧重点内涵内涵内涵内涵外延外延目标目标现实规律现实规律历史统计规律历史统计规律认知表达认知表达特色特色小样本小样本大样本大样本凭经验凭经验灰色系统理论的研究与应用灰色系统理论的研究与应用 灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。灰色系统理论的研究内容灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。灰色系统的模型 通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。于模型的灰色预测。1.1.数据的预处理数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题首先我们从一个简单例子来考察问题.【例】【例】设原始数据序列设原始数据序列对数据累加对数据累加 于是得到一个新数据序列于是得到一个新数据序列 归纳上面的式子可写为归纳上面的式子可写为 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为，简称为一次累加生成一次累加生成.显然有显然有 可见图可见图7.17.1上的曲线有明显的摆动，图上的曲线有明显的摆动，图7.27.2呈现逐渐呈现逐渐递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以可以设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成数列数列 将上述例子中的将上述例子中的 分别做成图分别做成图7.17.1，图，图7.2.7.2.图图7.2 图图7.1为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中归纳上面的式子得到如下归纳上面的式子得到如下结果结果：一次后减：一次后减其中其中2.建模原理给定观测数据列给定观测数据列经一次累加得经一次累加得设设 满足一阶常微分方程满足一阶常微分方程（7.1）（7.2）（7.3）其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对系统的常定输入数，是对系统的常定输入.此方程满足初始条件此方程满足初始条件的解为的解为(7.3)对等间隔取样的离散值对等间隔取样的离散值（注意到（注意到 ）则为则为(7.4)灰色建模的途径是一次累加序列（灰色建模的途径是一次累加序列（7.27.2）通过）通过最小二乘法最小二乘法来来估计常数估计常数a与与u.因因 留作初值用，故将留作初值用，故将 用差分代替微分，又因等间隔取样，用差分代替微分，又因等间隔取样，分别代入方程分别代入方程(7.3),(7.3),类似地有类似地有于是，由式（于是，由式（7.37.3）有）有 故得：故得：由于由于 涉及到累加列涉及到累加列 的两个时刻的值，因此，的两个时刻的值，因此，取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 替换为替换为 把把 项移到右边，并写成向量的数量积形式项移到右边，并写成向量的数量积形式(7.5)将（将（7.57.5）写为矩阵表达式）写为矩阵表达式令令这里，这里，T T表示转置表示转置.令令(7.6)则则(7.6)(7.6)式的矩阵形式为式的矩阵形式为方程组方程组(7.6)(7.6)，用最小二乘法估计为，用最小二乘法估计为(7.6)(7.7)把估计值把估计值 代入（代入（7.47.4）式得时间响应方程）式得时间响应方程 由由(7.8)(7.8)式算得的式算得的 是拟合值；是拟合值；为预报值为预报值.这是这是 的拟合值，用后减运算还原，的拟合值，用后减运算还原，就可得原始序列就可得原始序列 的拟合值的拟合值 可得原始序列可得原始序列 预报值预报值.(7.8)相对于一次累加序列相对于一次累加序列 3.精度检验 (1)(1)残差检验：分别计算残差检验：分别计算（3 3）预测精度等级对照表，见表）预测精度等级对照表，见表7.1.7.1.由于模型是基于一阶常微分方程（由于模型是基于一阶常微分方程（7.37.3）建立的，故）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).GM(1,1).须指出的是，须指出的是，建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的列随时间递增的目的.如果实际问题的原始数据列如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升数据整体提升”处理处理.注意到一阶常微分方程是导出注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)GM(1,1)模型的桥梁，模型的桥梁，在我们应用在我们应用GM(1,1)GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（求解一阶常微分方程（7.37.3）.4.GM(1,1)的建模步骤 综上所述，综上所述，GM(1,1)GM(1,1)的建模步骤如下：的建模步骤如下：例题 销售额预测 随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是增加的，一个商店、一个地区的销售额常总是增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋势常呈增长趋势.因此，这些数据符合建立灰色因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。预测模型的要求。【例】【例】表表7.27.2列出了某公司列出了某公司1999199920032003年逐年的销年逐年的销 售额售额.试用建立预测模型，预测试用建立预测模型，预测20042004年的销售额，要求年的销售额，要求作精度检验。作精度检验。表表7.2 7.2 逐年销售额（百万元）逐年销售额（百万元）年份年份1999199920002000200120012002200220032003 序号序号1 12 23 34 45 5 2.8742.8743.2783.2783.3373.3373.3903.3903.6793.679【例】【例】表表7.27.2列出了某公司列出了某公司1999199920032003年逐年的销年逐年的销 售额售额.试用建立预测模型，预测试用建立预测模型，预测20042004年的销售额，要求年的销售额，要求作精度检验。作精度检验。解（解（1 1）由原始数据列计算一次累加序列）由原始数据列计算一次累加序列 结果见表结果见表7.3.7.3.表表7.3 7.3 一次累加数据一次累加数据年份年份1999199920002000200120012002200220032003序号序号1 12 23 34 45 52.8742.8743.2783.2783.3373.3373.3903.3903.6793.6792.8742.8746.1526.1529.4899.48912.87912.87916.55816.558（2 2）建立矩阵：）建立矩阵：谢谢观赏！有不足之处，请老师和同学指正。若有疑问之处，请课后交流！问题的提出:已知一组实验数已知一组实验数求它们的近似函数关系求它们的近似函数关系 yf(x).需要解决两个问题需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准确定近似函数的标准 实验数据有误差实验数据有误差,不能要求不能要求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 最小二乘法 34偏差偏差有正有负有正有负,值都较小且便于计算值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对为使所有偏差的绝对来确定近似函数来确定近似函数 f(x).最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据设有一列实验数据分布在某条曲线上分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为找出的函数关系称为经验公式.,它们大体它们大体 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 35特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定问题为确定 a,b 令令满足满足:使使得得解此线性方程组解此线性方程组即得即得 a,b称为法方程组称为法方程组机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 36例例1.为了测定刀具的磨损速度为了测定刀具的磨损速度,每隔每隔 1 小时测一次刀小时测一次刀具的厚度具的厚度,得实验数据如下得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:通过在坐标纸上描点可看出它们通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上大致在一条直线上,列表计算列表计算:故可设经验公式为故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 37得法方程组得法方程组解得解得 故所求经验公式为故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为衡量上述经验公式的优劣为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下计算各点偏差如下:38称为均方误差称为均方误差,对本题均方误差对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 偏差平方和为偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 39称为均方误差称为均方误差,对本题均方误差对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 偏差平方和为偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 40