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第五章 机械的平衡
5.1 内容提要
本章主要解决机械的动平衡和静平衡问题，学会用平衡基面法消除机械系统的动平衡。
本章主要内容是：
1．掌握机械平衡的一些基本概念，如静平衡、动平衡等；
2．掌握转子进行静平衡的条件、方法和步骤，并可根据实际转子进行静平衡实验，确定转子的静不平衡量的大小和位置；
3．掌握转子进行动平衡的条件、方法和步骤，并可根据实际转子进行动平衡实验，确定转子的动不平衡量的大小和位置；
4．掌握平面机构的平衡方法；
5．了解空间机构的平衡方法；
本章重点是刚性转子的静平衡、动平衡的原理及计算方法。本章难点是转子动平衡和平面机构平衡的原理和计算方法。
5.2 要点分析
机械在运转时，构件所产生的惯性力和惯性力矩在运动副上引起了大小和方向不断变化的动压力，这种动压力不仅会降低机械效率，影响机械的使用寿命，而且引起机械及其基础产生强迫振动以及可能产生的其它不良现象。机械平衡的目的就是尽可能消除或减少惯性力对机械系统的不良影响，借助于增减校正质量或者改变机械系统的质量分布将不平衡惯性力和惯性力矩加以消除或减少。尤其是对于高速运转的机械，如果惯性力引起的振动频率等于机械的固有频率时，将导致共振现象，这将对机械造成破坏，对操作者带来不安全因素。
由于构件的运动形式不同，所产生的惯性力的平衡方法也不同。对于绕固定轴转动的回转构件(即转子)，可以就其本身加以平衡；对于作往复移动或平面运动的构件，必须就整个机构进行平衡
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。所以，机械的平衡问题分为转子的平衡和机构的平衡两类。
根据转子的工作状态和力学特性，从平衡的观点出发，常把转子分成两类：刚性转子和挠性转子。一般来说，凡是工作转速远低于转子的一阶弯曲临界转速的转子视为刚性转子；而把工作转速接近或超过转子的一阶弯曲临界转速的转子视为挠性转子。在国际标准化组织制定的"平衡词汇"标准ISO1925-1981和我国"试验机名词术语"ZBY033-82中，刚性转子被更确切地定义为"可以在一个或任意选定的两个校正平面上，以低于转子工作转速的任意转速进行平衡校正，且校正之后，在最高工作转速及低于工作转速的任意转速和接近实际的工作条件下，其不平衡量均不明显地超过所规定的平衡要求"的转子。而除此之外的转子都归为挠性转子。通常我们所说的刚性转子是指刚度相当大，转子在不平衡离心惯性力的作用下所产生的动挠度很小，以致在转子工作和平衡的过程中可以忽略不计。挠性转子由于在运转及平衡时将产生挠曲变形，其情况要复杂得多。
(1)转子的平衡
转子是指绕固定轴旋转的构件。转子的平衡分为两类。
①刚性转子的平衡。当转子的工作转速n<0.6-0.7倍的转子的一阶临界转速称为刚性转子。刚性转子的平衡是基于理论力学的方法加以处理，只须消除由离心力产生的振动。
②挠性转子的平衡。当转子的工作转速n>0.6-0.7倍的转子的一阶临界转速时，其旋转轴线的弯曲变形不可忽略的转子称为挠性转子。挠性转子的平衡原理是基于弹性梁的横向振动理论的方法加以处理，既要消除由离心力产生的振动，又要消除转子的弯曲变形。
对于转子的平衡可通过调整其质量分布和大小的方法使转子上所有质量的惯性力形成一平衡力系，消除运动副中的动压力及机架的振动。
(2)机构的平衡
在连杆机构中，由于有做往复运动的构件和做平面运动的构件，其惯性力难以平衡，要从整个机构加以考虑来进行平衡。要将各个构件所产生的惯性力的合力和合惯性力矩在机架上得到完全平衡或不完全平衡。所以，也称做机构在机座上的平衡
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。
我们学习的重点是刚性转子的平衡，要求掌握刚性转子的平衡条件、计算方法以及实验原理。
5.2.1 刚性转子的静平衡
静平衡适用于转子轴向长度比直径L／D<0.2的盘类零件。这种转子的质量分布可认为在同一平面内，其不平衡是因为其质心位置不在回转轴线上，且其不平衡现象在转子静止时就能够显示出来。对于这种不平衡转子，只须重新分布其质量，把质心移到回转轴线上，即可达到平衡，这种平衡称为静平衡。由此确定转子的静平衡条件为合力为零。计算方法采用矢量加法，即所有离心惯性力合力为零()或质径积矢量合为零()。根据方程左侧所构成的首尾相接的矢量封闭多边形，计算出平衡力以及质径积，也可采用解析法计算。和是人为加入的平衡质量所产生的平衡力或者质径积。rb为平衡质量的平衡半径，rb取得越大，所加的平衡质量mb越小。
由于刚性转子的静平衡只需要平衡惯性力，所以只需一个平衡质量就可以满足平衡要求。
5.2.2 刚性转子的动平衡
动平衡适用于转子轴向长度比直径L／D>0.2的的轴类零件。对于轴类零件而言，可以认为不平衡质量产生的离心力不在同一平面上，其离心力还会产生轴向的惯性力矩。这种转子的不平衡，除了存在静不平衡外，还会存在力矩的不平衡。这种不平衡在转子运转的情况下才能完全显示出来。对于动不平衡的转子，要消除惯性力矩，根据力的分解原理，须选择两个垂直于轴线的平衡基面，并在这两个面上适当加上(或除去)两个平衡质量，使转子所产生的惯性力和惯性力矩都达到平衡，这种平衡称为动平衡。由此可知，刚性转子动平衡的条件为：
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惯性力为零、惯性矩也为零，即和。所以，刚性转子的动平衡需要在两个平衡基面上进行平衡，至少需要两个平衡质量才能满足动平衡条件。首先，需要把不平衡质量产生的动不平衡力分解到两个平衡基面上，然后在两个平衡基面上进行静平衡即可。力的分解方法如下：
每个可分解为两个平行分力，两个分力位置可任选，在分解的过程中要保证力的作用效果完全一样，对下图的力P可分解成P1和P2，分解的公式如下：
，
可得到：
，
所以得到：
，

如果在转子上作用多个不平衡力，可任选两个平衡基面Ⅰ、Ⅱ，利用上面力的分解方法，得到：

然后在Ⅰ、Ⅱ内用静平衡法求出质径积的配置量即可保证转子的动平衡。
实际上，一般的回转构件既是动不平衡又是静不平衡，只有满足动平衡的条件，才能达到完全平衡。因此，动平衡是转子平衡的基本方法，而静平衡只能解决盘类转子的平衡。
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5.2.3 平衡实验
由于转子的材料密度分布是随机的，即使外形的形心与转轴重合，也不能保证质心与转轴重合，所以对于有平衡要求的转子，必须通过平衡实验保证平衡精度。
转子的静平衡实验是借助于静平衡实验装置将转子的静不平衡现象较容易地显示出来，然后再经过反复试加平衡质量直至转子的静不平衡现象消失为止，即转子己达到静平衡。
转子的动平衡实验则需在专用的动平衡机上进行，目前使用较多的动平衡机是根据振动原理设计的，并且利用测振传感器将由转子转动所引起的振动信号经传感器拾取、通过电子线路加以处理和放大后，再由电子仪器依次显示转子的两平衡基面上应加平衡质量的大小和方位。
转子的平衡精度是用转子的许用不平衡量来控制的。因此，除要搞清楚平衡实验原理及方法外，还应搞清楚转子的许用不平衡量的表示方法。根据平衡精度公式算出许用偏心距，再换算到各平衡面上的质径积许用值。一般来讲，动平衡显示出的平衡量为实际质径积量值。平衡实验的合格条件：实际偏心距小于等于许用偏心距。动平衡合格条件：各平衡面上的实际质径积量值<许用质径积量值。
5.2.4 平面机构的平衡
平面机构的平衡就是机构各构件的惯性力和惯性力偶矩在机架上的平衡，又称机架上的平衡，就整个机构而言，所有的惯性力和惯性力偶可以合成一个通过运动构件总质心的总惯性力和一个总惯性力偶矩，全部作用于机架。总惯性力可通过重新调整各运动构件的质量等方法在机架上加以平衡，而总惯性力偶矩还必须与机构的驱动力矩和生产阻力距一起加以考虑。在平衡的过程中常采用质量替换法，其方法如下：
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由上图可知，首先用平衡质量使其与连杆和滑块质量、的总质心调至点，故

在点可看成有一集中质量为

然后在曲柄盘上用平衡质量使其与和的总质心调整至点，故

此时点便成为该机构活动构件（包括平衡质量）的总质心位置。此处集中质量为

由于为固定点，故不受机构位置变化的影响，即总惯性力等于零。此时机构达到惯性力完全平衡。

本章的学习难点为动平衡的计算。动平衡计算原理是采用质量替代的方法，将不平衡质量替代到2个平衡基面内。替代条件是：替代质径积之和等于不平衡质量的质径积；替代质径积对不平衡质量的质心取矩，合力矩为零。然后，在两个平衡面上分别按静平衡计算，求得人为所加的平衡量值，当两个平衡面各自达到静平衡，整个转子就达到动平衡了。平衡面的选取与转子的支撑位置无关，两平衡面之间的距离越大，则所加的平衡质量越小、平衡效果越好。由此可见，动平衡计算是通过简化为两个平衡基面的静平衡问题来进行计算
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的。
此外，不平衡质量向两个平衡面进行质量替代时，替代半径一般取与不平衡质量的离心半径相等。当不平衡质量在两个平衡面中间时，替代方向与不平衡质量相同。当不平衡质量在两个平衡面一侧时，离不平衡质量近的平衡面的替代方向与不平衡质量相同；离不平衡质量远的平衡面上的质量替代方向与不平衡质量平行反向。
5.3 典型例题
例1：如图1所示，转盘具有四个圆孔，其直径和位置为：d1=35mm，d2=60mm，d3=50mm，d4=75mm；r1=120mm，r2=90mm，r3=125mm，r4=95mm；，，，。现在上面再钻一个圆孔使之平衡，回转半径r=150mm，求该孔的直径和位置角。

解题分析：
本题考察刚性转子静平衡的概念和平衡条件。
首先，根据题目中给出的是转盘类零件，可断定是考察的刚性转子的静平衡，这就需要确定施加的平衡质量的大小和位置。要使转盘达到静平衡，应使各个不平衡质量所产生的离心力为零，即惯性力的合力为零，或者质径积为零，然后求解该方程就可以得到圆孔的直径和位置角。
该题我们用两种方法求解：矢量方程图解法和代数方法
解1：矢量方程图解法
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静平衡条件可得：
即： （1）
式中 ρ——转盘材料的相对密度。
今计算各圆孔的直径平方与向径值的相乘积为:

选取比例尺，可得到代表圆孔直径平方与其向径积的图上长度分别为：7.45mm，16.2mm，15.625mm，26.7375mm。
做矢量多边形如图b，则封闭矢量W就代表应减去的圆孔直径平方与其向径值的乘积，可量得W=22.5mm，所以

已知，则

该孔径向线的方位角由该矢量图上可量得：

解2: 代数法
静平衡条件可得：
即： （1）
以孔径1的中心与转轴中心的连线作为x轴，过转轴中心与x轴垂直的轴线作为y轴，可得各孔径与X轴夹角为，，，
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矢量方程（1）在坐标轴上进行投影，可得到如下的方程组：

联立可得结果如下：

例2、如图所示为一钢制圆盘，盘厚 b  =50mm, 位置Ⅰ处有一直径φ =50mm的通孔，位置 Ⅱ 处是一质量 m2 =0.5kg 的重块。为了使圆盘平衡，请在圆盘上 r =200mm 处制一通孔。试求此孔的直径与位置。（钢的密度γ = 7.8g/cm3)

解题分析：
本题考察刚性转子静平衡的概念和平衡条件。本题采用解析法。
解： 先确定圆盘的各偏心质量的大小。
Ⅰ位置处的孔的质量

设该圆盘上的平衡孔的质量。
然后，再由圆盘的静平衡条件：

可得两投影式：

由于所以
故；

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例3：　 如图所示为一个一般机器转子，已知转子的质量为15kg，平衡精度等级可取G630。其质心至两平衡基面 Ⅰ 及 Ⅱ 的距离分别为 l1 =100mm ,l2 =200mm,转子的转速 n  =3000r/min ,试确定在两平衡基面 Ⅰ 及 Ⅱ 内的许用不平衡质径积。当转子转速提高到 6000r/min 时，许用不平衡质径积又各为多少？
解题分析：
本题考察平衡精度等级的概念。
解：1）由平衡精度等级可得，A=630mm/s
2）确定当n=3000r/min时的许用不平衡量

由可得

将其许用不平衡质经积分配到两个平衡基面上，则

2）确定当的许用不平衡量

例4：如图所示的回转体中各偏心质量分别为，，，，其重心到回转轴的距离分别为，，，各偏心质量之间的间距为
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，各偏心质量间的夹角分别为，，，如果置于平衡基面I和II中的平衡质量和的重心到回转轴的距离分别为，试求和的大小及方位。
解题分析：
本题考察刚性转子动平衡的概念和平衡条件。刚性转子的动平衡的求解方法就是把不平衡力或者质径积分解到两个平衡基面上，然后在两个平衡基面上进行静平衡计算，只需在两个平衡基面上确定出偏心质量的大小、位置。

解：（1）将各质径积分解到平衡基面Ⅰ和Ⅱ上
由公式，，，可得：

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(2) 在平衡基面Ⅰ中的平衡质量，由，并选取比例尺，可计算出在平衡基面Ⅰ上各个质径积的分量在矢量图中的长度分别为：
，，，
作矢量多边形如上图，则封闭矢量即为所求的在平衡基面Ⅰ中应加的平衡质径积，量得，所以

的方位角也可由该矢量图上量得：（由沿顺时针方向量到的角）
（3）在平衡基面Ⅱ中的平衡质量，由，并选取比例尺，可计算出在平衡基面Ⅱ上各个质径积的分量在矢量图中的长度分别为：
，，，
作矢量多边形如上图，则封闭矢量即为所求的在平衡基面Ⅱ中应加的平衡质径积，量得，所以

的方位角也可由该矢量图上量得：（由沿顺时针方向量到的角）

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例5：图示凸轮轴系由三个相互错开120°的偏心轮组成，每个偏心轮的质量为0.5kg，其偏心距为12mm，若在平衡基面Ⅰ、Ⅱ内回转半径为=10mm处加一平衡质量和使之平衡。试求和的大小和方位。

解：不平衡质径积的大小为：

分别分解到平衡基面Ⅰ和Ⅱ上的大小为：

(2) 在平衡基面Ⅰ中的平衡质量，由，并选取比例尺
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，可计算出在平衡基面Ⅰ上各个质径积的分量在矢量图中的长度分别为：
，，
作矢量多边形如上图，则封闭矢量即为所求的在平衡基面Ⅰ中应加的平衡质径积，量得，所以

∴
的方位角也如图所示。
（3）在平衡基面Ⅱ中的平衡质量，由，并选取比例尺，可计算出在平衡基面Ⅰ上各个质径积的分量在矢量图中的长度分别为：
，，
作矢量多边形如上图，则封闭矢量即为所求的在平衡基面Ⅰ中应加的平衡质径积，量得，所以

∴
的方位角也如图所示。

例6：如图所示的曲柄连杆机构中，已知，，构件1和构件3的重心与A和C点重合，构件2的重心在点且，各构件的质量分别为，，，设在构件2的处施加平衡质量，在构件1的处施加平衡质量来平衡机构的惯性力，求和的大小。
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解题要点：
为使机构惯性力完全平衡，可采用质量静代换法对机构进行平衡，使机构系统的质心落在机架上。
解：（1）把构件2的质量按照静力分配到B、C两点进行代换，有代换公式;

可得：，
（2）求加在构件2上的质量，应满足构件2的质心在B点，应满足关系式

得到：
（3）求加在构件1上的质量，应满足构件1的质心在A点，应满足关系式

得到：
5.4 自测试题
1．简答题
(1)静平衡的回转件是否一定是动平衡的?动平衡的回转件是否一定是静平衡的?为什么?
(2)刚性转子进行了动平衡以后，它是否还需要静平衡?为什么?
(3)什么是平面机构的完全平衡?介绍两种实现平面机构完全平衡的方法?
(4)阐明用动平衡机进行刚性转子动平衡的理论依据。
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(5)简述机械中不平衡惯性力的危害与利用。
(6)机械的平衡与调速都可以减轻机械中的动载荷，但两者有何本质区别?
(7)机械平衡的目的是什么？
2．填空题
(1) 质径积是指转子的_______与________的乘积。
(2) 刚性转子静平衡的力学条件是__________。动平衡的力学条件是___________。
(3) 长径比小于______的转子，在校核其平衡状态时只需要进行静平衡；长径比大于______的转子，在校核其平衡状态时要进行动平衡。
(4) 符合静平衡条件的回转构件，其质心位置在________，静不平衡的回转构件，由于重力矩的作用，必定在__________位置静止，由此可确定应加上或除去平衡质量的方向。
(5) 对工作转速远小于其一阶固有频率的转子，当其轴向尺寸较小时，应进行______平衡，当其轴向尺寸较大时，应进行_______平衡；对工作转速高于其—阶固有频率的偏心转子，应进行_______平衡。
3．选择题
(1) 达到静平衡的刚性回转件，其质心_____位于回转轴线上。
A．一定 B．不一定 C．一定不
(2) 作刚性转子动平衡实验时，平衡质量最少应选________。
A．4个 B．3个 C．2个 D、1个
(3) 平面机构的平衡问题应对机构中_________的平衡。
A．曲柄 B．连杆 C．机座
(4) 刚性转子动平衡的力学条件是________.
A惯性力系之矢量和为零 B．惯性力系的力矩之和为零 c．惯性力系的矢量和力矩均为零
(5) 对刚性转子进行动平衡至少应选择________个平衡基面来加(减)平衡质量，才能保证完全动平衡。
A．1 B．2 C．3
(6) 动平衡的转子_______是静平衡。
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A、一定 B、不一定
(7) 质量分布在同一个回转面内的静平衡的刚性转子_______是动平衡的。
A．一定 D．一定不 C．不一定
(8) 对于转子长径比小于0.2的不平衡刚性转子，只需_______。
A．动平衡 B．静平衡 c．不用进行平衡
4．判断题
(1) 动平衡的转子一定是静平衡的。 ( )
（2) 刚性转子动平衡的实质是空间力系的平衡。( )
(3) 经过动平衡的回转构件肯定不用做静平衡了。( )
(4) 绕过质心轴定轴等速转动的构件既无惯性力也无惯性力矩。( )
5. 计算题
(1) 图示为摆动活齿减速器偏心盘激波器，其直径为=100mm，偏心距为=8mm，轴孔直径为=20mm。要求在该偏心盘上开2～3个圆孔达到静平衡，试设计确定所开孔的大小和位置。

题1图
（2）如图所示的盘形转子，存在有4个不平衡质量。它们的大小及其向径分别为m1=10kg，r1=100mm；m2=8kg，r2=150mm；m3=7kg，r3＝200mm；m4=5kg，r4=100mm，各不平衡质量的方向如图。试对该转子进行平衡设计。
（mbrb=806kg.mm，）
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题2图
（3）图示凸轮轴系由三个相互错开120°的偏心轮组成，每个偏心轮的质量为5.0kg，其偏心距为30mm，若在平衡基面Ⅰ、Ⅱ内回转半径为=20mm处加一平衡质量和使之平衡。试求和的大小和方位。

题3图
（4）如图所示，一质量为400kg的转子逐渐安装在机床的顶尖上待加工，其重心为C。设用重块A和B使其静平衡。已知尺寸，，，；质量和；回转半径和，和相互垂直，求该转子偏距的大小和方向。又若该转子的转速为50r/min，求作用在机床两顶针上的动压力。（）
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题4图
(5) 如图所示的三根曲轴结构中，已知曲轴各部分的偏心质量、偏心半径和两偏心质量的间距都相等，即，，，且曲拐在同一平面内，试判断何者已达到静平衡，何者已达到动平衡。（a、b达到静平衡，C满足动平衡）

(6)图示为一行星轮系，各轮为标准齿轮，其齿数=58，=42，=44，=56，模数均为=5mm，行星轮2-轴系本身已平衡，质心位于轴线上，其总质量=2kg。问：
1) 行星轮2-轴系的平衡质径积为多少?（）
2) 采用什么措施加以平衡? （在系杆H的另一端加质径积为）
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题6图
（7）如图所示匀质转子因在A和B处存在不平衡质量块失去平衡。已知质量块和，位置如图所示。现在其左端面和中间端面的圆周表面上各增加一个平衡质量，使其达到完全动平衡，求该平衡质量和的大小和位置。（，，，）

题7图
（8）如图示机构中各杆长=50mm，=150mm，=130mm，=200mm；其质量=1kg，=2kg，=6kg，质心位于各自构件的中点。试在构件1、3上加平衡质量来实现机构惯性力的完全平衡。（，，都在构件的反向延长线上）
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题8图

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）

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