资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知，，，则下列判断正确是（）
A. B.
C. D.
2．已知a，b为实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．函数的零点位于区间（）
A. B.
C. D.
4．已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.1
C.2 D.4
5．已知角α的终边过点，则的值是（ ）
A. B.
C.0 D.或
6．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数且，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．若一束光线从点射入，经直线反射到直线上的点，再经直线反射后经过点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
9．已知向量，，若，则（）
A. B.
C.2 D.3
10．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是___________
12．下列说法正确的序号是__________________.（写出所有正确的序号）
①正切函数在定义域内是增函数；
②已知函数的最小正周期为,将的图象向右平移个单位长度,所得图象关于轴对称,则的一个值可以是；
③若,则三点共线；④函数的最小值为；
⑤函数在上是增函数,则的取值范围是.
13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.
15．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为1260m，从B处步行下山到C处，，经测量，，，求索道AB的长
17．已知.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若为第三象限角，且，求的值.
18．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求的取值范围；
(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.
19．已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，且，求的取值范围.
20．已知圆和定点,由圆外一动点向圆引切线,切点为,且满足.
(1)求证:动点在定直线上；
(2)求线段长的最小值并写出此时点的坐标.
21．已知，，，.当k为何值时：
（1）；
（2）.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
2、B
【解析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为，所以在上单调递减，
当时，和不一定有意义，
所以“”推不出“”；
反之，，则，即，
所以“”可推出“”.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3、C
【解析】先研究的单调性，利用零点存在定理即可得到答案.
【详解】定义域为.
因为和在上单增，所以在上单增.
当时，；；
而；，
由零点存在定理可得：函数的零点位于区间.
故选：C
4、C
【解析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，于得，
所以.
故选：C
5、B
【解析】根据三角函数的定义进行求解即可.
【详解】因为角α的终边过点，
所以，
，
，
故选：B
6、B
【解析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；
【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，
，，，
所以在上存在一个零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题
7、B
【解析】易知函数为奇函数，且在R上为增函数，则可化为，则即可解得a的范围.
【详解】函数，定义域为，
满足，
∴，令，∴，∴为奇函数，
，
∵函数，在均为增函数，
∴在为增函数，
∴在为增函数，
∵为奇函数，∴在为增函数，∴，解得.
故选：B.
8、C
【解析】由题可求A关于直线的对称点为及关于直线的对称点为，可得直线的方程，联立直线，即得.
【详解】设A关于直线的对称点为，
则，解得，即，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
∴直线的方程为：代入，
可得，故.
故选：C.
9、A
【解析】先计算的坐标，再利用可得，即可求解.
【详解】，
因为，所以，
解得：，
故选：A
10、C
【解析】由题意得，
∴
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，解得
故选：C
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、38##
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件概率计算公式即求.
【详解】∵甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，
∴甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是.
故答案为：0.38.
12、③⑤
【解析】对每一个命题逐一判断得解.
【详解】①正切函数在内是增函数,所以该命题是错误的；
②因为函数的最小正周期为,所以w=2,所以将的图象向右平移个单位长度得到
,所得图象关于轴对称,所以，所以的一个值不可以是，所以该命题是错误的；
③若,因为，所以三点共线，所以该命题是正确的；
④函数=，所以sinx=-1时，y最小为-1，所以该命题是错误的;
⑤函数在上是增函数,则,所以的取值范围是.所以该命题是正确的.
故答案为③⑤
【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，考查正弦型函数的图像和性质，考查含sinx的二次型函数的最值的计算，考查对数型函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
13、
【解析】设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为
考点：球的表面积，体积公式．
14、.
【解析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。
【详解】设圆锥底面半径为r，
则由题意得，解得.
∴底面圆的面积为.
又圆锥的高.
故圆锥的体积.
【点睛】此题考查圆锥体积计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。
15、.
【解析】根据题意，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，
因为，可得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、索道AB的长为1040m
【解析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB即可
【详解】解：在中，，，
，，
则，
由正弦定理得得，
则索道AB的长为1040m
【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由诱导公式化简得，代入即可得解；
（Ⅱ）由诱导公式可得，再由同角三角函数的平方关系可得，代入即可得解.
【详解】（Ⅰ）由于
，
又，所以.
（Ⅱ）因为，所以.
又因为第三象限角，所以，
所以.
18、（1）；（2）
【解析】（1）等价于在上恒成立.解得的取值范围是；（2）等价于在上恒成立，所以的取值范围是.
试题解析：
(1)函数的定义域为，即在上恒成立.
当时，恒成立，符合题意；
当时，必有.
综上，的取值范围是.
(2)∵，
∴.
对任意，总有，等价于
在上恒成立
在上恒成立.
设，则（当且仅当时取等号）.
，在上恒成立.
当时，显然成立
当时，在上恒成立.
令，.只需.
∵在区间上单调递增，
∴.
令 .只需.
而，且∴.故.
综上，的取值范围是.
19、（1）
（2）
【解析】（1）解出不等式，然后可得答案；
（2）由条件可得，，解出即可.
【小问1详解】
（1）由题意得：.
当时，，
所以，
.
【小问2详解】
因为，所以，即.
又，
所以，解得.
所以的取值范围.
20、 (1) 见解析;(2).
【解析】（1）由,所以，从而得解；
（2）由,所以的最小值即为的最小值,过点O作直线的垂线求垂足即可.
【详解】(1)证明:设点的坐标为则由,∴
即动点在定直线上
(2)由,所以即为所以最小值时, 取到最小值.
又点在直线上,所以
此时直线的方程为,联立直线
解得点.
21、（1）或2；（2）
【解析】（1）根据向量共线坐标公式列方程即可求解；
（2）根据向量垂直坐标公式列方程即可求解
【详解】
（1）若，有，整理为
解得或2；
（2）若，有，整理为
解得：
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