1、 圆锥曲线中的动点问题1、(安徽理21)设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足,求点的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养.解:由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设 再设解得 将式代入式,消去,得 又点B在抛物线上,所以,再将式代入,得故所求点P的轨迹方程为2、(全国新课标理20) 在平面直角坐标系xOy中, 已知点A(0,-1),B点在直线上,M点满足,M点的轨迹为曲线C(I)求C的方程;(II)P为C上动
2、点,为C在点P处的切线,求O点到距离的最小值解:()设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由题意可知(+)=0, 即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为,即则O点到的距离.又,所以当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.3、(陕西理17) 如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的摄影,M为PD上一点,且。()当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;()求过点(3,0)且斜率为的直线被
3、C所截线段的长度解:()设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp)由已知得P在圆上,即C的方程为()过点(3,0)且斜率为的直线方程为,设直线与C的交点为将直线方程代入C的方程,得 即 线段AB的长度注:求AB长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样得分。4、(天津理18)在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形()求椭圆的离心率;()设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
4、(I)解:设由题意,可得即整理得(舍),或所以(II)解:由(I)知可得椭圆方程为直线PF2方程为A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得解得得方程组的解不妨设设点M的坐标为,由于是由即,化简得将所以因此,点M的轨迹方程是5、(四川理21) 椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q(I)当|CD | = 时,求直线的方程;(II)当点P异于A、B两点时,求证:为定值。 解:()由已知可得椭圆方程为, 设的方程为为的斜率。(直线l垂直于x轴与题意不符)由已知得:,解得的方程为。()直线l与x轴垂直时与题意不符。设直线l的方程为,所以P点坐标为设,由()知,直线AC的方程为,直线BD的方程为,将两直线方程联立,消去y得因为,所以异号。又所以异号,同号,所以解得x=-k因此Q点的坐标为(-k,),故为定值。