圆锥曲线中的动点问题.doc

圆锥曲线中的动点问题
1、（安徽理21）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.
解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设
①
再设
解得 ②
将①式代入②式，消去，得 ③
又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得

故所求点P的轨迹方程为
2、（全国新课标理20） 在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C．
（I）求C的方程；
（II）P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值．
解：(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).
所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).
再由题意可知（+）• =0， 即（-x，-4-2y）• (x，-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x
因此直线的方程为，即．
则O点到的距离.又，所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
3、（陕西理17） 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且。
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度
解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）
由已知得∵P在圆上， ∴   ，即C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为
将直线方程代入C的方程，得 即
∴   
∴线段AB的长度
注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。
4、（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
（I）解：设由题意，可得
即整理得（舍），或所以
（II）解：由（I）知可得椭圆方程为
直线PF2方程为
A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
解得得方程组的解
不妨设
设点M的坐标为，
由
于是由
即，化简得
将所以
因此，点M的轨迹方程是
5、（四川理21） 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当|CD | = 时，求直线的方程；
（II）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。
解：（Ⅰ）由已知可得椭圆方程为，
设的方程为为的斜率。（直线l垂直于x轴与题意不符）

由已知得：，解得
的方程为。
（Ⅱ）直线l与x轴垂直时与题意不符。
设直线l的方程为，所以P点坐标为
设，由（Ⅰ）知，
直线AC的方程为，直线BD的方程为，
将两直线方程联立，消去y得
因为，所以异号。

又
所以异号，同号，所以解得x=-k
因此Q点的坐标为（-k，）
，故为定值。