圆锥曲线动点问题.doc

圆锥曲线动点题
1、（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围

2、（12分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

题（20）图
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

3.、（本小题满分12分）.如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

4．如图和两点分别在射线、上移动，且，
为坐标原点，动点满足．
（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程．

5．如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；
（2）若为动点，且，求△的重心的轨迹．

6．已知，记点P的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
（i） 无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值.
（ii）过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围.

答案

1、解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
2、（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而
因此焦点的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。

（Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
|FA|＝|AC|＝解得，
类似地有，解得。
记直线m与AB的交点为E，则
所以。
故。
解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。
将此式代入,得，故。
记直线m与AB的交点为，则
，
，
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。
3.【解】(1) 解方程组
y=x
得
X1=－4, x2=8
y=x2－4
y1=－2, y2=4
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).
令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).
∵点P到直线OQ的距离d==,
,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.
4、解：（1）由已知得，
∴ ．
（2）设P点坐标为（），由得
，
∴ 消去，可得，
又因，∴ P点的轨迹方程为．
它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．
（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得
即 ，
易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又，
设，则
∵ l与C的两个交点在轴的右侧

，
∴ ，即，又由同理可得 ，
由得 ， ∴
由得，
由得，
消去得 考虑几何求法！！
解之得： ，满足．
故所求直线l存在，其方程为：或．
5、思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）.
解：（1）法一：设，直线的斜率为（），
则直线的斜率为，方程为．
∴由，消得，
解得，∴ ，
∴(定值)．
所以直线的斜率为定值．
法二：设定点，、，
由 得 ，即；同理 ．
∵ ，∴ ，即，∴ ．
所以，（定值）．
（2）直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数得．
6、 解：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

解得k2 >3
（i）

，
故得对任意的
恒成立，

∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ.
（ii）是双曲线的右准线，
由双曲线定义得：，
方法一：
，
注意到直线的斜率不存在时，，
综上，
方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

由 故：