1、圆锥曲线动点题 1、（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围2、（12分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。题（20）图（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。3.、（本小题满分12分）.如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点.(1) 求点Q的坐标；(2
2、) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.4如图和两点分别在射线、上移动，且，为坐标原点，动点满足（1）求的值； （2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程5如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；（2）若为动点，且，求的重心的轨迹6已知，记点P的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.（i） 无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使MPMQ恒成立，求实数m的值. （ii）过P、Q作直线的垂
3、线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求的取值范围. 答案1、解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或2、（）解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。（）解法一：如图作ACl，BDl，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|AC|解得，类似地有，解得。记直线m与A
4、B的交点为E，则所以。故。解法二：设，直线AB的斜率为，则直线方程为。将此式代入,得，故。记直线m与AB的交点为，则，故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。3.【解】(1) 解方程组y=x得X1=4, x2=8y=x24y1=2, y2=4 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24). 点P到直线OQ的距离d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或443 （i） ， 故得对任意的 恒成立， 当m =1时，MPMQ. 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立， 综上，当m =1时，MPMQ. （ii）是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：， 方法一： ， 注意到直线的斜率不存在时， 综上， 方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点， ，过Q作QCPA，垂足为C，则 由 故：
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