全等三角形辅助线旋转与平移.doc

三角形全等辅助线 旋转与平移共同的特点：都有长度相等，且有一端点重合的线段中点旋转：等腰直角三角形,等边三角形旋转正方形旋转【精选例题】旋转中点类【例1】 以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，连接，、分别是、的中点探究：与的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ；（2）将图中的等腰绕点沿逆时针方向旋转 ()后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由【例2】 （顺义区2009一模第25题）已知：在中，在中，连结，取的中点，连结和 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图，探索、的关系并给予证明； 如果将图中的绕点逆时针旋转小于的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明【例3】 在四边形中，设,分别为,的中点，求证，当且仅当时等号成立【例4】 如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：对角互补类【例5】 如图，为的角平分线，将一三角板的直角顶点固定在点，另外两边分别交，于，两点，证明：【例6】 如图，为的角平分线，且角的两边分别交，于，两点，证明： 【例7】 如图，在四边形中，于，若四边形的面积为18，求的长【例8】 直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转到，求重叠部分的面积【例9】 已知，在四边形中，对角线平分，在的延长线上任取一点，连接，作，使与的延长线交于，连结，请画出完整图形，探究：线段、之间具有怎样的数量关系，并说明理由【例10】 （1）如图1，四边形中，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，四边形中，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论 平移【例11】 如图所示，在中，为上的一点，且；为上的一点，且连接、交于点，求证：【例12】 (07年北京中考)如图，已知请你在边上分别取两点、(的中点除外)，连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明 【例13】 如图14-1，的边在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图14-1图14-2图14-3EPC平移加旋转【例14】 如图，已知E是正方形ABCD的边AB的中点，B的外角CBG的平分线BF交DE的垂线EF于F。（1）DE与EF是什么关系？（不用证明）（2）若E为AB上的任意一点（点A、B除外），结论（1）还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由。【例15】 (年全国初中数学联赛)如图，梯形中，以两腰，为一边分别向两边作正方形和，连接的垂直平分线交线段于点求证：点为的中点旋转不变性08年北京中考真题1.中点倍长08年宣武二模25已知正方形ABCD和等腰，BE=EF，BEF=，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图1中BEF绕B点顺时针旋转，再联结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中BEF绕B点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论. 图1 图2 图32.旋转拼凑09崇文一模08朝阳一模探究操作题（江苏盐城）如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置第28题图图甲图乙图丙关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值08年门头沟二模ACBED图125. 如图，把一副三角板如图1放置，其中ACB=DEC=90，A=45，D=30，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转得到D/CE/如图2这时AB与CD/相交于点O，D/E/与AB相交于点F（1）求OFE/的度数； （2）求线段AD/的长 （3）若把三角形D/CE/绕着点C顺时针再旋转得D/CE/，这时点B在D/CE/的内部、外部、还是边上？证明你的判断08东城一模25已知ABC中，AB=AC=3,BAC=900,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）；（2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系式,并写出自变量的取值范围； （3）若,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系，并写出自变量的取值范围 08年石景山二模25我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板和叠放在一起，使三角形板的顶点与三角形板的AC边中点重合，把三角形板固定不动，让三角形板绕点旋转，设射线与射线相交于点M，射线与线段相交于点N（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证ADMCND此时，AMCN= （2）将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中，问AMCN的值是否改变？说明你的理由 （3）在（2）的条件下，设AM= x，两块三角形板重叠面积为，求与的函数关系式（图2，图3供解题用）线段和差问题08海淀一模25已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）；（2）当满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论；（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出解答过程等分面积题08石景山一模25阅读下面问题的解决过程：问题：已知ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分ABC的面积解决：情形1：如图，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可情形2：如图，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，联结AP，过点D作DEAP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线图 图图DE问题解决：如图，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明新定义型（07北京中考真题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形. （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在中，如果是不等于60的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.08年房山二模七、解答题（本题满分7分）23四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点 (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF求证：点P是四边形ABCD的准等距点延伸类题目25.如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，,MH与六边形外角的平分线BQ交于H点. （1）当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH;（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.