全等三角形辅助线总结3.doc

三角形全等辅助线探索
一、基础知识点：
1、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。
典型例题
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

2、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。

证明：由三角形内角和为180°可知：∠A=180°-∠ABC-∠ACB∠D=180°-∠DBC-∠DCB
又点D为三角形ABC内任意一点，可知：∠ABC＞∠DBC、∠ACB＞∠DCB
∴∠ABC+∠ACB＞∠DBC+∠DCB
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB＜∠D=180°-∠DBC-∠DCB，即∠BDC>∠BAC

3、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,
求证：BE＋CF＞EF。

过B点作BG平行AC交FD延长线于G,连接GF
因BG平行AC，则BD/CD=BG/CF=DG/DF
又因D是BC中点即BD=DC，则BG=CF,DG=DF
因DE、DF分别平分∠ADB，∠ADC,∠ADB+ADC=180度
则∠EDF=∠EDA+∠ADf=∠ADB/2+∠ADC/2=(∠ADB+∠ADC)/2=180/2=90度
则∠EDG=180-∠EDF=180-90=90度
又DE为共边，DG=DF
则三角形EDG与EDF全等
则EG=EF
因EG=EF,BG=CF，EG<BE+BG（三角形两边之和大于第三边)
所以EF<BE+CF
4、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：如图4-1：AD为△ABC的中线，且DE平分∠ADB,DF平分∠ADC，求证：BE＋CF＞EF

5、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

【练习】
练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图， 求证EF＝2AD。

.绕A点顺时针将ΔABD旋转90°，使BA和EA重合，D点旋转后落在点P，绕A点逆时针将ΔADC旋转90°，使CA和FA重合，C点旋转后落在点Q，延长DA交EF于O点。
∵ AP⊥OD,AQ⊥OD,所以PD共线，且PQ=2AD
∵ ∠APE=∠ADB,∠AQF=∠ADC
∴ ∠APE和∠AQF互补
∴ EP//EQ,又D是BC中点
∴ EP=BD=CD=EQ
∴ 四边形EPQF是平行四边形
即，EF=PQ=2AD

6、截长补短法作辅助线。
例1：已知如图：在△ABC中，AB＞AC，∠BAD＝∠DAC，P为AD上任一点。
求证：AB－AC＞PB－PC。

例2、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

例3、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

例4、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，
求证：

练习2、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

7、延长已知边构造三角形：
例：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC

8 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例：如图：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

9、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

10、连接已知点，构造全等三角形。
例：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

11、取线段中点构造全等三有形。
例：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

12、利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围
已知两边，求第三边上的中线取值范围
例1、 已知在三角形ABC中，AB=10，BC=8，求第三边AC边上的中线BD的取值范围。

一般地：三角形的两边分别为a、b（a>b），则第三边上的中线p的取值范围是：（a-b）< p < （a+b）。
已知一边和另一边上的中线，求第三边的取值范围
例2 、在三角形ABC中，点D是BC边上的中点，AD=6，AB=7，求AC的取值范围。

已知两边上的高线，求第三边上的高线取值范围
例3、 已知三角形的两边上的高分别为4和6，求第三边上的高线的取值范围。

二、课后练习
1 、如图，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围．　 　　

　2、 如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．　求证：DF=EF．

3、 如图，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
　　求证：BD=DE=CE．

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