几种证明全等三角形添加辅助线的方法.doc

(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形复习课
适用学科
数学
适用年级
初中二年级
适用区域
通用
课时时长（分钟)
120
知识点
全等三角形的性质和判定方法
教学目标
熟练掌握全等三角形的性质和判定方法,并学会用应用
教学重点
学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法
教学难点
通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力
教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形
例1。 如图1，AD是△ABC的中线，求证:AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS）.AB＝CE.
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，
∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2,∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。

证明:将△ABD沿AD翻折,点B落在AC上的E点处，即:在AC上截取AE＝AB,连接ED。如图4。
∵∠1＝∠2,AD＝AD，AB＝AE，
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC,∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3。 如图5，△ABC中,AB＝AC.E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE,连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M,如图6。
则∠EMB＝∠ACB,∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB.故EM＝BE。
∵BE＝CD,∴EM＝CD.
又∵∠EFM＝∠DFC,∠MEF＝∠CDF,
∴△EFM≌△DFC（AAS).EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形
例4。 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC.

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，
∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，
∴△ABM≌△CAF(ASA).
∴∠F＝∠AMB,AM＝CF。
∵AM＝CM,∴CF＝CM.
∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，
∴△MCD≌△FCD(SAS）。所以∠F＝∠DMC.
∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。

五、沿高线翻折构造全等三角形
例5。 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。

证明：把△ADC沿高AD翻折,点C落在线段DB上的E点处,即：在DB上截取DE＝DC，连接AE。如图10。
∴△ADC≌△ADE（SAS）。AC＝AE，∠C＝∠AED。
∵∠AED＞∠B,∴∠C＞∠B.从而AB＞AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6. 如图11,正方形ABCD中，∠1＝∠2,Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。

证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合,得到△ABM，即:延长CB到M，使BM＝DQ，连接AM.如图12。

∴△ABM≌△ADQ（SAS）。
∴∠4＝∠2＝∠1，∠M＝∠AQD。
∵AB∥CD,∴∠AQD＝∠BAQ＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠MAP。
∴∠M＝∠MAP。
∴PA＝PM＝PB＋BM＝PB＋DQ(因BM＝DQ）。
【课堂练习】
1、如图,已知AD=AE，AB=AC。求证：BF=FC

2、如图,在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.F为CD中点 求证:CD=2CE

3、如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证:AB＝AC＋CD．

4、 已知：AB=CD,∠A=∠D，求证：∠B=∠C
A
B
C
D

5、 已知：如图，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

6、如图,已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点.求证：DCEF是等边三角形。

A
E
B
M
C
F

7、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2)EC⊥BF

8、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N．
求证： ；

9、如图,在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．

10、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证：(1）△BFC≌△DFC；(2）AD=DE

11、 已知：BC=DE，∠B=∠E,∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A
B
C
D
E
F
2
1

12、 已知：AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

13、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

补充：
常见辅助线的作法有以下几种:
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答．
1、如图，AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
（1）说明BE=CF的理由；（2)如果AB=,AC=，求AE、BE的长。

3、