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2021中考数学热点题型专练 分式与分式方程

2021中考数学热点题型专练 分式与分式方程

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热点03 分式与分式方程
【命题趋势】
1．在中考中，分式的概念和运算常以选择题或填空题形式考查，考查分式的性质、分式有意义的条件、分式的加减、分式的乘除等．
2．分式的化简求值也是中考中的热点，常出现在解答题中，并与不等式（组）、一元二次方程、锐角三角函数等结合考查．
3．考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．
4．分式方程的应用的解题中，关键步骤是根据题意找出“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义，常常与一元一次不等式的应用结合考查．
【满分技巧】
1．分式的概念及性质
与分式有关的“五个条件”的字母表示：
（1）分式无意义时，B=0；
（2）分式有意义时，B≠0；
（3）分式的值为零时，A=0且B≠0；
（4）分式的值为正时，A，B同号，即或；
（5）分式的值为负时，A，B异号，即或．
2．分式的运算和化简
分式化简求值题的一般步骤：
（1）若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；
（2）若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“· ”，简称：除法变乘法；
（3）利用因式分解、约分进行分式乘法运算；
（4）最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；
（5）将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义（即使原分式分母不为0）．
3．分式方程的概念及解分式方程
找最简公分母的方法：
（1）取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
（3）利用字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）所得的系数的最小公倍数与各个字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母．
4．分式方程的应用
（1）常见关系：
分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．
如：工作时间=，时间=．
（2）列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．要使代数式有意义，则x的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵要使代数式有意义，
∴x–3≥0，≠0，
解得：x>3．
故选B．
2．目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米，居世界前列在5G时代赢得了一席地，已知1纳米=0.000000001米，用科学记数法将7纳米表示为
A．0.7×10﹣8米 B．7×10﹣9米
C．0.7×10﹣10米 D．7×10﹣10米
【答案】B
【解析】7纳米=0.000000007米=7×10﹣9米，
故选B．
3．计算的结果是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原式
=
=，
故选A．
4．解分式方程，去分母后得到的方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】去分母得：2x=（x–2）+1，
故选D．
5．化简的结果是，则a的值是
A．1 B．﹣1
C．2 D．﹣2
【答案】A
【解析】，∴a=1，故选A．
6．关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【解析】A、=，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；
D、﹣=1，故本选项正确，
故选D．
7．分式方程的解为
A．x=0 B．x=1
C．x=﹣1 D．x=2
【答案】B
【解析】去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选B．
8．已知：﹣M=，则M=
A．x2 B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
=
=
=
=，
则M=，
故选B．
9．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是
A．6 B．0
C．1 D．9
【答案】D
【解析】分式方程去分母得：ax﹣1﹣x=3，
解得：x=，
由分式方程的解为整数解，得到a﹣1=±1，a﹣1=±2，a﹣1=±4，
解得：a=2，0，3，﹣1，5，﹣3（舍去），
则满足条件的所有整数a的和是9，
故选D．
10．已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则m的取值范围是
A．m≤3 B．m<3
C．m>–3 D．m≥–3
【答案】A
【解析】=1，
方程两边同乘以x–3，得2x–m=x–3，
移项及合并同类项，得x=m–3，
∵分式方程=1的解是非正数，x–3≠0，∴，
解得m≤3，故选A．
11．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？我们设乙图书每本价格为x元，则可得方程
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：=24，
解得：x=20，
经检验得：x=20是原方程的根，
则2.5x=50．
答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元．
故选B．
12．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是
A．20元 B．18元
C．15元 D．10元
【答案】A
【解析】设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1．2x元/本，
依题意得：，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
故选A．
二、填空题
13．计算：·__________．
【答案】
【解析】·，故答案为：．
14．若分式的值为0，则的值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知：，
解得：x=，
故答案为：．
15．计算（1+）÷的结果为__________．
【答案】
【解析】原式=
=，
故答案为：．
16．已知x=3是方程=2的解，那么k的值为__________．
【答案】2
【解析】当x=3时，有，
去分母得：9k﹣4k+2=12，
5k=10，
解得：k=2，
故答案为：2．
17．若关于x的方程．无解，则m的值是__________．
【答案】1或
【解析】去分母得：3−2x+mx–2=3–x，
∴–x+mx=2，
∴（m–1）x=2，
当m–1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m–1≠0时，
由于方程无解，即x−3=0，x=3，
将x=3代入x=，
解得：m=，
故答案为：1或．
三、解答题
18．先化简：，再从﹣1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．
【解析】原式=
=，
根据分式有意义的条件可知：m=﹣1，
∴原式=．
19．先化简，再求值：，其中a是方程x2+x=1的解．
【解析】，
=
=
=，
∵a是方程x2+x=1的解，
∴a2+a=1，
∴a2=1﹣a，
∴原式==﹣1．
20．先化简，再求代数式﹣的值，其中x=2sin45°+tan45°．
【解析】原式=﹣×+
=﹣+
=
=，
当x=2sin45°+tan45°=2×+1=+1时，
原式==﹣．
21．解方程：．
【答案】x=2
【解析】方程两边都乘以（x+1）（x–1），
去分母得x（x+1）–（x2–1）=3，
即x2+x–x2+1=3，
解得x=2．
检验：当x=2时，（x+1）（x–1）=（2+1）（2–1）=3≠0，
∴x=2是原方程的解，
故原分式方程的解是x=2．
22．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x–2）米，
由题意，得2x+（x+x–2）=26，
解得x=7，
所以乙工程队每天掘进5米，=10（天）．
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
23．某公司在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，形成下列三种施工方案：
①甲队单独完成此项工程刚好如期完工；
②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；
③若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工；
如果工程不能按预定时间完工，公司每天将损失3000元，你觉得哪一种施工方案最节省工程款，并说明理由．
【解析】设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需（x+5）天．
依题意，得：，
解得：x=20．
经检验：x=20是原分式方程的解．
这三种施工方案需要的工程款为：
（1）1.5×20=30（万元）；
（2）1.1×（20+5）+5×0.3=29（万元）；
（3）1.5×4+1.1×20=28（万元）．
综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择第三种方案：即由甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做．此时所需要的工程款最少．
答：第三种方案：由甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做．最节省工程款．