全等三角形辅助线专题.doc

全等三角形辅助线专题
1、 如图,在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD,求证：∠B＝2∠C
证明：在AC上截取AE＝AB,连结DE
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ ∠BAD＝∠EAD
在△BAD与△EAD中，有：
AB＝AE (已知)
∠BAD＝∠EAD （已证）
AD＝AD （公共边)
∴ △BAD≌△EAD （SAS)
∴ ∠B＝∠AED （全等三角形对应角相等）
∵ ∠AED＝∠EDC＋∠C （三角形的外角等于不相邻的内角和）
∴ ∠B＝∠EDC＋∠C （等量代换）
∵ △BAD≌△EAD (已证）
∴ BD＝ED （全等三角形对应边相等）
∵ AC＝AB＋BD （已知）
AB＝AE (已知）
BD＝ED （已证）
∴ ED＝CE （等量代换）
∴ ∠C＝∠EDC （等边对等角)
∵ ∠B＝∠EDC＋∠C （已证）
∴ ∠B＝2∠C

2、 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线,AB＞AC，试判断AB－AC与BD－CD的大小并说明理由。
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE
∵ AD是∠CAB的角平分线
∴ ∠CAD＝∠EAD
在△CAD与△EAD中,有：
AC＝AE （已知）
∠CAD＝∠EAD （已证)
AD＝AD (公共边）
∴ △CAD≌△EAD （SAS)
∴ CD＝ED （全等三角形对应边相等)
∵ AC＝AE (已知）
∴ AB－AC＝AB－AE＝BE （等量代换)
∵ BD－CD＝BD－DE＜BE （三角形两边之差少于第三边）
∴ BD－CD＝AB－AC

3、 如图，O为∠BAC内一点,且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证:AD＝AE
证明方法一：连结BC
∵ AB＝AC,OB=OC
∴ ∠ABC＝∠ACB,∠OBC＝∠OCB （等边对等角）
∴ ∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC
∴ ∠ABD＝∠ACE
在△ABD与△ACE中，有：
∠ABD＝∠ACE （已证）
AB＝AC （已知）
∠A＝∠A （公共角）
∴ △ABD≌△ACE (ASA）
∴ AD＝AE （全等三角形对应边相等）

证明方法二:连结AO
在△AOB与△AOC中,有:
OB＝OC （已知）
AB＝AC （已知)
AO＝AO （公共边）
∴ △AOB≌△AOC (SSS）
∴ ∠ABD＝∠ACE (全等三角形对应角相等）
在△ABD与△ACE中,有：
∠ABD＝∠ACE （已证）
AB＝AC （已知）
∠BAC＝∠CAB （公共角)
∴ △ABD≌△ACE (ASA）
∴ AD＝AE (全等三角形对应边相等）

4、 在△ABC中，AB＝6，AC＝8,D是BC的中点.请判断中线AD的取值范围。
解:延长AD到E，使AD＝ED
在△ABD与△ECD中,有：
BD＝CD (D是BC的中点)
∠ADB＝∠EDC (对顶角相等）
AD＝ED (已知）
∴ △ABD≌△ECD （SAS）
∴ CE＝AB＝6 （全等三角形对应边相等）
在△AEC中,
∵ AD＝ED
∴ AE＝2AD
∵ AC＋CE＞AE＞AC－AE
∴ 8＋6＞2AD＞8－6
∴ 7＞AD＞1

5、 如图,△ABC中，AB＝2AC,AD是∠BAC的角平分线，且AD＝BD,求证:CD⊥AD
证明：在AB上截取AE＝AC
∵ AB＝2AC，∵ AE＝AC
∴ E为AB的中点
即DE是等腰△ADB底边上的中线
∴ DE⊥AB （等腰三角形三线合一）
∴ ∠AED=90o
在△AED与△ACD中，有：
AE＝AC (已知)
∠EAD＝∠CAD （AD是∠BAC角平分线）
AD＝AD （公共边）
∴ △AED≌△ACD （SAS)
∴ ∠AED＝∠ACD=90o （全等三角形对应边相等）
即 CD⊥AC

6、 如图,△ABC中,AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC
证明：在AB是截取AE＝AC
在△ACP与△AEP中,有：
AC＝AE （已知）
∠EAP＝∠CAP (已知AD是∠BAC角平分线）
AP＝AP （公共边）
∴ △ACP≌△AEP (SAS)
∴ PC＝PE （全等三角形对应边相等）
∵ BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边）
∴ BE＞PB－PC （等量代换）
∵ BE＝AB－AE
AC＝AE
BE＞PB－PC
∴ AB－AC＞PB－PC

7、 如图，四边形ABCD中，AD＝CD，BC＞AB，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180o
证明：在BC是截取BE＝BA
在△ABD与△EBD中，有：
AB＝BE (已知)
∠ABD＝∠EBD （已知BD平分∠ABC）
BD＝BD (公共边）
∴ △ABD≌△EBD (SAS）
∴ AD＝ED，∠A＝∠BED （全等三角形对应边相等、对应角相等)
∵ AD＝CD （已知）
∴ ED＝CD （等量代换)
∴ ∠DEC＝∠C （等边对等角)
∵ ∠BED＋∠DEC＝∠BEC＝180o言之（B、E、C三点共线）
∠C＝∠DEC （已证)
∠A＝∠BED (已证）
∴ ∠A＋∠C＝180o （等量代换）