证明三角形全等常用的辅助线作法.doc

证明三角形全等常作的辅助线在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果找到了一组对应边，再找第二组条件，若又找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述结论可归纳为：搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考ABCDFEG1截长补短法例1 如图，已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E.求证：AB+BE=AC解法1:（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知AEFAEC，F=ACE=45，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法2:（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE=ABE.ACE=45, CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC 2平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以过中点作平行线或中位线，对直角三角形,有时可作出斜边上的 中线 例2 在ABC中，BAC=60，C=40AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ证明：如图，过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80.AQO=C+QBC=80，ADO=AQO.DAO=QAO，OA=OA，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ.ODBP，PBO=DOB.PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD.BPO=PAC+PCA=30+40=70，BOP= BAO+ABO=30+40=70，BP=BO.AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3如图所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：.分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将绕点旋转90到，则，BG=，从而将转化为线段，再进一步证明即可.证明略. 4翻折法 若题设中含有垂线、角平分线等条件，可以试着用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形例4 如图,已知：在ABC中，BAC=45, ADBC，若BD=3，DC=2， 求ABC的面积解：以AB为轴将ABD翻转180，得到与它全等的 ABE，以AC为轴将ADC翻转180，得到与它全等的 AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x3，CG=x2，在RtBGC中，（x-3）+（x-2）=5 解得x=6，则AD=6，SABC=56=15