2017北京市东城区初三一模数学试卷含答案.doc

北京市东城区2017—2018学年第二学期初三综合练习（一）
1．与的和为的数是
A． B． C． D．
2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是
A． B．
C． D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D． 棱柱
4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的
中位数和众数分别是
分数
50
60
70
80
90
100
人数
1
2
8
13
14
4

A．

B．

C．

D．

5． 在六张卡片上分别写有六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是

A．

B．

C．

D．

6．正五边形的每个外角等于
A. B. C. D.
7．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的 延长线于点，连接，. 若，则的度数是
A. B． C． D．
8．小李驾驶汽车以千米/小时的速度匀速行驶小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为
A. B. C. D.

9. 如图，已知∠MON =60°，OP是∠MON的角平分线 ，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是
A. B. C. D.
10. 如图1， 和都是等腰直角三角形，其中，点与点重合，点在上，，.如图2，保持不动，沿着线段从点向点移动， 当点与点重合时停止移动.设，与重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是
图1 图2

A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式： ．
12．计算的结果为 ．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围
是 ．
14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表: 北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米
分档水量
户年用水量
（立方米）
水价
其中
自来水费
水资源费
污水
处理费
第一阶梯
0-180（含）
5.00
2.07
1.57
1.36
第二阶梯
181-260（含）
7.00
4.07
第三阶梯
260以上
9.00
6.07
某户居民从年月日至月日,累积用水立方米,则这户居民个月共需缴纳水费 元.
15．已知女排赛场球网的高度是米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网米的位置上，此时该运动员距离球网米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．

第15题图 第16题图

16．在平面直角坐标系中，记直线为.点是直线与轴的交点，以为
边做正方形,使点落在在轴正半轴上，作射线交直线于点，以
为边作正方形,使点落在在轴正半轴上，依次作下去，得到如图
所示的图形.则点的坐标是　 ，点的坐标是　 ．
17．如图，与交于点，，． 求证：．
18. 计算：.

19．解不等式组：

20．先化简，再求值：，其中．

21．列方程或方程组解应用题：
年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进棵柏树苗和棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的倍少元，每棵柏树苗的进价是多少元？

22．在平面直角坐标系中，过点向轴作垂线，垂足为，连接.双曲线 经过斜边的中点，与边交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△的面积．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23． 如图，中，,是边上的中线，分别过点，作，
的平行线交于点，且交于点，连接.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查 名学生；
（2）请把条形图（图1）补充完整；
（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．

F
25. 如图,在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．
（1）求证：;
（2）已知：，⊙的半径为，求的长．

26. 在四边形中，对角线与交于点，是上任意一点，于点，交于点．
(1)如图1,若四边形是正方形,判断与的数量关系;
明明发现，与分别在和中，可以通过证明和全等,得到与的数量关系;
请回答：与的数量关系是 .
(2) 如图2,若四边形是菱形, ,请参考明明思考问题的方法，求 的值.

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
27．在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标;
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.

28. 已知：Rt△A′BC′和 Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′ 绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．
（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；
（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；
（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

图1 图2 图3

29．定义符号的含义为：当时,
；当时, ．如：，．
(1)求;
(2)已知, 求实数的取值范围;
(3) 已知当时，.直接写出实数的取值范围.

东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）
数学试题参考答案及评分标准 2015.5
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
B
C
A
D
C
B

二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题号
11
12
13
14
15
16
答案

；

三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17． 证明：∵在和中，
∵
∴. …………3分
∴. …………4分
∴． …………5分

19．
…………2分
…………4分
所以，不等式组的解集为. …………5分

当 时，．…………5分
21．解：设每棵柏树苗的进价是元，则每棵枣树苗的进价是元. …………1分
根据题意，列方程得：， …………3分
解得： . …………5分
答：每棵柏树苗的进价是元.
22． 解：（1）过点向轴作垂线，垂足为.
∵轴，轴，，
∴，.
∴.
∵，，
∴，.
∴. …………2分
∵双曲线经过点，
∴.
∴反比例函数的解析式为. …………3分
（2）∵点在上，
∴点的横坐标为.
∵点在双曲线上，
∴点的纵坐标为. …………4分
∴.…………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.（1）证明：∵,，
∴四边形是平行四边形.
∴.
F
又∵是边上的中线，
∴.
∴.
又∵，
∴四边形是平行四边形.
∵，是斜边上的中线，
∴.
∴四边形是菱形. …………3分
（2）解：作于点.
由(1) 可知, 设,则.
在中,根据勾股定理可求得.
∵,
∴.
∵,
∴.…………5分
24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分
答：一共调查了200名学生；
（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），
最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；
补全条形图如图； …………3分
（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：
×360°=108°； …………4分
（4）1500×=225（名）． …………5分
答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．
25.（1）证明：连结，如图.
∵为⊙的切线，为半径，
∴.
∴，即.

∵，
∴.
∴.
而，

∴.
∴.
∵，
∴. …………2分

（2）解：∵，⊙的半径为，
∴.
∵，
∴.
在中，,设，则，.
∵，
∴，解得.
∴，.
∵为⊙的切线，为半径，为⊙的切线，
∴，.
∴.
在中,设，则.
∵.
∴，解得，.
∴. -------------------5分

26. 解：（1）=； …………1分
（2）． …………2分
理由如下：∵四边形是菱形，,
∴,.
∴.
∵，
∴．
∴.
又∵，
∴. …………3分
∴ .
∵，，
∴.
∴. …………5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．解：（1）∵抛物线过点，，
∴
∴
∴抛物线的函数关系式为. …………2分
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线.
设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为.
连接交直线于点，此时的周长最小.
设直线的函数表达式为，代入的坐标，
则
解得
所以，直线的函数表达式为.
当时，.
∴ 点的坐标为. …………4分
（3）存在.
①当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴点的坐标为.
设直线对应的一次函数的表达式为，代入的坐标，
则
解得
所以，直线的函数表达式为.
令，则.
∴点的坐标为. …………5分
②当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点.
与①同理可得是等腰直角三角形，
∴.
∴点的坐标为.
∵，，
∴.
∴直线的函数表达式为.
令，则.
∴点的坐标为. …………6分
综上，在对称轴上存在点，，使成为以为直角边的直角三角形．…………7分
28.解:(1) 当时, . ------------1分
（2）补全图形如图1，
仍然成立；------------3分
（3）猜想仍然成立.
图1
证明：作，，垂足分别为点，如图2，则.
∵，
∴.
∵，
∴，.
∴.
图2
在和中，

∴.
∴.
在和中，

∴.
∴.
∵，
∴为等腰三角形.
∴------------7分
29．解：（1）∵，
∴.
∴.
∴. ┉┉2分
(2) ∵,
∴.
∵，
∴.
∴. ┉┉5分
(3) . ┉┉8分