工学数学物理方程试题.doc

数学物理方程试题(杨春)
一、化方程为标准形(10分)

二、分离变量法求定解问题(10分)

三、一无限长导体圆柱壳，半径为a，把它充电到电势，求圆柱壳内电场中的电势分布(用分离变量法求解)(15分)

数学物理方程试题答案及评分标准
一、
解：，方程属于抛物型………1分
特征方程为：，得…..1分
令…….1分
………..1分
……….2分
……. 1分 ……. 1分
………1分
………1分
二、解：令…….1分
将其代入定解问题可以得到：
1分

1分
(2)的解为： 2分
对于(1)，由分离变量法可得一般解为
……………………….2分
由初始条件可求得：
2分
所以，原定解问题的解为：
1分。

三、解：由于圆柱壳无限长，所以可以作为二维问题处理。在柱内无自由电荷，所以柱内电势满足拉普拉斯方程。定解问题为：
3分
令得：
与…………………….1分
固有值问题为：

，求得固有值为：
固有函数为：
…………………………………2分
的解为：
，……………2分
于是定解问题的一般解为：
……1分
由有限性条件得：………………..1分
………………….1分

3分

所以定解问题的解为：
或
……………..1分