2018广州市海珠区高一上数学期末试题与答案.doc

广州市海珠区2018年高一第一学期期末数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，，且，则
A. B. C. D.
2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是
A. B.
C. D.
3．下列函数中，值域为的偶函数是
A. B. C. D.
4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是
A. B. C. D.
5．设 ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
6．函数的零点所在的一个区间是
A. B. C. D.
7．设函数
A. B. C. D.
8．函数的图象的大致形状是

A B C D
9．直线与圆交点的个数为
A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 不确定
10．圆与圆的位置关系是
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
11. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12．某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A. B. C. D.

第12题图

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算 .
14．经过，两点的直线的倾斜角是 .
15．若函数在区间上的最大值比最小值大,则 .
16． 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的三个顶点
（1）求边上高所在直线的方程；
（2）求的面积．

18.（本小题满分12分）
第18题图
如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，
.求证：
（1）；
（2）.

19. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）根据定义证明：函数在上是增函数；
（2）根据定义证明：函数是奇函数.

20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，.
第20题图
（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；
（2）求三棱锥的体积.

21. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，圆经过三点．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．

22. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，判断函数的零点个数；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；
（3）已知R且，，求证：方程
在区间上有实数根.

一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
Ｄ
B
Ａ
B
C
D
A
D
B
C
二、填空题
13. 1； 14. ； 15. ； 16. ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步聚或推理过程．）
17．（本小题满分10分）
已知的三个顶点
⑴求边上高所在直线的方程；⑵求的面积．
解　(1)设边上高所在直线为，
由于直线的斜率…………………….…2分
所以直线的斜率.…………………….…3分
又直线经过点，
所以直线的方程为，…………….…4分
即…………………………………………..…4分
⑵边所在直线方程为：
,即…………………….…5分
点到直线的距离
,…………………………………7分
又………………………9分
…………….…10分
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.
求证：⑴； ⑵.
证明：⑴在直三棱柱中，
平面，且
矩形是正方形，………....................……….….................…1分
为的中点，……………….….................................................…2分
又为的中点，，………………….………………3分
又平面，平面，……………..……4分
平面.……………………………………………….…5分
⑵在直三棱柱中，
平面,平面,.………………6分
又，平面，平面，，….....7分
平面，………………………………………....................................…8分
平面， .…………………....…..................................…9分
矩形是正方形，，……………………...............................…10分
平面，，平面.…….............…11分
又平面，.…………………….….................................…12分
19.（本小题满分12分）
已知函数.
⑴根据定义证明：函数在上是增函数；
⑵根据定义证明：函数是奇函数.
证明：⑴设任意的，且，…………1分
则…………………………2分
………………………3分
……………………………………………4分
，，即，……….…5分
又，………………………………….…6分
，即，………………7分
在上是增函数.……………………………8分
⑵，……………………9分
,……………………………………………10分
…………………………………………11分
，即
所以函数是奇函数. ……………………………………12分
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，.
⑴画出二面角的平面角，并求它的度数；
⑵求三棱锥的体积.
解：⑴取中点，连接、，……....................................……....1分
，， ，…...….........2分
且平面，平面，….............................................…...3分
是二面角的平面角. ….....................................……....4分
在直角三角形中，
…...5分
在直角三角形中，
…...6分

是等边三角形，………………….7分
…...………………………...8分
⑵解法1：
，......................9分
又平面，
平面平面，且平面平面.............10分
在平面内作于，则平面，..................11分
即是三棱锥的高.
在等边中，， 三棱锥的体积
.....................................12分
解法2：平面.........9分
在等边中，的面积，.......................10分
三棱锥的体积
...................12分

21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，圆经过三点．
⑴求圆的方程； ⑵若圆与直线交于两点，且求的值．
解：⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，
所以可设圆的圆心为，………………………….….……1分
则有解得 …………………2分
则圆C的半径为 ……………………………3分
所以圆C的方程为 ……………………4分
⑵设，其坐标满足方程组： ............5分
消去，得到方程….....................................…....6分
由根与系数的关系可得， …………......8分
由于可得,…………………….....................................….....10分
又所以………........11分
由①，②得，满足故……......................................……………12分
22. （本小题满分12分）
已知函数.
⑴若，判断函数零点个数；
⑵若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；
⑶已知且，，求证：方程
在区间上有实数根.
解:⑴
……………………………………………………1分
,………………………………………………2分
当时，，函数有一个零点；……………………………3分
当时， ，函数有两个零点.………………………….…4分
⑵已知，
则对于恒成立,…………………….…...…6分
即恒成立；…………………………………………...…6分
所以,……………………………………………………7分
从而解得.……………………………………………………...……8分
⑶设，
则……….…9分
……….…10分

,……………………………11分
在区间上有实数根，……………………………….…12分
即方程在区间上有实数根. ……..…12分