湖南省常德市高三模拟考试数学理试题.doc

2015年常德市高三年级模拟考试
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．若复数,则的虚部为
A． B． C． D．
2．已知全集,若集合，，则
A． B． C． D．
3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有件、件、 件、件．为了调查产品的情况，需从这件产品中抽取一个容量为的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为，设此次抽样中，某件产品被抽到的概率为，则，的值分别为
是
i= i +2

结束
否
S =S+2i
开始
i=1,S=0
输入k
S<k ?
输出S
图1
25， 20，
25， 25，
4．已知等差数列的公差，且，
则的值为
A． B． C． D．

5．执行如图1所示的程序框图，若，
则输出的结果为
A．170 B．126 C．62 D．42
6．钝角三角形的面积是1，，，则
A．2 B． C．10 D．
7．若某几何体的三视图(单位：)如图2所示，
正视图
4
3
侧视图
3
图2
俯视图
则该几何体的体积为
A．6 B．12 C． 18 D．36
8．设满足约束条件，若，
，且，则正实数的最小值为
A． B． C． D．
9．在中，点满足，点是线段上的一个动点，若，则的最小值是
A． B． C． D．
10．已知椭圆（）的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，点为坐标原点，线段的中垂线与椭圆在第一象限的交点为，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则
A． B． C． D．

二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
图3
11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，直线被圆与所截得的弦长为 ．
12．（几何证明选讲选做题）如图3，⊙是的
外接圆，，延长到点，连结
交⊙于点，连结，若,则
的大小为 ．
13．（不等式选讲选做题）若两个正实数满足，
且恒成立，则实数的取值范围是 ．

（二）必做题（14—16题）
14．设（其中为自然对数的底数），则的图
象与直线，所围成图形的面积为 ．
15．设集合，若的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为的“分离子集”，那么从集合中任取3个元素构成子集，则为“分离子集”的概率为 ______________．
16．若是在的一个零点，则下列结论中正确的有 ．
①； ②；
③； ④．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数的最小值为，且图像上相邻两个最高点的距离为．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）若，，求的值．

18．（本小题满分12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，，且两人租车的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．

19．（本小题满分12分）在如图4所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，∥，，，
．
（Ⅰ）求证：；

图4
（Ⅱ）当二面角的平面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分13分）已知的图像过点，且对任意，都有，数列满足，．
（Ⅰ）求关于的表达式和数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

21．（本小题满分13分）已知椭圆：（）的左右顶点是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．

22．（本小题满分13分）已知函数．（其中为自然对数的底数）
（Ⅰ）若方程在区间上有2个不同的实根，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，证明：；
（III）若，是函数的图象上不同的两点，且函数的图象在，处切线交点的横坐标为，直线在轴上的截距为，记，请探索的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

2015年常德市高三年级模拟考试
数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C

二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.
（一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。若3个都作答，则只给11、12题计分）
11．2 12． 13．
（二）必做题（14—16题）
14． 15． 16．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（Ⅰ）函数，
所以……………………………3分
又由已知函数的最小正周期为，所以， ………6分
（Ⅱ）有（Ⅰ）得，所以
，
………………………………………9分
，

……………………………………………………12分
18． （1）甲、乙所付费用可以为元、元、元
甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………1分
甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………2分
甲、乙两人所付费用都是元的概率为
………3分
故甲、乙两人所付费用相等的概率为………………5分
（2）随机变量的取值可以为……………………………6分

故的分布列为：

……………………………………………10分
的数学期望是
………………………………………………………12分
19．（Ⅰ）证明：因为，平面平面，所以平面,
又∥，所以平面，所以,又，所以≌,； ………………………………………………5分

（Ⅱ）取的中点，因为，所以,又平面平面，
所以平面, ……………………………………………………………6分

如图建立空间直角坐标系，则，，,设
，
设平面的法向量为，
则由,即，
得， …………9分
由（Ⅰ）知平面，所以平面的法向量为,
， ………10分
所以 …………………12分
20．（Ⅰ）由已知，
∴……2分
∴为正偶数时，，……………………………………………3分
为正奇数时，
且时，也适合上式………………………………5分
∴………………………………………………6分
（Ⅱ）………………………………………7分
① 当为正偶数时，

…………………………………………………8分
其中

两式相减得=
∴，
∴当为正偶数时，………………………10分
② 为正奇数时，
……………………12分
∴……………13分
21．解：（Ⅰ）由题意可知：， ……1分
又椭圆的上顶点为，
双曲线的渐近线为：，………………………2分
由点到直线的距离公式有： ……………………3分
所以点的轨迹的方程为：． …………………4分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

要与相交于两点，则应有：
……① ……5分
设、，则有： ，．
又
又：，所以有：
……② ………………7分
将，代入，消去并整理得：,
要有两交点，则……③
由①②③有： ． …………………………………9分
设、，则有： ，．
所以：

又，代入有：
．………………………………………………11分
，令，则，
令，又，
所以在内恒成立，故函数在内单调递增，
故． ……13分

22．解：（1）令，得，
令，得，
在上单调递减，在上单调递增，………………2分
又，，要方程在区间上有2个不同的实根，则，即………………4分
（2），令，即（*）
易知方程（*）的一根为，结合函数与图象，设另一根为，则，
当时，，，………………6分
且当时，，
当时，，当时，，

， ………………9分
（3）设直线，，
即，同理，………① ……10分
设两切线交于点，，
即，同理，
，………② ………………12分
由①②得，即 ，所以 ………………13分