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中考压轴题综合复习一

例1.如图1，在Rt△ABC中，，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE// BC，交AD于点E。（★★★★）
（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到，联结．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值。

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AC=4，BC=5，CD=3；PE// BC
2.角的关系？ 提示：
3.特殊图形？提示：PE// BC形成相似基本图形“A字型”
二． 求解函数关系式，用相似基本图形可直接求得。
三． 两圆外切时，根据条件得，再计算求解。注意连结后，。
四． 图形翻折后，会产生很多相等的量（边和角）：
1. 画出翻折后的图形，让学生画图看看；
2. 翻折后有哪些相等的边和相等的角？提示：引导学生寻找翻折前后的相等量，从边和角人手；
3. 添加辅助线，构造相似基本图形求解；延长延长AD交于F，则；
4. 再找找题目中的相似三角形？
提示：从翻折前后图形人手，～、～
5. 怎么计算？ 提示：用边之比计算求解，先求解= ，再求解，最后得。
6. 小题回顾总结。
【满分解答】
（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵PE// BC，∴,∴，∴,∴， 即，（）
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有
DE=PE+BD，即，解之得，∴，
∵PE// BC，∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中， tan=；∴tan=
(3) 延长AD交BB/于F，则AF⊥BB/，
∴，又，∴
∴～，∴BF=，所以BB/= ，
∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，∴～，∴,∴。

1.如图2，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG。（★★★★）
（1）求证：；（4分）
（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试证明⊙P与⊙G外切；（5分）
（3）当BP取何值时，PG // CF。（5分）

【解法点拨】可以参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1. 边：，；
2. 角：平分，；
3. 特殊图形：正方形。
二.证明，即证明：
方案一.在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH，证明△AHP≌△PCF即可；
方案二.过点作于点，则，设，用比例式可证明，则；
三． 证明量圆外切，即证明，证明线段和差关系，用“截长补短”证明；
四． 时，可得为等腰直角三角形，则，再结合
可求得长。
【满分解答】（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH．
由正方形ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD．……（1分）
∵∠APF = 90°，∴∠APF =∠B．
∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC，
∴∠PAH =∠FPC．………………………………………………………（1分）
又∵∠BCD =∠DCE = 90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE = 45°．
∴∠PCF = 135°．
又∵AB = BC，AH = PC，∴BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°．
∴∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF．………………………………（1分）
在△AHP和△PCF中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF，
∴△AHP≌△PCF．
∴AP = PF，即………………………………………（1分）
（2）解：延长CB至点M，使BM = DG，联结AM．
由AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG，
得△ADG≌△ABM，即得AG = AM，∠MAB =∠GAD．………………（1分）
∵AP = FP，∠APF = 90°，∴∠PAF = 45°．
∵∠BAD = 90°，∴∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°．（1分）
于是，由AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP，
得△APM≌△APG．∴PM = PG．
即得PB + DG = PG．∴⊙P与⊙G两圆外切．（1分）
（3）解：由PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°．…………………………………（1分）
于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°．
∴PC = GC．即得DG = BP．………………………………………………（1分）
设BP = x，则DG = x．由AB = 2，得PC = GC = 2 – x．
∵PB + DG = PG，∴PG = 2 x．在Rt△PGC中，∠PCG = 90°，得．即得．解得．（1分）
∴当时，PG // CF．………………………………………（1分）

中考压轴题综合复习二

1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。

例1.如图，已知在△中，=4，=2，以点为圆心，线段长为半径的弧交边于点，且∠=∠，是边延长线上一点，过点作⊥，交线段的延长线于点．设，。（★★★★）
（1）求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠=2∠时，求的值。
A
B
C
D

Q
P

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：=4，=2，⊥，；
2.哪些角存在特殊关系？ 提示：∠=∠，。
3.特殊图形：、均为等腰三角形，。
五． 用得到饿比例式可以直接求解的长度；
六． 求解函数关系式：
1.分析和分别代表的量？ 提示：，，都表示边的长度；
2.从图中观察，与是否有直接关系？ 提示：没有，因此需要添加辅助线，构造基本图形使得与有联系；
3.分别过点、作、，则由相似基本图形可以求解相关线段的长度，继而求解很熟关系式；
4.注意求解函数定义域。
七． 当∠=2∠时，为“当题目中的量满足一种特殊关系时，求解相关量”：
1.由∠=2∠可得到那些角度相等？ 提示：得到最为关键；
2.等腰三角形画底边上的高线，用勾股定理求解。
【满分解答】
（1） ∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．∴．
（2） ∵，，∴．
（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB=4．
作AH⊥BC，垂足为点H．∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．∴，即．
∴，．又∵DE∥PQ，∴，即．
整理，得．定义域为x>0．
（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．∴AQ=AB=4． 作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，．
∴．解得． ∴． 解得，即．

1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=AB，P是边AC上的一个点，AP=PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E。（★★★★）
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由。
A
B
C
E
D
P

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1. 边：AB=AC=4，BC=AB，AP=PD；
2. 角：∠APD=∠ABC；
3. 特殊图形：△APD∽△ABC
二.用相似三角形对应角相等即可证明AD∥BC。
三.求解函数关系式：
1.AP=x，BE=y，都表示边的长度；
2.用第一小问得到的平行线，产生了相似基本图形“A字型”，，可求得函数关系式；
3.注意求解定义域。
四． 当△CDP与△CBE相似时：
1.用角度关系，证明相似是唯一存在的；
2.用边之比，计算相关线段的长度，再由线段关系得到BP∥DE。
【满分解答】
（1）证明：∵，，∴．…………………………（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．………………………………（1分）
∴∠DAP=∠ACB．…………………………………………………………（1分）
∴AD∥BC．…………………………………………………………………（1分）
（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA．
∴AD=PD．…………………………………………………………………（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．…………………………………………………………（1分）
∵，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴，即．……………………………（1分）
整理，得y关于x的函数解析式为．……………………………（1分）
定义域为．…………………………………………………………（1分）
（3）解：平行．…………………………………………………………………………（1分）
证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD>∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE．…………………………（1分）
∴，即．………………………………………………（1分）
把代入，整理得．
∴x=2，x=-2（舍去）．………………………………………………………（1分）
∴y=4．
∴AP=CP，AB=BE．…………………………………………………………（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．

中考压轴题综合复习三

1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。

【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
一．中考压轴题命题方向：

二．动点产生的分类讨论类型：

例1.如图9，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数图像经过、和三点，顶点为。（★★★★）
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）联结、，求的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点,使得以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由。

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些点的坐标已知？ 提示： 、和三点；
2.二次函数解析式和顶点坐标可以求解。
二.求解函数解析式，用待定系数法即可求解。
三.求解三角比的值：
1.先让学生计算出的三边长度；
2.通过观察三边的关系，你能得到什么结论吗？ 提示：即为直角三角形；
3.计算的值。
四．当与相似时：
1.有什么特殊性质没有？ 提示：为直接三角形；
2.怎么分类讨论计算？ 提示：分以下三大类计算求解
①.若，过、两点作轴垂线，用相似可求得点坐标为；
②.若，则可直接的点坐标为；
③.若，过点作轴垂线，可求的点坐标为；
3.所求点坐标有4个，分别计算求解。
【满分解答】
（1）设所求二次函数解析式为
由题意，得： 解得：
因此，所求二次函数的解析式为，顶点坐标为．
（2）联结．∵
∴
∴ ∴ ∴
（3)能，条件的点符合共有4个，它们分别是。

1.如图，Rt△ABO在直角坐标系中，∠ABO=900，点A（-25，0），∠A的正切值为，直线AB与y轴交于点C。（★★★★）
（1）求点B的坐标；
（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上的处。试在直角坐标系中画出旋转后的，并写出点的坐标；
（3）在直线OA/上是否存在点D，使△COD与△AOB相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
A
O
B
x
yx
C

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A（-25，0）；
2.角：，。
7. 求解点的坐标，过点画轴垂线，用三角比即可求解。
8. 旋转后注意“点B落在x轴正半轴上的处”，又因为，则在的正上方，利用旋转前后对应边相等可直接写出的坐标；
9. 当△COD与△AOB相似时：
1.注意点在直线上；
2.可以得到为直角三角形；
3.分类讨论计算：
①当时：即，解得。
②当时：即，解得
【满分解答】
（1）过点B作BH⊥AO于H，由tanA=，设BH=4k，AH=3k，则AB=5k
在Rt△ABO中，∵tgA=，AO=25，∴AB=15
∴k=3，∴BH=12
AH=9，∴OH=16
∴B（-16，12）
（2）正确画图。 （20，15），
（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，∴OC=-
设OA/的解析式为y=kx，则15=20k，则k=，∴y=x
∵△ABO旋转至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/，
∵∠AOB+∠A=900，∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/
∴在直线OA/上存在点D符合条件，设点D的坐标为（x，x），则OD=
10当即，也即x=16时，△COD与△AOB相似，
此时D（16，12）
20当即，也即x=时△COD与△AOB相似，
此时D（）

中考压轴题综合复习四

1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。

【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
一．中考压轴题命题方向：

二．动点产生的分类讨论类型：

例1.已知△ABC中，AB=4，BC=6，AC＞AB，点D为AC边上一点，且DC=AB，E为BC边的中点，联结DE，设AD=x。（★★★★）
4. 当DE⊥BC时（如图1），求x的值；
5. 设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
6. 取AD的中点M，联结EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作⊙A，试问：当AD的长改变时，点P与⊙A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由。

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题

一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=4，BC=6，AC＞AB，DC=AB

二.当时，求解线段的长度：
1.得到了什么特殊条件？ 提示：结合“E为BC边的中点”得到“为边中垂线”；
2.计算求解，通过中垂线联想到连结，则得到；再联想到等腰三角形画底边上的高线，即“过点作垂线”，再用勾股定理求解。
二.求解面积比：
1.分别表示哪些图形的面积？ 提示：四边形和。
2.面积比怎么求解？ 提示：
方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值；
方案二.用面积转化求解比值。
本题，用“方案二”较简单，连结，则：，
所以，，所以。
五． 证明点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系有几种？ 提示：点在圆外、点在圆上、点在圆内；
2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么？ 提示：等价于比较线段的大小；
3.找找该题的圆心、半径、点到圆心的距离。 提示：、
4.该题转化为比较与的大小，怎么添加辅助线？
提示：作或，都可以证明=。

【满分解答】
解：（1）联结BD，过点B作BH⊥AC于H，
∵DE⊥BC，E为BC中点，∴BD=DC，∵AB=DC，∴AB=BD，
∴AH=BH=，∵AB2-AH2= BC2-CH2，∴，
∴x=1
（2）连BD，∵点E为BC中点，∴
∴
∵，∴，即
∴（0＜x＜6）
（3）点P在⊙A上。
证明：取AC中点N，则AN=，
∵M为AD中点，∴MN=
∵E为BC中点，∴NE//AB,且EN=2，
∴MN=EN，
∵NE//AB，∴，∴AP=AM
∴点P在⊙A上.

1.如图，已知梯形，∥，，．为射线上
一动点，过点作∥交射线于点．联结，设，。
（1）求的长；
（2）当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结，若△与△相似，试求的长。（★★★★）

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边：，∥，∥
2.角：；
3.特殊图形：为等腰三角形，∥形成相似基本图形“A字型”。
(4) 求解的长，画等腰底边上的高线，用三角比即可求解。
(5) 求解函数关系式，：
1.求解两个图形的面积比：用面积比转化，引入；
2.，，即可求解函数关系式；
3.注意求解定义域。
(6) 当△与△相似时：
1.找相等角：；
2.分类讨论，因为，则分以下两个情况讨论：
①当时：可证四边形是平行四边形；
②当时：可得；
3.计算求解。

【满分解答】
（1）过点作⊥于点，
∵∥，，
∴．
在中，∵，
∴∴． ∴．
（2）∵∥， ∴．
∵△与△同高，∴．
由∥可得：△∽△．∴．
∴，
（3）∵∥，∴．
∵△与△相似，
①，可证四边形是平行四边形． ∴．
②， ∴． 可求得：．
综上所述，当△与△相似时，的长为5或 ．

中考压轴题综合复习五

例1.已知，，（如图1）。是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点。（★★★★）
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长。
B
A
D
M
E
C
图1
B
A
D
C
备用图

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：，；
2.有没有动点和特殊点？ 提示：是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点。
3.是否有已知角和特殊角？ 提示：。
4. 求解函数关系式，的面积为，底边已知，边上的高也很容易求解，用直接法计算。
5. 两圆外切：
1.用含的代数式表示半径和圆心距，让学生计算；
2.用圆的外切关系列等式。
6. 当与相似时：
1.两个三角形中是否有恒相等的角？ 提示：
2.是否需要分类讨论？ 提示：需要，分两个情况讨论

①当时：可得；
②当时：可得，所以。
3.计算求解。
【参考教法】
（1）取中点，联结，
为的中点，，．
又，．
，得；
（2）由已知得．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即．
解得，即线段的长为；
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时：
，．．
，易得．得；
②当时：
，．
．又，．
，即，得．
解得，（舍去）．即线段的长为2．
综上所述，所求线段的长为8或2。

1.已知：中 ，,,,四边形的边在边上，，顶点、分别在边、上，于,，如图。设，四边形的面积记为。（★★★★）
（1）当时，求的长；
（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）能与相似吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由。
C
A M N B
Q
P

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.已知边和特殊边：，，，；
2.已知角和特殊角：，，；
二.求解边的长度，过点作垂线，构造相似基本图形。
三．用相似基本图形看直接计算求解。
四.当与相似时：
1.找两个三角形中的相等角，直角相等；
2.分类讨论计算：
①当时，有∽∽
②当时，有∽∽
【满分解答】
（1）∵，∴
又，∴,
∵，∴
∴
（2）由（1）知：，，
又，∴，
∵，，∴，∴，
又∵,∴
（3）能．
当时，有∽∽,
此时，可得：，∴
当时，有∽∽,
此时，可得：，∴所以，当或1时，能与相似。

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中考压轴题综合复习六

例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 2，AC = 4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD = ∠A。设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y。（★★★★）
（1）求证：AE = 2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积。

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：BC = 2，AC = 4，PD⊥AB；
2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：∠C = 90°，∠EPD = ∠A。
3.点的运动情况：P是斜边AB上的一个动点，E是射线DC上一点。
4.是否有相似三角形？ 提示：△EPD∽△EAP。
二.求解线段的关系，用相似三角形对应边之比可直接求得，让学生计算看看。

三.求解函数关系式：
1.寻找一下与分别代表的量。 提示：，△BEP的面积为y。
2.求解△BEP的的面积，有没有已知边？ 提示：
3.怎么计算求解？ 提示：因为，则求解边上的高；过点作的垂线，结合“相似”和“勾股定理”求解高线即可。

四.当△BEP与△ABC相似时：
1.两个三角形中有没有恒相等的角？ 提示：没有。
2.怎么讨论计算？ 提示：因为，则分两个情况讨论∠BEP=∠C=90°或
∠EBP=∠C=90°

（i）当∠BEP=90°时，；
（ii）当∠EBP=90°时，同理可得。
五． 总结回顾。
【满分教研】
（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC．∴．
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．
∴．∴AE=2PE．
（2）由△EPD∽△EAP，得，∴PE=2DE．
∴AE=2PE=4DE．
作EH⊥AB，垂足为点H．
∵AP=x，∴．∵PD∥HE，∴．∴．
又∵，∴，即．定义域是．
另解：由△EPD∽△EAP，得，∴PE=2DE．
∴AE=2PE=4DE．∴．∴S△ABE=．
∴，即．∴．定义域是．
（3）由△PEH∽△BAC，得，∴．
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或
∠EBP=∠C=90°．
（i）当∠BEP=90°时，，∴．
解得．∴．
（ii）当∠EBP=90°时，同理可得，则。

1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12。设E在AD上，AE=2，F为AB上一个动点（不与A、B重合），过F作FG∥EC，交BC于G。（★★★★）
（1）求梯形的面积；
（2）设BF=x，四边形的面积等于y，写出y与x之间的函数解析式，并求出这个函数的定义域.
（3）当与相似时，求四边形的面积。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.已知边和特殊边：AB=DC=5，AD=6，BC=12，AD∥BC，FG∥EC。
2.点的移动情况：点F为AB上一个动点（不与A、B重合），点在边上。
二.求梯形的面积，让学生独立计算。
三.求解函数关系式：
1.求解的面积，因为四边形为梯形，可以采用下列方案求解面积：
方案一.直接求解：，过点作垂线，可用三角比求解高线；
方案二.用面积和差关系求解，分别延长和，相交于点，则四边形为平行四边形，所以，再分别求解。
7. 计算求解，注意求解定义域。
六． 当与相似时：
1.找相等角：；
2.分类讨论计算：
①当△AEF∽△DEC时，则；
②当△AEF∽△DCE时，则；
3.计算求解。
【满分解答】
解：⑴ 作AM⊥BC，DN⊥BC，分别交BC于M、N
由题意知，BM=CN=3，再由勾股定理知AM=4
所以；
⑵ 延长GF、EA交于H，
由题意知，四边形EHGC是平行四边形，AF=5-x
∴HE=GC=12-BG，而AE=2，
∴HA=10-BG，由AD∥BC得，,即
∴BG=2x.
设△AFE边AE上的高为，△FBG边BG上的高为，又
则，得到 ，
∴（0＜x＜5）
10. ①当△AEF∽△DEC时，
则, 即 ， 解得 所以；
②当△AEF∽△DCE时，则, 即，解得
所以
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中考压轴题综合复习七

例1.如图，在中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点。（★★★★）
（1）求和的长；
（2）当∥时，求的长；
（3）联结，当和相似时，求的长。
A
C
F
E
D
B
A
C
B
（备用图）
A
C
B
（备用图）

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：，，；
2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：，；
3.点的移动情况。 提示：点是边上的动点。
七． 求解边的长度，等价于解直角三角形，让学生独立计算。
八． 当∥时，求解的长度：
1. 是否有特殊图形出现？ 提示：∥形成相似基本图形“A字型”。
2. 怎么求解？ 提示：由，联想到过点作，垂足为；通过∽得∽；所以，计算求解。
九． 当和相似时：
1.两个三角形中是否恒有相等的角？ 提示：
2.怎么分类讨论计算？ 提示：由前面一小问知，过点作，垂足为，
由∽得∽，所以。则分两种情况：
； 。
3.计算求解。
【满分解答】
（1）在中，
∵，∴设，
∴， ∴ ∴，
（2）过点作，垂足为。
易得∽
设，，
∵∥ ∴
∵∴∽∴ ∴即 化简，得解得 （负值舍去）∴
（3）过点作，垂足为．
易得∽
设，
∵
∴
∵∴∽∴
当和相似时，有两种情况：
∴ 即 解得
∴
∴即 解得∴
综合、，当和相似时，的长为或．

8. 如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动
点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F。（★★★★）
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长。
(备用图)

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.已知边和边的特殊关系：AB=AC=6，BC=5，BD=2；
2.角的关系：；
3.点的移动情况：点E是边BC 上一动点，点是边上一动点；
4.特殊图形：形成相似三角形基本图形“一线三角”。
二.证明相似三角形，角度直接证明即可。
三.当点F是线段AC中点时，可得，用相似三角形计算边长。
四.如果△DEF与△DBE相似时：
1.寻找两个三角形中恒相等的角：；
2.分类讨论计算：分两个情况讨论
①当时，DF∥BC，则
②当时：
方案一.作EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为O、P，Q，计算求解；
方案二.则，由△DBE∽△ECF，得，
所有，则，又由△DBE∽△ECF，得
3.计算求解。
【满分解答】
∵，，
又，∴，
∵AB=AC，∴∴△DBE∽△ECF．
（2）由△DBE∽△ECF，得．
设BE长为， 则， 解得，．∴BE的长为2或3．
（3）1º 当时，DF∥BC，∴，∴．
2º 解一：当时，
作EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为O、P，Q，
∵，∴EO=EP．
∵，∴EO=EQ．∴EP=EQ，∴AE是的平分线．
∵AB=AC，∴ 由△DBE∽△ECF，得，∴

综上所述，FC的长为或时，△DEF与△DBE相似
解二：当时，，
由△DBE∽△ECF，得，∴，∴
由△DBE∽△ECF，得，∴
综上所述，FC的长为或时，△DEF与△DBE相似。
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中考压轴题综合复习八

例1.已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°。P、Q分别为射
线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP。（★★★★）
（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x，△APQ的面积为y，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）以点A为圆心AQ为半径作⊙A，以点B为圆心BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相
切时，求BP的长。
P

C

D

Q

A

B

图1
P

C

D

Q

A

B

图2

C

D

A

B

备用图

【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=4，AD=BC=2，AB∥DC；
2.哪些角已知？哪些角存在特殊关系？ 提示：∠ABC=120°，；
3.点的运动情况？ 提示：P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点。
二． 当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ：
1.这时，线段、、、的长度是否能求解？ 提示：让学生计算看看。
2.根据目前已知的条件，怎么证明相似？ 提示：因为题中已知的都是边，则利用两边成
比例且夹角相等证明。
三． 求解函数关系式：
1.寻找一下与分别所表示的量？ 提示：BP=x，△APQ的面积为y
2.三角形面积怎么求解？ 提示：因为的每一边都在变化，并且每一条边的长度都
不好求解，则考虑将三角形分成两个三角形；设与的交点为点，则：
。
3.计算求解，注意求解函数定义域。（见后面满分解答部分）
四.两圆相切：
1.回顾两圆相切的三大解题步骤。 提示：求解三个量、分类讨论、计算求解。
2.你能分别求解出两元的半径和圆心距吗？ 提示：让学生计算看看。
3.分内切和外切讨论计算。
【满分解答】
（1）过点A作,M为垂足， 过点A作,N为垂足
根据题意得:AM=BN,AB=MN=4,DM=CN
在直角三角形△CBN中, ∴,BC=2
CN=1,BN= ∴ DM=1,AM=∴CD=6
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP ∴CP=1,CQ=2,DA=2,DQ=4
∴ 又∴△CPQ∽△DAQ
(2) ∵AB∥DC∴ ∴ ∴
∴
过点P作交DC的延长线于H
在直角三角形△CBN中, ∴,
∵
∴
∴
(3) ∵ ∴
在直角三角形△AQM中,
当⊙A与⊙B外切时，

当⊙A与⊙B内切时，
,(舍去)
∴当时, ⊙A与⊙B外切; 当时, ⊙A与⊙B内切时.

八． 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x, DF=y。
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当AD=11时，求AG的长；
（3）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切，求这两个圆的半径。（