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枣阳市2018年中考适应性考试数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，最小的数是( ) A.0 B.3 C.-3 D.-2 2．下列计算中正确的是( ) A. • B. C. D. • 3．实数 的值在( ) A.0与1之间 B.1与2之间 C.2与3之间 D.3与4之间 4．如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线 ， 上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 5．不等式组 的解集在数轴上表示为( ) 6．某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是( ) A.长方体 B.圆锥 C.圆柱 D.球 7.一组数据2， ，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是( ) A.3，3，0.4 B.2，3，2 C.3，2，0.4 D.3，3，2 8. 在下列事件中，必然事件是( ) A．在足球赛中，弱队战胜强队 B．任意画一个三角形，其内角和是360° C. 抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 9．某商品的售价为100元，连续两次降价 %后售价降低了36元，则 为( ) A.8 B.20 C.36 D.18 10．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿A→B-→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为 (cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积 (cm2)关于 (cm)的函数关系的图象是( ) 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.某市2018年初中毕业生人数约为43000人，数据43000用科学记数法表示为 . 12.分解因式 = . 13.互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为 元. 14.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高 米(结果保留根号)． 15．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是 步． 16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA= ，则BD的长为 . 三、解答题：（本大题共9个小题，共72分）. 17.（本题满分6分） 先化简，再求值： ，其中 ， .
18.（本题满分6分）为了提高科技创新意识，我市某中学在“2018年科技节”活动中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别(每个学生只能参加一个类别的比赛)，根据各类别参赛人数制成不完全的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上图品信息，解答下列问题： (1)全体参赛的学生共有 人，扇形统计图中“建模”所在扇形的圆心角是 °； (2)将条形统计图补充完整； (3)在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生．现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察活动．则选取的两人中恰为1名男生1名女生的概率是 . 19.（本题满分6分）证明命题“在角的内部角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， . 求证： . 请你补全已知和求证，并写出证明过程．
20.（本题满分6分）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的3倍．求小明步行的速度(单位：米/分钟)是多少.
21.（本题满分7分）如图，一次函数 的图象与反比例 的图象相交于A（-2，1），B（ ，-2）两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求△ABO的面积. 22.（本题满分8分）如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F. (1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若BD ，BF=2，求阴影部分的面积(结果保留 )．
23. （10分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过 10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元． (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元? (2)设商家一次购买这种产品 件，开发公司所获的利润为 元，求 (元)与 (件)之间的函数关系式，并写出白变量 的取值范围． (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买这种产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其他销售条件不变)
24.（本题满分10分）如图，四边形ABCD为正方形，点E在边 AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且EF= AB，DG= AE，连接DE、FG相交于点H. (1)若 ，如图(1)，求∠EHF的度数（提示：连接CG，CF）； (2)若 ，如图(2)，求tan∠EHF的值．
25．(本小题满分13分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）求点A的坐标及直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）； （2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设点P是抛物线对称轴上一点，点Q是坐标平面内一点，请问：是否存在以点A、D、P、Q为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年中考适应性考试数学参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B C A D B A 二.填空题 11.4.3×104 12. 13. 80 14. 15.6 16. 三.解答题 17.解： 原式 …………………3分 …………………………………………………………4分 当 ， 时，原式=9.……………………………6分 18.解：（1）60 72 ………………………………………………2分 144°………………………………………………………2分 （2）图略.（“环保”15人，“建模”12人）………………3分 （3） …………………………………………………………6分 19.PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E..…………………………………1分 PD=PE. …………………………………………………………………2分 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. …………………………………………………3分 在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO，……………………………………………………5分 ∴PD=PE.………………………………………………………………6分 20.解：设小明步行的速度为 米/分钟，根据题意得 ，……………………………………………3分 解得 . …………………………………………………5分 经检验： 是原方程的解. ∴小明步行的速度为60米/分钟. ……………………………6分 21.解：（1）∵反比例函数 的图象经过点A（-2，1），∴ ， ∴反比例函数的解析式为 .…………………1分 ∵点（ ，-2）在反比例函数上，∴ =1. ……………2分 ∵直线 经过点A（－２，１），B（1，-2）. ∴ ，解之，得 ，……………4分 ∴一次函数的解析式为 ．…………………5分 （２）在 中，当 时， ． 设直线 与 轴相交于点C，则OC＝１．…………………6分 ∴S△AOB= S△OAC +S△OBC= .……………………………7分 22.（1）直线BC与⊙O相切. …………………………………………1分 理由如下：连接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD. 又OA=OD，∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA. ∴OD∥AC，……………………………………………………………2分 ∴∠BDO=∠C=90°. ∴OD⊥BC． ∵D在⊙O上，∴直线BC与⊙O相切. ……………………………………………4分 （2）设⊙O的半径为 ，则OD= ，OB= +2. 由（1）知∠BDO=90°，∴ ，即 ， 解得 =2. …………………………………………………………………5分 ∵tan∠BOD ,∴∠BOD =60°. …………………7分 ∴ .…………………………………8分 23. (1)设商家一次购买这种产品 件时，销售单价恰好为2600元． 由题意可得3000-10( -10)=2 600，解得 =50． 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元．…………………2分 (2)由题意，得3000-10( -10)≥2 600，解得 ≤50，………………………………3分 当0≤ ≤10时， =(3000-2 400) =600 ；………………………………………4分 当10＜ ≤50时， =[3000-2400-10( -10)] = ；……………5分 当 ＞50时， =(2600-2400) =200 ． …………………6分 (3)由 可知抛物线开口向下， 当 时，利润 有最大值， 因此，为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，x值应不大于35． ……………………………………………………………………………………………8分 设销售单价为p元，则p=3000-10(x-10)=-10x+3100． ∵k=-10＜0，p随x的增大而减小． ∴当x=35时，p有最小值为-1035+3100=2750（元）． 答：公司应将最低销售单价调整为2750元． …………………10分 24. (1)如图 (1)所示，连接CG、CF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°. ……………1分 当 =1时，EF=AB，DG=AE, ∴BF=AE=DG，∴△CBF≌△CDG，……………………………2分 ∴CF=CG，∠FCB=∠GCD. …………………………………3分 ∵∠GCD+∠GCB=∠BCD=90°，∴∠FCG=∠FCB+∠GCB=90°， ∴∠CFG=45°. ………………………………………4分 ∵EF∥DC且EF=DC，∴四边形EFCD为平行四边形. ∴DE∥CF. ∴∠FHE=∠CFG=45°. …………………5分 (2)过点F作FM∥DE，交DC于点M，如图(2)所示，连接GM. ∵EF∥DM，∴四边形EFMD为平行四边形．……………6分 ∴ DM=EF，ED=FM． ∵EF= AB，DG= AE，∴DM= AB= AD. ……………7分 ∴DM�UAD=DG�UAE.∴△DGM∽△AED，∴∠ADE=∠DMG. …………8分 ∵∠ADE+∠EDM=90°，∴∠DMG+∠EDM=90°， ∴GM⊥DE，又∵DE∥FM，∴∠FMG=90°. ………………9分 ∴tan∠EHF=tan∠GFM= .……10分 25. 解：（1）在y＝ax2－2ax－3a中，令y＝0， 得ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3． ∵点A在点B的左侧， ∴A（－1，0）．……………………1分 如图1，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵∠AOC＝∠AFD＝90°， ∴DF∥OC．∴ ＝ ． ∵CD＝4AC，∴ ＝ ＝4．……………………3分 ∵OA＝1，∴OF＝4． ∴D点的横坐标为4，代入y＝ax2－2ax－3a，得y＝5a． ∴D（4，5a）． 把A，D的坐标代入y＝kx＋b，得 ，解得 ． ∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a．……………………5分 （2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H， 设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）． ∴HE＝(ax＋a)－(ax2－2ax－3a)＝－ax2＋3ax＋4a．……………………7分 ∴S△ADE＝S△AEH＋S△DEH＝ (－ax2＋3ax＋4a)＝－ a(x－ )2＋ a．……8分 ∴△ADE的面积的最大值为 a．………………9分 ∴ a＝ ，解得a＝ ．……………………10分 ∴抛物线的函数表达式为y＝ x2－ x－ ．……………………11分 （3）P1(1，9.5)，Q1(－4，7.5)；……………………12分 P2(1，－5)，Q2(6，－3)．……………………13分
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