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考点跟踪突破1 实数及其运算 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014•宁波)下列各数中，既不是正数也不是负数的是(A) A．0 B．－1 C.3 D．2 2．(2014•湘潭)下列各数中是无理数的是(A) A.2 B．－2 C．0 D.13 3．(2014•舟山)2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面．月球离地球平均距离是384 400 000米，数据384 400 000用科学记数法表示为(A) A．3.844×108 B．3.844×107 C．3.844×106 D．38.44×106 4．(2014•菏泽)下列数中比－1大的数是(C) A．－3 B．－109 C．0 D．－1 5．(2014•盐城)已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1＋1|，a3＝－|a2＋2|，a4＝－|a3＋3|，…，依次类推，则a2014的值为(B) A．－1006 B．－1007 C．－1008 D．－2014 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2013•杭州)32×3.14＋3×(－9.42)＝__0__. 7．(2014•河北)若实数m，n满足|m－2|＋(n－2014)2＝0，则m－1＋n0＝__32__. 8．(2012•德州)5－12__＞__12.(填“＞”“＜”或“＝”) 9．(2014•娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__. 10．(2014•白银)观察下列各式： 13＝12 13＋23＝32 13＋23＋33＝62 13＋23＋33＋43＝102 … 猜想13＋23＋33＋…＋103＝__552__. 三、解答题(共40分) 11．(6分)计算： (1)(2014•成都)9－4sin30°＋(2014－π)0－22； 解：原式＝－2
(2)(2014•梅州)(π－1)0＋|2－2|－(13)－1＋8. 解：原式＝1＋2－2－3＋22＝2
12．(8分)(2012•广东)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数． 可以这样证明：设2＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0. 则2＝a2b2，a2＝2b2.因为2b2是偶数，所以a2是偶数，则a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以2是无理数． 仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数． 证明：设5＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝a2b2，a2＝5b2.因为5b2是5的倍数，所以a2是5的倍数，所以，a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．所以5是无理数
13．(8分)在数1，2，3，…，2014前添符号“＋”和“－”，并依次运算，所得结果可能的最小非负数是多少？ 解：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，2014之前任意添加符号“＋”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，2014中有2014÷2个奇数，即有1007个奇数，所以任意添加符号“＋”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n，n＋1，n＋2，n＋3之间添加符号“＋”或“－”，显然n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0.这启发我们：将1，2，3，…，2014每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(2009－2010－2011＋2012)－2013＋2014＝1.所以，所求最小非负数是1 (8分)(2014•安徽)观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×(4)2＝(17)； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性． 解：第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立
15．(10分)已知数14的小数部分是b，求b4＋12b3＋37b2＋6b－20的值． 解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.则依题意得14＝3＋b，两边平方得14＝9＋6b＋b2，所以b2＋6b＝5.b4＋12b3＋37b2＋6b－20＝(b4＋2•6b3＋36b2)＋(b2＋6b)－20＝(b2＋6b)2＋(b2＋6b)－20＝52＋5－20＝10
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