2017年中考数学一模试卷(附答案和解释).docx

2017年云南省曲靖市中考数学一模试卷 　 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程有实数根的是（　　） A．x2�x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x�1）2+1=0 D．（x�1）（x+2）=0 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．100（1�x）2=81 B．81（1�x）2=100 C．100（1�2x）=81 D．81（1�2x）=100 4．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC=65°，则∠A等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．75° 5．已知二次函数y=ax2+bx�1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1�a�b的值为（　　） A．�1 B．2 C．�3 D．5 6．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=4，那么P，P′两点间的距离为（　　） A．4 B．4 C．4 D．8 7．若方程x2�4x�1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（　　） A．6 B．�6 C．18 D．�18 8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，点P（2，�1）关于原点的对称点在第　　象限． 10．若k为整数，且关于x的方程（x+1）2=1�k没有实根，则满足条件的k的值为　　（只需写一个） 11．若关于x的方程（a�1） =1是一元二次方程，则a的值是　　． 12．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　　． 13．等腰三角形的边长是方程x2�6x+8=0的解，则这个三角形的周长是　　． 14．如图，已知菱形OABC的两个顶点O（0，0），B（2，2），若将菱形绕点O以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D的坐标为　　． 　 三、解答题（本大题共9小题，满分70分） 15．计算：|�2|+（�1）2017×（π�3）0� +（ ）�2． 16．解下列方程： （1）2x2�5x+1=0 （2）（x+4）2=2（x+4） 17．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x= �1． 18．抛物线L：y=ax2+bx+c与已知抛物线y= x2的图象的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为（�2，�4） （1）求L的解析式； （2）若L与x轴的交点为A，B（A在B的左侧），与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上． （1）求n的值； （2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由． 20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 21．某校九年级（1）、（2）两个班分别有一男一女4名学生报名参加全市中学生运动会． （1）若从两班报名的学生中随机选1名，求所选的学生性别为男的概率； （2）若从报名的4名学生中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名学生来自不同班的概率． 22．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AD=5 ，∠CDF=30°，求⊙O的半径． 23．如图，直线y=�x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c过A（1，0），B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值． （3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 　
2017年云南省曲靖市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知： A：是轴对称图形，而不是中心对称图形； B、C：两者都不是； D：既是中心对称图形，又是轴对称图形． 故选D． 　 2．下列关于x的方程有实数根的是（　　） A．x2�x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x�1）2+1=0 D．（x�1）（x+2）=0 【考点】根的判别式． 【分析】计算判别式的值，可对A、B进行判断；根据非负数的性质可对C进行判断；利用因式分解法解方程可对D进行判断． 【解答】解：A、△=（�1）2�4×1×1=�3＜0，方程没有实数解，所以A选项错误； B、△=22�4×1×2=�4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误； C、（x�1）2≥0，则（x�1）2+1＞0，方程没有实数解，所以C选项错误； D、x�1=0或x+2=0，解得x1=1，x2=�2，所以D选项正确． 故选D． 　 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．100（1�x）2=81 B．81（1�x）2=100 C．100（1�2x）=81 D．81（1�2x）=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是100（1�x）2，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得方程100（1�x）2=81． 【解答】解：由题意得：100（1�x）2=81， 故选：A． 　 4．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC=65°，则∠A等于（　　） A．20° B．25° C．35° D．75° 【考点】切线的性质． 【分析】先根据切线的性质得∠OBC=90°，则利用互余得到∠OBA=25°，然后根据等腰三角形的性质求出∠A的度数． 【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC=90°， ∴∠OBA=90°�∠ABC=90°�65°=25°， 而OA=OB， ∴∠A=∠OBA=25°． 故选B． 　 5．已知二次函数y=ax2+bx�1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1�a�b的值为（　　） A．�1 B．2 C．�3 D．5 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】把点（1，1）代入函数解析式求出a+b�1，然后即可得解． 【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx�1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∴a+b�1=1， ∴1�a�b=�1． 故选A． 　 6．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=4，那么P，P′两点间的距离为（　　） A．4 B．4 C．4 D．8 【考点】旋转的性质；等腰直角三角形． 【分析】根据旋转的性质知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=4，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=4，则可用勾股定理求出斜边PP′的长． 【解答】解：连接PP′， ∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合， ∴△ABP≌△ACP′， 即线段AB旋转后到AC， ∴旋转了90°， ∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=4， ∴PP′= = =4 ， 故选B． 　 7．若方程x2�4x�1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（　　） A．6 B．�6 C．18 D．�18 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=4、x1•x2=�1，利用配方法将x12+x22变形为 �2x1•x2，代入数据即可得出结论． 【解答】解：∵方程x2�4x�1=0的两根分别是x1，x2， ∴x1+x2=4，x1•x2=�1， ∴x12+x22= �2x1•x2=42�2×（�1）=18． 故选C． 　 8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误； C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C正确； D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时抛物线y=ax2+b的顶点的纵坐标大于零，故D错误； 故选：C． 　 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，点P（2，�1）关于原点的对称点在第　二　象限． 【考点】关于原点对称的点的坐标． 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答，即可得出其所在象限． 【解答】解：点（2，�1）关于原点对称的点的坐标是（�2，1）， 故点P（2，�1）关于原点的对称点在第二象限． 故答案为：二． 　 10．若k为整数，且关于x的方程（x+1）2=1�k没有实根，则满足条件的k的值为　2　（只需写一个） 【考点】根的判别式． 【分析】由方程无实数根得出1�k＜0，即k＞1，结合k为整数可得答案． 【解答】解：∵关于x的方程（x+1）2=1�k没有实根， ∴1�k＜0，即k＞1， 又∵k为整数， ∴k可以取2， 故答案为：2（答案不唯一）． 　 11．若关于x的方程（a�1） =1是一元二次方程，则a的值是　�1　． 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 【解答】解：由关于x的方程（a�1） =1是一元二次方程，得 ，解得a=�1， 故答案为：�1． 　 12．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　4 　． 【考点】三角形的外接圆与外心；垂径定理． 【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【解答】解：过点O作OD⊥BC于D， 则BC=2BD， ∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB= =30°， ∵⊙O的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4× =2 ， ∴BC=4 ． 故答案为：4 ． 　 13．等腰三角形的边长是方程x2�6x+8=0的解，则这个三角形的周长是　10或6或12　． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质． 【分析】由等腰三角形的底和腰是方程x2�6x+8=0的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可． 【解答】解：∵x2�6x+8=0， ∴（x�2）（x�4）=0， 解得：x=2或x=4， ∵等腰三角形的底和腰是方程x2�6x+8=0的两根， ∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去； 当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10． 当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2=6． 当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4=12． ∴这个三角形的周长为10或6或12． 故答案为：10或6或12． 　 14．如图，已知菱形OABC的两个顶点O（0，0），B（2，2），若将菱形绕点O以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D的坐标为　（�1，�1）　． 【考点】坐标与图形变化-旋转；规律型：点的坐标；菱形的性质． 【分析】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标． 【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得 D点坐标为（ ， ），即（1，1）． 每秒旋转45°，则第2017秒时，得45°×2017， 45°×2017÷360=252.5周， OD旋转了252周半，菱形的对角线交点D的坐标为（�1，�1）， 故答案为：（�1，�1）． 　 三、解答题（本大题共9小题，满分70分） 15．计算：|�2|+（�1）2017×（π�3）0� +（ ）�2． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】先计算|�2|、（�1）2017、（π�3）0、（ ）�2的值，再计算最后的结果． 【解答】解：|�2|+（�1）2017×（π�3）0� +（ ）�2 =2+（�1）×1�2 +4 =2�1�2 +4 =5�2 ． 　 16．解下列方程： （1）2x2�5x+1=0 （2）（x+4）2=2（x+4） 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）公式法求解可得； （2）因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵a=2，b=�5，c=1， ∴△=25�4×2×1=17＞0， 则x= ；
（2）∵（x+4）2�2（x+4）=0， ∴（x+4）（x+2）=0， 则x+4=0或x+2=0， 解得：x=�4或x=�2． 　 17．先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x= �1． 【考点】分式的化简求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式= • = ， 当x= �1时，原式= ． 　 18．抛物线L：y=ax2+bx+c与已知抛物线y= x2的图象的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为（�2，�4） （1）求L的解析式； （2）若L与x轴的交点为A，B（A在B的左侧），与y轴的交点为C，求△ABC的面积． 【考点】抛物线与x轴的交点；相似三角形的性质． 【分析】（1）直接利用二次函数的性质得出a的值，进而利用顶点式求出答案； （2）首先求出二次函数与坐标轴的交点，进而得出AB，CO的长，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵y=ax2+bx+c与已知抛物线y= x2的图象的形状相同，开口方向也相同， ∴a= ， ∵抛物线的顶点坐标为（�2，�4）， ∴y= （x+2）2�4；
（2）∵L与x轴的交点为A，B（A在B的左侧），与y轴的交点为C， ∴y=0，则0= （x+2）2�4， 解得：x1=�6，x2=2， 当x=0时，y=�3， 故A（�6，0），B（2，0），C（0，�3）， 则△ABC的面积为： ×AB×CO= ×8×3=12． 　 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上． （1）求n的值； （2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由． 【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定． 【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数； （2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC， ∴AC=DC，∠A=60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴n的值是60；
（2）四边形ACFD是菱形； 理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点， ∴FC=DF=FE， ∵∠CDF=∠A=60°， ∴△DFC是等边三角形， ∴DF=DC=FC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD=AC=DC， ∴AD=AC=FC=DF， ∴四边形ACFD是菱形． 　 20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）若鸡场面积150平方米，求鸡场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长或宽，并注意去掉门的宽度； （2）求二次函数的最值问题，因为a＜0，所以当（x� ）2=0时函数式有最大值． 【解答】解：（1）设宽为x米，则：x（33�2x+2）=150， 解得：x1=10，x2= （不合题意舍去）， ∴长为15米，宽为10米；
（2）设面积为w平方米，则：W=x（33�2x+2）， 变形为：W=�2（x� ）2+153 ， 故鸡场面积最大值为153 ＜200，即不可能达到200平方米． 　 21．某校九年级（1）、（2）两个班分别有一男一女4名学生报名参加全市中学生运动会． （1）若从两班报名的学生中随机选1名，求所选的学生性别为男的概率； （2）若从报名的4名学生中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名学生来自不同班的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）所选的学生性别为男的概率为 = ；
（2）将（1）、（2）两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男生，2表示女生），树状图如图所示： 所以P（2名学生来自不同班）= = ． 　 22．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AD=5 ，∠CDF=30°，求⊙O的半径． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接OD，由BD=CD，OB=OA，得到OD为三角形ABC的中位线，得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可得证； （2）由直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，利用两直线平行同位角相等求出∠ODB的度数，再由OB=OD，利用等边对等角求出∠B的度数，设BD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆的半径． 【解答】解：（1）连接OD， ∵BD=CD，OB=OA， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， 则DF为圆O的切线； （2）∵DF⊥AC，∠CDF=30°， ∴∠C=60°， ∵OD∥AC， ∴∠ODB=∠C=60°， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB=60°， ∵AB为圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=30°， 设BD=x，则有AB=2x， 根据勾股定理得：x2+75=4x2， 解得：x=5， ∴AB=2x=10， 则圆的半径为5． 　 23．如图，直线y=�x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c过A（1，0），B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值． （3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标． 【解答】解：（1）由题意点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中， 得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为y=x2�4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m2�4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3， 把点点B（3，0）代入y=kx+3中， 得：0=3k+3，解得：k=�1， ∴直线BC的解析式为y=�x+3． ∵MN∥y轴， ∴点N的坐标为（m，�m+3）． ∵抛物线的解析式为y=x2�4x+3=（x�2）2�1， ∴抛物线的对称轴为x=2， ∴点（1，0）在抛物线的图象上， ∴1＜m＜3． ∵线段MN=�m+3�（m2�4m+3）=�m2+3m=�（m� ）2+ ， ∴当m= 时，线段MN取最大值，最大值为 ．
（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）． 当m= 时，点N的坐标为（ ， ）， ∴PB= = ，PN= ，BN= = ． △PBN为等腰三角形分三种情况： ①当PB=BN时，即 = ， 解得：n=± ， 此时点P的坐标为（2，� ）或（2， ）； ②当PN=BN时，即 = ， 解得：n= ， 此时点P的坐标为（2， ）或（2， ）． 综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2，� ）或（2， ）或（2， ）或（2， ）． 　 2017年2月18日

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