一第一类换元积分法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一、第一类换元积分法 定理定理1（第一类换元积分法）设 含有原函数，可导，则有换元积分公式 例1、求解：利用基本积分公式，即得 第二节第二节 换元积分法换元积分法第1页例2、求解：于是令 ，便有 第2页例3、求解：例4、求解：例5：求解：第3页 例6 求解 因为所以第4页例7 求解 对于不能直接进行微分被积函数能够先做分解再积分，因为 ，所以第5页例8、求解：例9、求解：两次凑微分，并由基本积分，有 第6页例10、求解：例11、求解：第7页例12 求解 被积函数不能直接求解，依据三角函数公式有 故原式积分为第8页例13 求解 因为所以第9页例14、求解：第10页例15、求解：第11页例16、求解：第12页第13页二 第二类换元积分法定理定理2 设 是单调可导函数，且 ，原函数存在，则有换元积分公式 其中 为 反函数。第14页例17 求解：基本积分公式表中没有公式可提供本题直接套用，凑微分也不轻易，本题困难在于被积函数中含有根式，假如能消去根式，就可能得以处理。为此，作变换以下：设 ，则 ，于是 第15页例18 求解：设 ，则代入被积表示式，得由 得 ，与 一起代入，得 第16页例19 求解：设 ，则 所以有其中第17页例20 求解：利用三角恒等式 可消除根号。这里被积函数定义域是 和 两个区间，下面仅在 内求解。设 ，于是，第18页代入被积表示式，得依据 ，于是 第19页例21 求解：设 ，则原积分转化为第20页例22 求解：设 ，则 于是第21页