换元积分法二常用定积分公式及应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一、换元积分法一、换元积分法二、惯用定积分公式及应用二、惯用定积分公式及应用第三节第三节 定积分换元积分定积分换元积分第1页1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数；当 在 在 （或 ）上改变时，在 上改变，且 ，则有上式叫做定积分换元公式.一、换元积分法第2页证证 设 ，第3页则则 2.2.说明说明(1)(1)定积分换元公式中，用定积分换元公式中，用 把原变把原变量量 换成新变量换成新变量 时（这如同不定积分第二类时（这如同不定积分第二类换元），积分限也要换成对应于新变量换元），积分限也要换成对应于新变量 积积分限，但分限，但 对应值可能不唯一，只要任取一对应值可能不唯一，只要任取一第4页值即可值即可.(3)(3)换元公式也可反过来使用，即换元公式也可反过来使用，即(2)(2)求出换元后求出换元后 一个原函数一个原函数 时，只要将新变量时，只要将新变量 积分上下限分积分上下限分别代入别代入 中相减即可，无须象不定积分中相减即可，无须象不定积分那样再把那样再把 变成原变量变成原变量 函数函数 .第5页换元过程为换元过程为 （这如同不定积分第一类（这如同不定积分第一类换元），且换元），且 ,;,;若此换元若此换元过过程是采取凑微分法，没有写出新程是采取凑微分法，没有写出新变变量量 ，则则无无须换须换元，即元，即 第6页.解解 换元：换元：，；换限：换限：，3.3.例题例题 例例1 1 计算计算第7页注注 第一步是采取换元（不定积分第二类换第一步是采取换元（不定积分第二类换元法），换元同时必须换限。在计算元法），换元同时必须换限。在计算时，我们采取了凑微分法，没有写出新变量，时，我们采取了凑微分法，没有写出新变量，第8页补充补充：由定积分几何意义知，该积分值等由定积分几何意义知，该积分值等于由于由 ，直线，直线 所所围图形面积（见右图）围图形面积（见右图）.面积值为圆面积面积值为圆面积 .所以没有换限所以没有换限.第9页例例2 2 计算计算 .解法解法1.1.换限：换限：，换元换元：，原式原式 .第10页解法解法2.2.例例3 3 计算计算 .解解 第11页第12页例例4 4 设设 求求 解解 第13页2 2解解 第14页第15页1.1.设设 在在 上连续，则上连续，则 （1 1）若若 为偶函数，为偶函数，（2 2）若若 为奇函数，为奇函数，二、惯用定积分公式及应用第16页 证证 第17页2.2.设设 是以是以 为周期连续函数，则为周期连续函数，则 证证 第18页第19页3.3.若若 在在 上连续，则上连续，则 证证 第20页4.4.若若 在在 上连续，则上连续，则 证证 第21页所以所以 第22页解解 例例5 5 计算计算 .5.5.例题例题 第23页例例6 6 计算计算 .解解 设设 ,则则 利用定积分公式利用定积分公式得得 第24页例例7 7 计算计算 .解解 被积函数被积函数 是以是以 为周期连为周期连 续函数，利用定积分公式续函数，利用定积分公式得得 第25页例例8 8 计算计算 .解解 积分区间为积分区间为 ，被积函数为，被积函数为 型，利用定积分公式型，利用定积分公式得得第26页