1、高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第四十九讲第四十九讲第四十九讲第四十九讲常数项级数概念脚本编写：教案制作：第1页n个0n个9通俗地说：无限多个数和能够是一个有限数.引例1:第2页庄子庄子天下篇：天下篇：“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长棍子一尺长棍子,第一天取其二分之第一天取其二分之一一,第二第二天取其剩下二分之天取其剩下二分之一一,以后天天都取其剩下一以后天天都取其剩下一半半,这么永远也取不完这么永远也取不完.引例引例2把每日所取排列起来：棰取走部分总共长：此是公比为等比数列，第3页(常数项常数项)无穷级无穷级数数普通项
2、普通项部分和数列部分和数列级数部分和级数部分和v常数项级数定义 u1 u2 u3 un 第4页上页下页铃结束返回首页以下各式均为常数项级数例1第5页上页下页铃结束返回首页v级数举例 调和级数 几何级数级数展开形式备注普通项简写形式等比级数aqn1p级数 下页第6页v级数敛散性定义 (包含极限为),第7页上页下页铃结束返回首页v余项 rnssnun1un2 下页第8页上页下页铃结束返回首页 例例2.证实级数 123 n 是发散 此级数部分和为 证证:下页第9页上页下页铃结束返回首页故级数发散.例例1 1 讨论级数敛散性.解:因则第10页解解收敛收敛发散发散例例1 1 讨论讨论等比等比级级数数(几
3、何几何级级数数)收收敛敛性性.当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.第11页 发散发散发散发散 总而言之总而言之,例例1 1讨论讨论等比等比级级数数(几何几何级级数数)收收敛敛性性.当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.第12页上页下页铃结束返回首页例7收敛吗?解:因为收敛.第13页上页下页铃结束返回首页例8讨论收敛性.解:因收敛,即是一个有限数,而从1加到也是个有限数,所以级数收敛.第14页例例2.判别级数 敛散性:解解:利用“拆项拆项”求和所以所以级级数数发发散散.第15页解解:例例2 2讨论讨论无无穷
4、级穷级数数 收收敛敛性性.第16页二、收敛级数基本性质第17页sn、sn、tn 则 结论结论:两个收敛级数能够逐项相加与逐项相减两个收敛级数能够逐项相加与逐项相减.性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,且有且有第18页注注:证证(2):(2):矛盾矛盾.假设假设收敛收敛,第19页上页下页铃结束返回首页二、收敛级数基本性质 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数收敛性 性质1 性质2下页第20页上页下页铃结束返回首页二、收敛级数基本性质 推论 假如加括号后所成级数发散 则原来级数也发散 性质1 性质2 性质4 假如级数收敛 则对这级数项任意加括号后所
5、成级数仍收敛 且其和不变 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数收敛性 下页收敛,则也收敛.第21页上页下页铃结束返回首页加加括号仍为收敛级数括号仍为收敛级数.注注 收敛级数收敛级数是收敛.注注“加括号后所成级数收敛加括号后所成级数收敛,原级数不一定收敛原级数不一定收敛.”.”比如级数是发散级数.但将相邻两项加括号后所得级数收敛,则也收敛.第22页上页下页铃结束返回首页例7 性质2收敛吗?解:因为和均收敛,依据性质2,级数收敛.第23页上页下页铃结束返回首页v级数收敛必要条件 下页若级数收敛,则必有定理n个0第24页上页下页铃结束返回首页v级数收敛必要条件 证:注意:(1)级数普
6、通项趋于零并不是级数收敛充分条件 不能因为普通项趋于零就断定级数收敛 (2)假如普通项不趋于零 则级数必发散 所以此性质惯用于判断级数发散下页若级数收敛,则必有定理定理第25页上页下页铃结束返回首页因为故该级数发散.解解:例5级数收敛必要条件级数收敛必要条件:若级数收敛,则必有第26页上页下页铃结束返回首页是必要不充分条件是必要不充分条件:再举一例：再举一例：v级数收敛必要条件 若级数收敛,则必有定理但级数是否收敛但级数是否收敛?第27页 例例4.4.这是因为这是因为 y=1/x第28页上页下页铃结束返回首页结束v级数收敛必要条件 若级数收敛,则必有定理第29页上页下页铃结束返回首页第30页上
7、页下页铃结束返回首页作业P1261.2.3.4.(1)(3)(5)(7)(8)5.(1)第31页高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第五十讲第五十讲第五十讲第五十讲正项级数脚本编写：教案制作：第32页上页下页结束返回首页铃8.2 正项级数及其审敛法上页下页铃结束返回首页第33页第二节第二节 常数项级数审敛法常数项级数审敛法 1.1.定义定义:这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.2.2.正项级数收敛充要条件正项级数收敛充要条件:定理定理一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 极限不存在第34页证实证实第一比较判别法第一比较判别法(2)(2)是是(1)(1)等价
8、命题等价命题.则则大收小收,小发大发.第35页上页下页铃结束返回首页第一比较判别法第一比较判别法第36页解解例例2 2第37页主要参考级数主要参考级数:p-级数级数,调和级数，几何级数调和级数，几何级数例例2 2提醒:第38页解解:例例3 3第39页例例4 4解解:要应用比较判别法来判别给定级数收敛性,就必须给定级数普通项与某一已知级数普通项之间不等式,但有时直接建立这么不等式相当困难,为应用方便,我们给出比较判别法极限形式.第40页定理定理8 8(第一比较判别法极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;v第二比较判别法 简明说明：简明说明：这么两级数有相同敛散性.第41页
9、定理定理8 8(第一比较判别法极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数且级数也收敛;收敛时,级数v第二比较判别法 简明说明简明说明(2)：得证.第42页定理定理8 8(第一比较判别法极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数且级数也收敛;收敛时,级数(3)当l=+且且级数也发散.发散时,级数v第二比较判别法 简明说明简明说明(3)：得证.第43页,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 假如假如,当当时时;则则(1)(1)两级数有相同敛散性两级数有相同敛散性 (3)(3)当当时时,若若 =1nn
10、v发散发散,则则 =1nnu发散发散;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;第一比较判别法极限形式第一比较判别法极限形式:v第二比较判别法 第44页上页下页铃结束返回首页例例5 5v第二比较判别法 解解:第45页上页下页铃结束返回首页例例6 6v第二比较判别法 解解:第46页上页下页铃结束返回首页v第二比较判别法 例例3.解解:依据第二比较判别法知第47页上页下页铃结束返回首页 例例3.解解:下页依据第二比较判别法知实际是实际是 与与 同阶无穷小同阶无穷小 之间比较之间比较.第48页上页下页铃结束返回首页例例1515 判定级数敛散性:由比较判别法极限形式知收敛.抓主要项抓主要项抓
11、大头抓大头第49页上页下页铃结束返回首页例设正项级数收敛,能否推出收敛?提醒提醒:由第二比较判别法可知收敛.v第二比较判别法 (2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 假如假如第50页上页下页铃结束返回首页注注7 7 使用第一和第二比较判别法,需记住一些已知其收敛性级数,而且建立不等式关系也比较繁.而实际上,一个正项级数收敛性有其本身内在本质,能够利用级数本身特点,来判定级数收敛性.v第二比较判别法 第51页上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一个它和已被严格确定无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels He
12、nrik,1802-1829)当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.第52页(1)1(包含 =)时,级数发散；(3)=1 时,不能由此断定级数敛散性.利用级数本身利用级数本身来进行判别来进行判别.比值判别法(达朗贝尔判别法)：第53页例例1111收敛收敛.解解:第54页解解依据第一比较判别法，依据第一比较判别法，原级数收敛原级数收敛例7 判别敛散性.比值判别法与比较判别法综合应用比值判别法与比较判别法综合应用由比值判别法，由比值判别法，第55页例8 判别敛散性.解解第56页上页下页铃结束返回首页例7判别敛散性.解解:v比值
13、判别法(达朗贝尔判别法)收敛收敛.第57页例例1313解解:所以用所以用比值法无法判断比值法无法判断.用第二比较判别法用第二比较判别法,收敛收敛.第58页上页下页铃结束返回首页例8假设判别收敛性.v比值判别法解:则(1)若 ,则级数收敛.(2)若 ,则级数发散.(3)若 ,此时比值判别法失效,时,则级数收敛,时,则级数发散.但此时原级数为第59页上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一个它和已被严格确定无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数
14、发散.第60页上页下页铃结束返回首页定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且简明说明：简明说明：第61页上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.说明说明:定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且第62页上页下页铃结束返回首页定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且根值判别法适合 中含有某表示式 次幂.例例1515解解:所以所以级级数收数收敛敛.第63页例例1616解解:所以所以级级数收数收敛敛.第64页上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结：正项级
15、数审敛法un vn洛必达法则：复杂型,第65页上页下页铃结束返回首页例6判别级数收敛性.复杂型,解:令因为从而是 级数,其中收敛.从而 收敛.洛必达法则：第66页上页下页铃结束返回首页作业P1371.2.(2)(4)(5)(8)3.(2)(4)(6)第67页高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第五十一讲第五十一讲第五十一讲第五十一讲正项级数判别法应用实例脚本编写：教案制作：第68页上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结：正项级数审敛法un vn洛必达法则：复杂型,第69页 6.正项级数正项级数比较判别法比
16、较判别法基本题型和应用实例基本题型和应用实例 (1)利用比较法（不等式形式）直接判敛题型利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:第70页 (2)利用比较法利用比较法（极限形式）（极限形式）直接判敛题型直接判敛题型:抓主要项抓主要项第71页上页下页铃结束返回首页例例1515 判定级数敛散性:由比较判别法极限形式知收敛.抓主要项抓主要项抓大头抓大头 第72页例例5 5例例6 6例例7 7第73页 (3)带有参数正项级数讨论判敛题型带有参数正项级数讨论判敛题型:第74页上页下页铃结束返回首页例例9 9 判定以下级数敛散性收敛,收敛.故v第二比较判别法 第75页上页下页铃结束返回首页例例9 9 判定以下
17、级数敛散性收敛,收敛.故v第二比较判别法 第76页 6.正项级数正项级数比较判别法比较判别法基本题型和应用实例基本题型和应用实例 (1)利用比较法（不等式形式）直接判敛题型利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:第77页例6判别敛散性.(其中 ,正常数).解:(2)当 时,而此时,收敛,收敛.所以(1)当 时,而为调和级数,发散,发散.所以要找出 中起主要作用项.第78页 (4)证实正项级数收敛或发散题型证实正项级数收敛或发散题型:v第二比较判别法 第79页 (4)证实正项级数收敛或发散题型证实正项级数收敛或发散题型.v第二比较判别法 第80页 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAle
18、mbert 法法）应用实例应用实例 第81页 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）应用实例应用实例 第82页 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）应用实例应用实例 第83页 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）应用实例应用实例 第84页 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）应用实例应用实例 第85页 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法）应用实例应用实例 第86页上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比
19、较判别法级数发散判别内容小结：正项级数审敛法un vn洛必达法则：复杂型,第87页上页下页铃结束返回首页作业P1388.13.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.10.11.第88页高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第五十二讲第五十二讲第五十二讲第五十二讲任意项级数审敛法脚本编写：教案制作：第89页上页下页结束返回首页铃一、交织级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛8.3 8.3 任意项级数审敛法任意项级数审敛法上页下页铃结束返回首页第90页上页下页铃结束返回首页 本节讨论普通常数项级数,即各项符号不尽相同变号级数(任意项级数).如级数 下面讨论任意项级
20、数敛散性判别法.首先讨论其中一个各项正负相间特殊情形 交织级数.第91页上页下页铃结束返回首页二、交织级数及其审敛法v交织级数 交织级数是这么级数 它各项是正负交织 下页这这是交是交织级织级数数.第92页上页下页铃结束返回首页二、交织级数及其审敛法v交织级数 交织级数是这么级数 它各项是正负交织 下页第93页上页下页铃结束返回首页v莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和su1 简明证实简明证实:下页设级数前n项部分和为sn及 s2nu1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n 设s2ns(n)则也有s2n1s2nu2n1s(n)所以sns(n)所以级数是收敛 且级数和su1可见数列s2n单
21、调增加且有界(s2nu1)所以数列s2n收敛s2n可写成称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 第94页上页下页铃结束返回首页 例例9.这是一个交织级数 因为此级数满足 证证:是莱布尼茨型级数 故收敛v莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和su1首页.第95页上页下页铃结束返回首页 例例9.这是一个交织级数 因为此级数满足 证证:首页.例 验证:不论 大于 还是小于 ,只要均收敛.是莱布尼茨型级数 故收敛是莱布尼茨型级数 故收敛第96页三、任意项级数三、任意项级数绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义定义:正项和负项任意出现级数称为正项和负项任意出现级数称为任意项级数任意项级数.第97页 因为任意常数项
22、级数各项符号不一定同号,因而正项级数敛散性判别法对它来说是不适用.但当我们可借助于正项级数敛散性判别法来研究它了.它每一项取绝对值后组成级数正项级数,便考查三、任意项级数三、任意项级数绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义定义:正项和负项任意出现级数称为正项和负项任意出现级数称为任意项级数任意项级数.第98页上页下页铃结束返回首页定理证证 un|un|从而第99页例例1818例例1919第100页定理作用：定理作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数说明说明:定理第101页(1)1(包含=)时,原级数发散.(3)=1 时,不能由此断定级数敛散性.定理(任意项级数达朗贝尔比值判别法)第102
23、页所以收敛,绝对收敛.例例11 11 判定级数 敛散性.解解:由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，第103页例例11 11 判定级数 敛散性.由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，故当 时，该级数收敛.解解:第104页例例2121解解:第105页上页下页铃结束返回首页总结：v绝对收敛与条件收敛 绝对收敛条件收敛收敛发散第106页上页下页铃结束返回首页注注1 1 全部正项级数收敛都是绝对收敛全部正项级数收敛都是绝对收敛.注注2 2 一切判别正项级数敛散性判别法都可用来一切判别正项级数敛散性判别法都可用来判定判定 是否收敛是否收敛.定理第107页例例2020解解定理第108页例例15
24、15 判定级数 敛散性:由比较判别法极限形式知故级数 绝对收敛.收敛，第109页例例2424解解:第110页上页下页铃结束返回首页级数是否收敛?解解由调和级数发散性可知,故发散.例16故级数不是绝对收敛.第111页上页下页铃结束返回首页原级数是一个交织级数,且满足：所以级数是收敛.由莱布尼兹判别法可知,该交织级数收敛.级数是否收敛?例16解解是条件收敛.第112页上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法绝对收敛不能 用它莱布尼茨定理交织级数比较判别法原级数发散发散至多条件收敛判别收敛内容小结：任意项级数审敛法第113页上页下页铃结束返回首页作业P1384.(1)(2)(3)
25、5.(1)(3)7.14.17.13.(9)(10)9.12.第114页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十三讲第五十三讲 函数项级数函数项级数 幂级数幂级数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第115页上页下页结束返回首页铃8.4 幂级数上页下页铃结束返回首页一一.函数项级数函数项级数二二.幂级数及其敛散性幂级数及其敛散性三三.幂级数运算幂级数运算第116页上页下页铃结束返回首页1.函数项级数定义设有一函数序列为定义在区间 I 上函数项级数.一、函数项级数第117页上页下页铃结束返回首页函数项级数 能够利用常数项级数知识来处理函数项
26、级数第118页上页下页铃结束返回首页2.函数项级数敛散性收敛点.发散点.记为记为D D.第119页函数项级数部分和函数项级数部分和余项余项(x在收敛域内在收敛域内)注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x收敛问题收敛问题,实质上是实质上是数项级数收敛问题数项级数收敛问题.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)第120页上页下页铃结束返回首页函数项级数 能够利用常数项级数知识来处理函数项级数第121页例例11 11 求级数 收敛域.由达朗贝尔比值判别法，由达朗贝尔比值判别法，第122页上页下页铃结束返回首页形如级数称为幂级数,其中,称为幂级数系数.1.幂级数定义幂级数定义 在函数项级数中
27、,有一类十分特殊级数,它每一项都是 x 幂函数,即 .比如:其中第123页证实：证实：O2.幂级数敛散性第124页由正项级数比较审敛法知由正项级数比较审敛法知,O证实：证实：第125页由由(1)结论结论,O证实：证实：第126页2.幂级数敛散性几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O O第127页推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数称为幂级数收敛半径收敛半径.要求要求问题问题怎样求幂级数收敛半径怎样求幂级数收敛半径?收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O O第128页上页下页铃结束返回首页定理定理2.若系数满足证证:1)若0,则依据比值判别法可知:当原级
28、数绝对收敛;当原级数发散.即时,1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,即时,则 所以级数收敛半径（）第129页上页下页铃结束返回首页定理定理2.若系数满足证证:1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,则 2)若则依据比值判别法可知,绝对收敛,3)若则对除 x=0 以外一切 x 原级发散,对任意 x 原级数所以所以 第130页上页下页铃结束返回首页收敛半径为说明说明:据此定理定理定理2.若系数满足1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,则 第131页上页下页铃结束返回首页例例3解解总而言之,得:第132页(2)判断x=R时,级数 和(3)写出幂级数 收敛区域.注7 (1)当R=0时,幂级数(2
29、)当R=+时,幂级数敛散性;只在x=0收敛.此时收敛区间为此时收敛区间为(-,+).(-,+).对于一切对于一切x均收敛均收敛,注6 求幂级数 收敛域步骤是:(1)求出收敛半径得收敛区间为(-R,R).第133页例例2 2解解例例3 3解解第134页上页下页铃结束返回首页例17 求幂级数收敛半径及收敛域:下面考查x=1时幂级数敛散性:当x=1时,幂级数变为当x=-1时,幂级数(1)变为故原级数收敛域为1,1.是绝对收敛;是绝对收敛;第135页注8 我们所说“求幂级数收敛半径及收敛区域”都是如对标准幂级数而言;但形非标准幂级数,下方法求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求收敛半径和收敛区间,却不
30、能而只能是采取如第一个:用变量代换把它们化为标准幂级数 如令变量代换第136页上页下页铃结束返回首页谁收敛半径？解解6.非标准幂级数收敛区间求法非标准幂级数收敛区间求法第137页上页下页铃结束返回首页由交织级数判别法,可知此时级数收敛.第138页上页下页铃结束返回首页例例5解解第139页上页下页铃结束返回首页由级数收敛必要条件,可知总而言之,第140页缺乏偶次幂项缺乏偶次幂项级数收敛级数收敛,例例5 5解解:级数发散级数发散,第141页级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,所以原级数收敛域为所以原级数收敛域为级数收敛级数收敛,例例5 5解解:第142页上页下页铃结束返回首页例6
31、求 收敛半径和收敛域.解:当|x|1 时,=0 1 时,=,所以级数收敛域为级数 发散.半径R为1.当|x|=1 时,=,级数绝对收敛.第143页上页下页铃结束返回首页作业P1541.(2)(4)(6)(8)5.6.第144页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十四第五十四 幂级数运算幂级数运算求幂级数和函数求幂级数和函数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第145页上页下页结束返回首页铃8.5 幂级数运算上页下页铃结束返回首页第146页二.幂级数运算注注9 9 两个收敛幂级数在它们共同收敛区间上能够两个收敛幂级数在它们共同收敛区间上能
32、够逐逐项相加项相加.1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法第147页2.2.和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第148页且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第149页且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第150页敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.故该级数收敛域为:要打开思绪!解解例例2第151页8.利用幂级数和函数利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积逐项求导，逐项求积性质求幂级数和函数性质求幂级数和函数9.问题问题 （2）利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数和函数）利用幂级数和函数逐
33、项求导，逐项求积性质求幂级数和函数 实例实例 例例7 7第152页 解 求得幂级数收敛域为求得幂级数收敛域为1 1)第153页 解 第154页例1解和函数和函数由此题由此题第155页有时需要进行逐项求导连续两次或逐项积分连续两次.第156页上页下页铃结束返回首页例例2020 求以下幂级数收敛域及和函数:解:设则此幂级数收敛区间为(-1,1).而当 x=1时,级数故收敛区域为(-1,1).发散.需要时可将幂级数拆开第157页将原级数逐项积分有再将级数S1(x)逐项积分有对上式两端求导有对此式两端再求导有(1x1)第158页 第159页上页下页铃结束返回首页作业P1559.2.(1)(3)(4)(
34、5)(6)(7)第160页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十五讲第五十五讲第五十五讲第五十五讲脚本编写：教案制作：函数展开为幂级数函数展开为幂级数函数展开为幂级数函数展开为幂级数第161页上页下页结束返回首页铃一、麦克劳林级数二、函数展开成幂级数8.5 函数展开成幂级数上页下页铃结束返回首页第162页第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 上节例题上节例题求幂级数求幂级数,在其收敛域在其收敛域内以内以f(x)为和函数为和函数问题问题:1.假如能展开假如能展开,是什么是什么?第163页上页下页铃结束返回首页 假如f(x)在点x00某邻域(R,R)内能
35、展开成x标准幂级数 即 f(x)a0a1xa2x2 anxn a0f(0)a1f(0)提醒:f(x)2!a232a3x43a4x254a5x3 f(0)2!a2 f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x f(n)(0)n!an那么有 f(x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4 f(0)a1 下页f(x)第164页上页下页铃结束返回首页v麦克劳林级数此级数称为f(x)麦克劳林级数 下页第165页上页下页铃结束返回首页下页v泰勒级数 v麦克劳林级数f(x)f(x)在泰勒级数中取x00 得 非标准幂级数第166页上页下页铃结束返回首页三、函数展开为三、函数展开为幂级数幂级数函数展开
36、为幂级数直接展开法间接展开法第167页上页下页铃结束返回首页v直接法步骤第一步 求出f(x)各阶导数:f(x)f(x)f(n)(x);第二步 求函数及其各阶导数在x0 处值:f(0)f(0)f(0)f(n)(0);第三步 写出幂级数并求出收敛半径R;下页直接展开法直接展开法由此可得 第168页上页下页铃结束返回首页 例例1.将函数f(x)ex展开成x幂级数 解解:显然 f(n)(x)ex(n1,2,)由此得级数 f(n)(0)1(n1,2,)下页下页f(x)第169页第170页上页下页铃结束返回首页例例2.将函数f(x)sin x展开成x幂级数 解解:所以f(n)(0)次序循环地取0,1,0,
37、1,(n0,1,2,3,)于是得级数 它收敛半径为R 由此得展开式 下页f(x)第171页 例例3.将函数f(x)(1x)m(m为任意常数)展开成x幂级数 所以 f(0)1 f(0)m f(0)m(m1)f(n)(0)m(m1)(m2)(mn1)由此得幂级数 解解:f(x)各阶导数为f(x)m(1x)m1 f(x)m(m1)(1x)m2 f(n)(x)m(m1)(m2)(mn1)(1x)mn 所以(1x1)f(x)第172页上页下页铃结束返回首页v麦克劳林级数下页f(x)间接展开法间接展开法直接展开法太麻烦第173页 依据展开式唯一性依据展开式唯一性,利用已知展开式利用已知展开式,经过经过变量
38、变量代换代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.两边求导两边求导,得得2.2.间接展开法间接展开法例例4 4第174页上页下页铃结束返回首页 例例5.解解:已知把x换成x2 得 提醒:收敛半径确定:由1x21得1x1下页第175页例例5 5解：解：提醒:第176页上页下页铃结束返回首页v幂级数展开式小结结束第177页上页下页铃结束返回首页例例22将上述两式两端分别从0到 x(1 x 1)积分,得(1x1)(1x1)第178页例例7 7解解:第179页例例8 8第180页上页下页铃结束返回首页例例1 把函数 展开为关于 幂级数.
39、解解:第181页例例9 9解解第182页解解例例1313(95(95五五6)6)第183页例例1010解解第184页例例1111解解第185页上页下页铃结束返回首页例14已知求解:设关于幂级数为而又可写成所以有所以第186页上页下页铃结束返回首页作业P1554.8.10.(3)3.(1)(2)(5)(7)(8)(9)第187页微微积分学分学第八章第八章 无穷级数无穷级数习题课习题课第188页1 1、常数项级数、常数项级数级数部分和级数部分和定义定义级数收敛与发散级数收敛与发散第189页性质性质1 1:级数每一项同乘一个不为零常数级数每一项同乘一个不为零常数,敛散敛散性不变性不变.性质性质2 2
40、:收敛级数能够逐项相加与逐项相减收敛级数能够逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数敛散在级数前面加上有限项不影响级数敛散性性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成级数依然收敛于收敛级数加括弧后所成级数依然收敛于原来和原来和.级数收敛必要条件级数收敛必要条件:收敛级数基本性质收敛级数基本性质第190页常数项级数审敛法常数项级数审敛法正项级数正项级数任意项级数任意项级数5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛4.莱布尼茨定理莱布尼茨定理1.2.交织级数交织级数5.条件收敛条件收敛第191页定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法
41、充分必要条件充分必要条件:(1)(1)比较审敛法比较审敛法第192页比较审敛法极限形式比较审敛法极限形式:,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 假如假如,当当时时;则则(1)(1)两级数有相同敛散性两级数有相同敛散性 (3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;第193页第194页第195页定义定义 正正 、负项相间级数称为、负项相间级数称为交织级数交织级数.3 3、交织级数及其审敛法、交织级数及其审敛法第196页定义定义 正项和负项任意出现级数称为正项和负项任意出现级数称为任意项级数任意项
42、级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法第197页5 5、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域不然称不然称为为发散点发散点.第198页全部发散点全体称为全部发散点全体称为发散域发散域.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)第199页(1)(1)定义定义5 5、幂级数、幂级数收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O O第200页第201页2.2.和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第202页且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第203页且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.2.2.
43、和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第204页6 6、幂级数展开式、幂级数展开式(1)定义定义第205页(3)展开方法展开方法a.直接法直接法b.间接法间接法 依据唯一性依据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,经过经过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.第206页(4)常见函数展开式常见函数展开式第207页第208页经典例题经典例题例例1 1判别以下级数收敛性判别以下级数收敛性:解解所以原级数发散所以原级数发散第209页解解第210页解解(8888八八3)3)第211页解解再依据比较判别法，再依据比较判别法
44、，原级数收敛原级数收敛由比值审敛法知由比值审敛法知,第212页解解例例3 3(96(96二二3)3)以下各选项正确是（以下各选项正确是（）.第213页解解(95(95二二3)3)例例4 4选选(C).(C).第214页解解例例5 5(00(00二二3)3)第215页证证例例9 9第216页解解例例1111(92(92一一3)3)第217页例例5 5解解(1x1)第218页解解例例1212第219页第220页解解例例1414(94(94三三5)5)第221页复数定义：复数定义：记此方程即使在实数范围内无解，但则方程在复数范围内有解是一个数，也是一个复数第222页欧拉欧拉(Euler)公式公式:这里 是一个常常数第223页解解方程方程解解:例例2 2第224页
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