1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十六讲第五十六讲脚本编写：教案制作：微分方程基本概念第1页上页下页铃结束返回首页 设所求曲线方程为yy(x).例例1.一曲线经过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处切线斜率为2x,求这曲线方程.依据导数几何意义,可知未知函数yy(x)应满足 解解:另外,未知函数yy(x)还应满足以下条件:由(1)式得，其中C是任意常数.(1)x1时,y2.(2)把条件“x1时,y2”代入(3)式,得 212C,C1.把C1代入(3)式,得所求曲线方程:yx21.(3)下页第2页上页下页铃结束返回首页微分方程 常微分方程与偏微分方程
2、 未知函数是一元函数微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数微分方程,叫偏微分方程.下页凡含有凡含有未知函数未知函数导数或微分方程叫导数或微分方程叫微分方程微分方程.例例第3页上页下页铃结束返回首页 例例2.列车在平直线路上以20m/s速度行驶;当制动时列车取得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少旅程?解解:设列车制动后t秒所行驶距离为s(t)米.依据题意未知函数ss(t)应满足:s0.4.(1)s|t00,s|t020.(2)由(1)式，积分一次,得 s0.4tC1;(3)再积分一次,得 s0.2t2 C1tC2,(4)这里C1,C2都是任
3、意常数.把条件s|t020代入(3)式得 20C1;把条件s|t00代入(4)式得 0C2.把C1,C2值代入(3)及(4)式得 v0.4t20,(5)s0.2t220t.(6)在(5)式 中 令 v0,得t50(s).再把t50代入(6),得 s0.25022050500(m).下页第4页上页下页铃结束返回首页提醒:微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数微分方程,叫偏微分方程.它们都是微分方程例1中所列关系式为s0.4.例2中所列关系式为下页凡含有凡含有未知函数未知函数导数或微分方程叫导数或微分方程叫微分方程微分方程.例例第5页上页下页
4、铃结束返回首页微分方程阶 微分方程中所出现未知函数最高阶导数阶数,叫微分方程阶.提醒:例1中所列关系式为s0.4.例2中所列关系式为这是一阶微分方程这是二阶微分方程v几个基本概念 下页第6页上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提醒:微分方程解 满足微分方程函数叫做该微分方程解.在例1中,微分方程y2x解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4解有 s0.2t2 C1tC2,s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.下页第7页上页下页铃结束返回首页求所给函数导数:解解:这表明函数 满足所给方程,所以所给函数是所给方程解.下页例例2 2由上式得:第8页上页下页铃结束返回首页下页若一个
5、函数中出现两个常数不能经过运算合并为一个常数，那么这两个常数是独立，中是独立，而中能够合并为一个常数，所以这里 不独立比如v常数相互独立 第9页上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提醒:微分方程解 满足微分方程函数叫做该微分方程解.通解 假如微分方程解中含有相互独立任意常数,且任意常数个数与微分方程阶数相同,这么解叫做微分方程通解.特解 确定了通解中任意常数以后,就得到微分方程特解.即不含任意常数解叫特解.在例1中,微分方程y2x解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4解有 s0.2t2 C1tC2,s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.通解通解通解特解什解什么解?下页第1
6、0页上页下页铃结束返回首页解通解特解其它共同点：不一样点：第11页上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提醒:初始条件 用于确定通解中任意常数条件,称为初始条件.对于一阶微分方程,通惯用于确定任意常数条件是 对于二阶微分方程,通惯用于确定任意常数条件是例1是求微分方程满足初始条件y|x12解.例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00,s|t020解.下页y2x第12页上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 初始条件 用于确定通解中任意常数条件,称为初始条件.初值问题 求微分方程满足初始条件解问题称为初值问题.问题,记为 提醒:例1是求微分方程满足初始条件y|x12解.例2是求微分方程s0.
7、4满足初始条件s|t00,s|t020解.下页y2x第13页上页下页铃结束返回首页 例解解微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解第14页上页下页铃结束返回首页作业P1651.(1)(3)(5)3.2.5.第15页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）脚本编写：教案制作：可分离变量微分方程第16页上页下页结束返回首页铃9.2 可分离变量微分方程上页下页铃结束返回首页第17页第二节第二节 可分离变量一阶微分方程可分离变量一阶微分方程为微分方程通解为微分方程通解.两边积分两边积分,为为可分离变量方程可分离变量方程.称称则则第18页上页下页铃结束返回首页下页 例例
8、2.求微分方程 通解.方程可化为 解解:分离变量得 两边积分得 于是原方程通解为 第19页解解或解或解例例2 2(C1为任意常数)第20页上页下页铃结束返回首页例例1.求微分方程通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,所以可能增、减解.(此式含分离变量时丢失解 y0)第21页上页下页铃结束返回首页作业P1721.(1)(2)(3)(4)3.(1)2.(1)(2)(5)第22页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十七讲第五十七讲脚本编写：教案制作：一阶线性微分方程第23页上页下页结束返回首页铃一、线性方程
9、二、伯努利方程9.3 一阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页第24页第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶一阶线性线性微分方程微分方程标准形式标准形式:上方程称为上方程称为齐次齐次.上方程称为上方程称为非齐次非齐次.比如比如线性线性;非线性非线性.第25页齐次方程通解为齐次方程通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程解法解法:使用分离使用分离变量法变量法第26页2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法常数变易法把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法.实质实质:未知函数变量代换未知函数变量代换.作变换作变换第27页
10、积分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程通解为所以一阶线性非齐次微分方程通解为:对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第28页解解例例1 1第29页上页下页铃结束返回首页例例7 7 求方程解解 将方程改写为 通解.先求齐次方程通解.分离变量,得 两端积分并整理,得齐次方程通解 用常数变易法求非齐次线性方程通解，故原方程通解为：y=(ex+c)(x+1)2 将 y与y代入非齐次方程,并整理,得两端积分,得第30页上页下页铃结束返回首页例1求方程通解.解:对应齐次方程为:分离变量得即或所以齐次方程通解为:用常数变易法求非齐次线性方程通解，代入方程得即所以所以非齐次方程通解为:第
11、31页上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程v伯努利方程 以下方程中哪些是伯努利方程？讨论:提醒:下页方程为方程为线性线性微分方程微分方程.第32页解法解法:二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程求出通解后求出通解后,将将 代入即得代入即得原方程通解原方程通解.代入上式得代入上式得第33页上页下页铃结束返回首页 例例3.以y2除方程两端,得 解解:令zy1,则上述方程成为 这是一个线性方程,它通解为 以y1代z,得所求方程通解为 下页第34页上页下页铃结束返回首页例3求通解.解:此方程是伯努利方程:方程两边同乘 得,即令得第35页上页下页铃结束返回首页变量可分离方程变量可分离方程 一
12、阶线性齐次方程一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程变量分离变量分离变量分离变量分离常数变易常数变易常数变易常数变易变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换第36页上页下页铃结束返回首页一阶微分方程一阶微分方程 1991年考研数学一年考研数学一,3分分第37页上页下页铃结束返回首页解解:可分离变量方程可分离变量方程两边积分两边积分由原关系式由原关系式得得得得分离变量分离变量两边对关于 求导,第38页上页下页铃结束返回首页例例例例8.8.8.8.解：解：解：解：求方程通解.将 与 交换,得方程齐次方程分离变量得所以齐次方程通解为:用常数变易法求非齐次线性
13、方程 通解，得通解为:第39页上页下页铃结束返回首页例例例例8.8.8.8.解：解：解：解：求方程通解.将 与 交换,得方程通解为:将 与 换回,得方程通解为:第40页上页下页铃结束返回首页作业P1772.(1)(3)(5)1.(2)(4)(6)3.5.6.7.8.(1)第41页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十八讲第五十八讲脚本编写：教案制作：二阶线性微分方程第42页上页下页结束返回首页铃一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程解结构9.4 二阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页第43页上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二
14、阶线性微分方程普通形式为若方程右端f(x)0时,方程称为齐次,不然称为非齐次.或 yP(x)yQ(x)yf(x).下页第44页上页下页铃结束返回首页二、线性微分方程解结构C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2000.C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2 方程yP(x)yQ(x)y0任意两个解y1(x)与y2(x)线性组合C1y1(x)C2y2(x)也是它解,其中C1、C2是任意常数.简明证实:这是因为v定理1(齐次方程解叠加原理)下页举例：举例：已知cos x与sin x都是方程yy0解.方程通解为 yC1cos xC2sin x.第45页
15、上页下页铃结束返回首页将其代入方程将其代入方程,故有故有特征根特征根二阶二阶设解设解得得特征方程特征方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数.第46页上页下页铃结束返回首页两个两个 特解特解二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程有两个不相等实根有两个不相等实根特征方程特征方程得齐次方程通解为得齐次方程通解为设设解解其中其中r为待定常数为待定常数.第4
16、7页上页下页铃结束返回首页有两个相等实根有两个相等实根一特解为一特解为化简得化简得二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程设设取取则则知知得齐次方程通解为得齐次方程通解为其中其中r为待定常数为待定常数.设设解解特征方程特征方程第48页有一对共轭复根有一对共轭复根为了得到实数形式解为了得到实数形式解,重新组合重新组合二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程两个两个复数形式复数形式解解.其中其中r为待定常数为待定常数.得齐次方程通解为得齐次方程通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:设设解解特征方程特征方程第49页小结小结 特征根情况特征根情况通解表示式通解表示式 实根实
17、根实根实根复根复根通解不一样形式通解不一样形式.特征根特征根r不一样情况决定了方程不一样情况决定了方程第50页上页下页铃结束返回首页 例解解特特 征征 根根通通 解解 形形 式式第51页上页下页铃结束返回首页 例解解特特 征征 根根通通 解解 形形 式式第52页上页下页铃结束返回首页称为称为解解 特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为例例由常系数齐次线性方程特征方程根由常系数齐次线性方程特征方程根确定其通解方法确定其通解方法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法特征方程法.特征根特征根第53页上页下页铃结束返回首页解解 特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为例例二阶
18、常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征根特征根特特 征征 根根通通 解解 形形 式式第54页上页下页铃结束返回首页例例 解初值问题解初值问题解解 特征方程特征方程特征根特征根所以方程通解为所以方程通解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程(二重根二重根)特解特解第55页上页下页铃结束返回首页作业P1881.(2)(4)第56页高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十九讲第五十九讲脚本编写：教案制作：二阶常系数线性非齐次微分方程第57页二、二阶常系数非齐次线性方程解性质及求解法二、二阶常系数非齐次线性方程解性质及求解法回顾回顾一阶线性
19、微分方程一阶线性微分方程对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方程特解非齐次方程特解(1)第58页上页下页铃结束返回首页提醒:我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)对应齐次方程.设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)一个特解,Y(x)是对应齐次方程通解,那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)通解.v定理3(非齐次方程通解结构)举例:已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0通解,y*x22是非齐次方程yyx2一个特解,所以 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx
20、2通解.下页第59页上页下页铃结束返回首页证实提醒:Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)Y P(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*0f(x)f(x).设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)一个特解,Y(x)是对应齐次方程通解,那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)通解.v定理3(非齐次方程通解结构)下页第60页上页下页铃结束返回首页二阶常系数线性非齐次微分方程:依据解结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解方法：依据 f(x)特殊形式,待定形式,待定系数法待定系数法三角函数三
21、角函数多项式多项式指数函数指数函数第61页方程方程(2)对应齐次方程对应齐次方程(1)特征方程及特征根为特征方程及特征根为单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根 你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该有什么样子特解？有什么样子特解？有什么样子特解？有什么样子特解？为常数 方程方程有以下形式特解：有以下形式特解：第62页上页下页铃结束返回首页假设方程假设方程有以下形式特解：有以下形式特解：则则代入方程代入方程(2)，得，得即即第63页第64页综上讨论可知综上讨论可知设特解为设特解为其中其中代入原方程代入原方程,来确定来确定Q(x).第65页上页下页铃结束返回首页 例例2.
22、求微分方程y5y6yxe2x通解.这里Pm(x)x,2.与所给方程对应齐次方程为y5y6y0,它特征方程为r25r 60.特征方程有两实根r12,r23.于是齐次方程通解为YC1e2xC2e3x.因为2是特征方程单根,所以特解应设为y*x(b0 xb1)e2x.解解:把 代入所给方程,得 2b0 x2b0b1x.比较两端x同次幂系数,得2b01,2b0b10.于是求得所给方程一个特解为 从而所给方程通解为 首页第66页解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程得得例例6 6第67页上页下页铃结束返回首页解解对应齐次方程特征方程为对应齐次方程特征方程为特
23、征根为特征根为对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第68页上页下页铃结束返回首页比较两边同类项系数，得比较两边同类项系数，得故原方程有一特解为故原方程有一特解为总而言之，原方程通解为总而言之，原方程通解为解解请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第69页上页下页铃结束返回首页解解对应齐方程特征方程为对应齐方程特征方程为特征根为特征根为对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第70页上页下页铃结束返回
24、首页上式即上式即故原方程有一特解为故原方程有一特解为总而言之，原方程通解为总而言之，原方程通解为解解请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第71页上页下页铃结束返回首页 设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与 yP(x)yQ(x)yf2(x)特解,那么y1*(x)y2*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)特解.v定理4(非齐次方程解叠加原理)简明证实:这是因为 y1*y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2*y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*f1(x)f2(x).结束第72页上页下页铃结束返回首页 例解解对应齐方程通解为对应齐方程通解为总而言之，原方程通解为总而言之，原方程通解为第73页上页下页铃结束返回首页二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二选一二选一先选0,再选.第74页解解例例7 7所求所求通解通解为为 第75页上页下页铃结束返回首页解解例例8 8所求所求通解通解为为 第76页珍惜时间认真复习珍惜时间认真复习第77页第78页上页下页铃结束返回首页 l l l l 作业P1882.(1)(2)1.(6)(7)4.5.第79页
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