2023年超经典初中数学竞赛题.docx

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已知2a-1的平方根是正负3，3a+b的算数平方根是4，求a-13b的立方根
∵已知2a-1的平方根是正负3
∴2a-1＝９
∴ａ＝５
∵3a+b的算数平方根是4
∴3a+b＝１６
∴ｂ＝１
∴a-13b＝－８
∴a-13b的立方根＝－２
某一次函数的图像与y=2x-1没有交点，但与直线y=-x+2有交点A，已知点A的横坐标为3，求这个一次函数解析式
设一次函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ
∵一次函数的图像与y=2x-1没有交点
∴一次函数的图像与y=2x-1平行
∴ｋ＝２
一次函数解析式为ｙ＝２ｘ＋ｂ
∵与直线y=-x+2有交点A，已知点A的横坐标为3
∴点A的坐标为（３，－１）
把点A的坐标带入
∴ｂ＝－７
∴一次函数解析式为ｙ＝２ｘ－７
已知，△ABC中，周长为l，AB=5，BC:AC=3:2,求l的取值范围
∵BC:AC=3:2
∴设BC=3X,AC=2X
∴3X-2X<5<3X+2X
∴X<5<5X
∴1<X<5
∵L=5X+5
∴10<L<30
若直线y=kx+b是通过平移直线y=-x得到的，且通过y=x+3与y=-2x-3的交点，求这条直线的解析式
∵直线y=kx+b是通过平移直线y=-x得到的
∴设这条直线的解析式为ｙ＝－ｘ＋ｂ
∵通过y=x+3与y=-2x-3的交点
∴交点坐标为（－２，１）
把（－２，１）带入ｙ＝－ｘ＋ｂ
得ｂ＝－１
∴这条直线的解析式为ｙ＝－ｘ－１
为什么∴交点坐标为（－２，１）
联立方程组得X+3=-2X-3解得X=-2,带入任意一个方程得Y=1
已知△ABC的周长为39CM，a,b,c,为三边长，且b+c=2,a-b=4,求a,b.c的值
请检查此题是否有问题
抄错数了吧
对不起，是b+c=2a
由于 b+c=2a，将其代入
a+b+c=39中，a+2a=39,得a=13
由于a-b=4，所以b=9
将a=13,b=9代入a+b+c=39得 c=17
已知一个等腰三角形一边长为5cm,一咬伤的中线把原三角形提成两个三角形，这两个三角形的周长差为3厘米，求此等腰三角形各边的长
当等腰三角形的腰长为5cm
∵两个三角形的周长差为3厘米
1)∴腰-底=3
∴底=2
2)底-腰=3
∴底=8
当等腰三角形的底边长为5cm
1)∴腰-底=3
∴腰=8
2)底-腰=3
∴腰=2 这种够不成△
∴舍去
一次函数y=-2x+1的图像与y轴交于点A，一次函数y=3x-b的图像与y轴交于点B,且线段AB的长为2，求一次函数y=3x-b与x轴的交点坐标
∵一次函数y=-2x+1的图像与y轴交于点A
∴交点坐标为（０，１）
∵一次函数y=3x-b的图像与y轴交于点B,
∴交点坐标为（０，－ｂ）
∵线段AB的长为2
∴／１＋ｂ／＝２
∴ｂ＝１ or b=－３
∴当b=1时
y=3x-1与x轴的交点坐标为(1/3,0)
∴当b=-3时
y=3x+3与x轴的交点坐标为(-1,0)
三角形的三边a,b,c满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca,式鉴定a,b,c的关系

如图，△ABC中，N是AC的中点，AM=MC,△ABM的周长9，AN=2,求△ABC的周长

已知P为△ABC内任意一点求证PA+PB<CA+CB
要两种方法

一）延长AP交BC于Q
AC+CQ>AQ=PA+PQ
QB+PQ>PB
二式相加得：
AC+(BQ+QC)+PQ>PA+PB+PQ
AC+BC>PB+PA
即：PA+PB<CA+CB。
二）延长BP交AC于M
同理，可证
PA+PB<CA+CB
已知P为△ABC内一点，求证1.1/2（AC+AB+BC)<PA+PB+PC
2.PA+PB+PC<AC+AB+BC

1)∵PA+PB>AB
PB+PC>BC
PC+PA>CA
∴(PA+PB)+(PB+PC)+(PC+PA)>AB+BC+CA
2（PA+PB+PC）>AB+BC+CA
即1/2（AC+AB+BC)<PA+PB+PC
2)延长AP交BC于Q
则AC+CQ>AQ=PA+PQ
PQ+QB>PB
∴AC+CQ+PQ+QB>PA+PQ+PB
即AC+BC>PA+PB
同理，可证：
AC+AB>PB+PC
AB+BC>PA+PC
∴AC+BC+AC+AB+AB+BC>PA+PB+PB+PC+PA+PC
2(AC+AB+BC)>2(PA+PB+PC)
即PA+PB+PC<AC+AB+BC
已知P为△ABC的边BC上任意一点
求证：AP<1\2(AB+AC+BC)

在△ABP中，AB+BP>AP
在△ACP中，AC+PC>AP
两式相加，得
2AP<AB+AC+BP+PC
即AP<1\2(AB+AC+BC)
已知DE为△ABC内两点
求证：AD+DE+EB<CA+CB

延长ＡD ＢE相交于F 延长ＡF交ＢC于G
AＣ+ＢC=AＣ+ＣG+GＢ>ＡG+GC=ＡF+FG+GC>ＡF+FＢ=ＡD+DF+FE+EＢ>ＡD+DE+EＢＢ
已知：AC，BD为对角线且AC与BD相较与点O
求证,1.1\2(AB+BC+CD+DA)<AC+BD
2.AC+BD<AB+BC+CD+DA

1)△ABO中，OA+OB>AB
同理，OB+OC>BC, OC+OD>CD,OA+OD>DA
四个式子相加，得
AB+BC+CD+DA<2(OA+OC+OB+OD)=2(AC+BD)
∴1\2(AB+BC+CD+DA)<AC+BD
2)△ABC中，AB+BC>AC,
同理，得CD+DA>AC,AB+DA>BD,BC+CD>BD
四个式子相加，得
2(AC+BD)<2(AB+BC+CD+DA)
∴AC+BD<AB+BC+CD+DA
若等腰三角形周长为10，一边长为a
求a的取值范围
（1）当a为腰时（2）当a为底时
（1）当a为腰时,底为10-2a
0<10-2a<2a
解，得5/2<a<5
（2）当a为底时,腰为(10-a)/2
0<a<10-a
解，得 0<a<5
已知实数a,b,c,满足a=6-b,c^2=ab-9,求证:a=b
∵（ａ－ｂ）＾２＝（ａ＋ｂ）＾２－４ａｂ
∵a=6-b
∴ａ+b=6
∴（ａ－ｂ）＾２＝（ａ＋ｂ）＾２－４ａｂ=36-4(c^2+9)=-4c^2
∴(a-b)^2=c^2=0
∴a=b
已知多项式x^4-2x^3-9x^2+2x+8具有因式x^2-5x+4,试将此多项式因式分解
(x^4-2x^3-9x^2+2x+8)/(x^2-5x+4)
=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
∴(x^4-2x^3-9x^2+2x+8)=(x+1)(x+2)(x^2-5x+4)=(x+1)(x+2)(x-1)(x-4)
周长为30cm，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个。
设三角形三边a>b>c
a<b+c
∴3a>a+b+c=30
2a<a+b+c=30
∴10<a<15
所以a=11 or a=12 or a=13 or a=14
a=11 时， b=10 , c=9 一种情况
a=12 时， b=11 , c=7
b=10 , c=8 两种情况
a=13 时，。。。。。。四种情况
a=14 时，。。。。。。五种情况
共十二种情况
一个多边形的内角和与某个一个外角的度数总和为1340°，求这个多边形的度数。
设多边形有n条边
多边形内角和为180*（n-2）
外角<180
所以180*（n-2）<1340
n最大值为7，
所以这个多边形为7边形
已知△ABC中，AB=7，BC:AC=4:3,试求这个三角形周长取值范围。
设BC=4x,AC=3x
CB-AC<AB<CB+AC
x<7<7x
1<x<7
周长C=7+7x
14<7+7x<56
所以14<c<56
在△ABC 中，∠C =90度，CD⊥AB,AD=7,BC=根号30，求sinA,cosA,tanA
解设ＢＤ＝Ｘ
在△ＡＢＣ中
sinA＝ＢＣ／ＡＢ＝√[３０]／７＋Ｘ
∵∠A=∠DCB
在△DCB
sin∠DCB=BD/BC=X/√[3O]
∴√[３０]／７＋Ｘ=X/√[3O]
解得X1=-10(舍)X2=3
∴sinA=√[30]/10
∴cosA=√[70]/10
∴tanA=√[21]/7
AD是△ABC的高，BE平分∠BAC交AD于E，若∠C=70°∠BED=50°，求∠BAC的度数

根据图形，BE平分∠BAC交AD于E描述错误，
应当是BE平分∠ABC交AD于E
在Rt△BDE中，
∠EBD=90-∠BED=40
∵BE平分∠ABC交AD于E
∴∠ABC=80
∴∠BAC=180-∠ABC-∠C=30
点(-4,-y1)(2,y2)都在直线y=-1\2x+2上y1与y2的关系是
将点(-4,-y1)(2,y2)带入方程，得
y1=-4,y2=1
∴y1<y2
一次函数y=kx+b的图象通过点A(-2，5)且它的图像与y轴的交点和直线y=-1\2x+3与y轴的交点关于x轴对称,这个一次性函数的解析式为?
直线y=-1\2x+3与y轴的交点为(0,3)
(0,3)关于x轴对称点为(0,-3)
∵一次函数y=kx+b的图象通过点A(-2，5),(0,-3)
∴5=-2k+b,-3=b
∴k=-4,b=-3
∴Y=-4X-3
若t是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式Δ=b^2-4ac和完全平方式M=（2at+b)^2的关系是：Δ（）M（只填“>”“=”“<”）
由于：t是方程ax^2＋bx＋c＝0的根
所以：at^2＋bt＋c＝0，
所以：m＝(2at＋b)^2
＝4a^2t^2＋4abt＋b^2
＝4a^2t^2＋4abt＋4ac＋b^2－4ac
＝4a(ax^2＋bx＋c)＋b^2－4ac
＝0＋b^2－4ac
＝b^2－4ac
＝△
所以：△＝m
如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，当矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍时，请猜测∠HAF的大小，并证明你的结论。

直线y=（√3／3）x+b通过点B（-√3，2）且与X轴交于点A，将抛物线Y=
(1／3)X^2沿X轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P。
求(1)
∠BAO的度数
(2)抛物线C与Y轴交于点E,与直线AB交于两点,其中一个交点为F,当线段EF∥X轴时,求平移后的抛物线C相应的函数关系式.
(3)在抛物线Y=(1／3)X^2平移过程中,将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否落在抛物线C上?如能,求出此时抛物线C顶点P的坐标,如不能,说明理由.

在同一平面直角坐标系内，直线L1:y=(k-2)x+k和L2：y=kx的位置是？
此题应为一道选择题，你的题目不全，以后请再提交问题时注意！

若关于x的不等式ax~2 + bx + c > 0的解集为(α ,β )，求关于x的不等式
cx的平方 + bx + a < 0的解集
∵不等式ax~2 + bx + c > 0的解集为(α ,β )
∴α<β ,a<0
αβ=c/a , α+β=-b/a
设cx^2+bx+a=0的根为x1,x2
x1x2=a/c=1/(αβ)
x1+x2=-b/c=(α+β)/(αβ)
解，得x1=1/α, x2=1/β or x1=1/β, x2=1/α
当c>0,1/α<1/β 时
cx^2+bx+a<0的解集为（1/α，1/β）
当c>0,1/β<1/α 时
cx^2+bx+a<0的解集为（1/β，1/α）
当c<0,1/α<1/β 时
cx^2+bx+a<0的解集为（-∞,1/α)U(1/β,+∞）
当c<0,1/β<1/α 时
cx^2+bx+a<0的解集为（-∞,1/β)U(1/α,+∞）
如图，等边△ABC内接于⊙O,P是BC弧上任意一点，连接AP、BP、CP，求证：PA=PB+PC

在PA上截取PD=PC,连接CD
∵∠APC=∠ABC,PD=PC
∴△PCD为正三角形,∠PDC=60
∴∠ADC=180-60=120
∵∠PAC=∠CBP,
∠BPC=180-∠BAC=120=∠ADC
AC=BC
∴△BPC≌△ADC
∴AD=PB
PB+PC=PD+AD=PA
得证 PA=PB+PC
如图，已知⊙O的半径为6cm,射线PA通过点O，OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q,A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度，沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN的方向运动。设运动的时间为ts,当t为什么值时，直线AB与⊙O相切？

如图
由于PN与圆O相切于点Q，则：OQ⊥PN，且OQ=r=6
那么，在Rt△POQ中，由勾股定理有：
PQ^2=PO^2-OQ^2=10^2-6^2=100-36=64
所以，PQ=8
A、B两点同时从P点出发，且A点的速度为5cm/s，B点的速度为4cm/s，那么运动时间为t时，有：
PA=5t，PB=4t
那么，PA/PB=(5t)/(4t)=5/4
而，PO/PQ=10/8=5/4
所以，PO/PQ=PA/PB
且，它们的夹角∠OPQ=∠APB
所以，△OPQ∽△APB
所以，∠PBA=∠PQO=90°
即，△PBA始终是直角三角形
亦即，AB始终垂直于PN
那么：
①
当AB所在的直线第一次与圆O相切时，设切点为E。连接OE
则，OE⊥BE
而，AB⊥PN，OQ⊥PN
所以，四边形BEOQ为矩形
又由于OE=OQ=r
所以，四边形BEOQ为正方形
则，BQ=OE=r=6
所以，PB=PQ-BQ=8-6=2
那么，运动时间t=2/4=0.5s
②
当AB所在的直线第二次与圆O相切时，设切点为F。连接OF
同理，四边形B'FOQ为正方形
则，B'Q=OF=r=6
所以，PB'=PQ+B'Q=8+6=14
那么，运动时间t=14/4=3.5s