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期末检测题 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A ) 2．用配方法解方程x2＋10x＋20＝0，则方程可变形为( B ) A．(x＋5)2＝45 B．(x＋5)2＝5 C．(x－5)2＝45 D．(x－5)2＝5 3．下列事件，是必然事件的是( B ) A．掷一枚六个面分别标有1～6的均匀正方体骰子，骰子停上转动后偶数点朝上 B．在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的生日是同一天 C．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是红桃 D．任意选择电视的某一频道，正在播放新闻 4．把抛物线y＝－x2向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( D ) A．y＝－(x－3)2 B．y＝－(x＋3)2 C．y＝－x2－3 D．y＝－x2＋3
5．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( B ) A．33 B．43 C．53 D．63 6．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( B ) A．2 B．3 C．4 D．5 7．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)关于原点对称的点的坐标为( C ) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1) 8．以O(2，2)为圆心，3为半径作圆，则⊙O与直线y＝kx＋15k的位置关系是( A ) A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 9．关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( C ) A．1 B．0 C．2 D．3
10．如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( D ) A.3π B.32π C.33π D.233π 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．在平面直角坐标系中，点A(1，2)关于原点对称的点为B(a，b)，则a＝__－1__． 12．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是________． 13．已知某抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后所得抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，那么原抛物线的解析式是__y＝(x－3)2＋4__． 14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点(与点C，D不重合)，连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F.设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________________． ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) 15．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是__1.5__． 16．如图，已知直线y＝－34x＋3分别交x轴、y轴于点A，B，P是抛物线y＝－12x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－34x＋3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是__－1或4或4＋25或4－25__． 三、解答题(共72分) 17．(8分)若方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求m和另一个根的值． 【解析】设方程的另外一个根为a，则有a－2＝4，－2a＝m，解得：a＝6，m＝－12.
18．(8分)(2018•武汉元调)甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球．甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球．从三个盒子中各随机取出一个小球． (1)请画树状图，列举所有可能出现的结果； (2)请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率． 【解析】(1)如图所示：
(2)P(取出至少一个红球)＝1012＝56.
19．(8分)如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝12OB. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦AD的长． 【解析】(1)如图，连接OA.∵AC＝12OB，OC＝CB，∴AC＝OC＝CB，∴∠OAB＝90°，∴AB是⊙O的切线． (2)如图，连接OD.∵∠DOA＝2∠DCA，∠DCA＝45°，∴∠DOA＝90°.∵OD＝OA＝OC＝2，∴AD＝OD2＋OA2＝22＋22＝22.
20．(8分)某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元． (1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【解析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280(1＋x)2＝1 280＋1 600，解得x＝0.5或x＝－2.5(舍)，答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. (2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得：a≥1 900，答：今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．
21．(8分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10.求CE的长度． 【解析】过点B作DA的垂线交DA的延长线于点M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，在△BEC与△BGM中，BC＝BM，∠C＝∠BMG＝90°，EC＝GM，∴△BEC≌△BGM(SAS)，∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG.∵∠ABE＝45°，∴∠CBE＋∠ABM＝∠MBG＋∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°.在△ABE与△ABG中，BE＝BG，∠ABE＝∠ABGAB＝AB，，∴△ABE≌△ABG(SAS)，∴AG＝AE＝10.设CE＝x，则AM＝10－x，AD＝12－(10－x)＝2＋x，DE＝12－x.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，∴100＝(x＋2)2＋(12－x)2，即x2－10x＋24＝0，解得：x1＝4，x2＝6.故CE的长为4或6.
22．(10分)某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求该服装店销售这批秋衣日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？ 【解析】：(1)设y＝kx＋b，根据题意得60k＋b＝80，50k＋b＝100，解得k＝－2，b＝200，故y＝－2x＋200(30≤x≤60)． (2)W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.(3)W＝－2(x－65)2＋2000，∵a＝－2＜0，30≤x≤60，∴在x取值范围内，W随x的增大而增大，则当x＝60时，W有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，为1950元．
23．(10分)如图①，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N，连接PM，PN. (1)延长MP交CN于点E(如图②)． ①求证：△BPM≌△CPE； ②求证：PM＝PN； (2)若直线a绕点A旋转到图③的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由． 【解析】(1)证明：①∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP.又∵P为BC边中点，∴BP＝CP.又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE.②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝12ME，在Rt△MNE中，PN＝12ME，∴PM＝PN. (2)成立．延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，∴∠BMN＋∠CNM＝180°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP.又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝12ME.在Rt△MNE中，PN＝12ME，∴PM＝PN. (3)如图④，四边形MBCN是矩形，根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△MBP≌△NCP，得PM＝PN成立．即四边形MBCN是矩形，且PM＝PN成立．
24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】(1)∵C(0，3)，即OC＝3，BC＝5，∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB＝BC2－OC2＝4，即B(4，0)，把B与C坐标代入y＝kx＋n中，得：4k＋n＝0，n＝3，解得：k＝－34，n＝3.∴直线BC解析式为y＝－34x＋3.由A(1，0)，B(4，0)，设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－4)，把C(0，3)代入得：a＝34，则抛物线解析式为y＝34x2－154x＋3. (2)存在．如图所示，分两种情况考虑：∵抛物线解析式为y＝34x2－154x＋3，∴其对称轴为直线x＝52.设点P坐标为(52，y)，BC与对称轴交于点Q，可得Q点坐标(52，98)，同时可求得CQ＝258，BQ＝158.当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形．P1C2＝(52)2＋(y－3)2，P1Q＝y－98.∵P1Q2＝P1C2＋CQ2.解得y＝193；当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形．P2B2＝(4－52)2＋y2，P2Q＝98－y，∵P2Q2＝P2B2＋BQ2，解得y＝－2.综上所述，P1(52，193)或P2(52，－2)．当点P为直角顶点时，设P(52，y)，∵B(4，0)，C(0，3)，∴BC＝5，∴BC2＝PC2＋PB2，即25＝(52)2＋(y－3)2＋(52－4)2＋y2，解得y＝3±262，∴P3(52，3＋262)，P4(52，3－262)．综上所述，P1(52，193)，P2(52，－2)，P3(52，3＋262)，P4(52， )．
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