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阶段质量检测（一） 一、选择题 1．“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( ) A．∀x∈R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x 3．已知命题p：∃n∈N，2n>1 000，则 为( ) A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n>1 000 C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n<1 000 4．已知命题①若a>b，则1a<1b，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( ) A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真 C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真 5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则1a<1b.下列命题p∧q，p∨q， ， 中，真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．下列结论不正确的是( ) A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1” B．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则 ：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0 C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题 D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件 9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>14；命题q：在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件，则( ) A．p假q真 B．“p且q”为真 C．“p或q”为假 D． 假 真 10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．下列命题中不正确的是( ) A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列 B．∃a，b∈R，an＝an2＋bn，使{an}是等差数列 C．∀a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，有{an}是等差数列 D．∃a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，使{an}是等差数列 12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 二、填空题 13．命题“若A∉l，则B∈m”的逆否命题是________． 14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x∈N.若“p∧q”“ ”都是假命题，则x的值组成的集合为________． 15．已知命题p：∃m∈R，m＋1<0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________． 16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1<0”；④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号) 三、解答题 17．π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d. (1)写出 并判断真假； (2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
18．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由． (1)q：所有等边三角形都是等腰三角形； (2)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0. 19．给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 20．解答下列问题： (1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？ (2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
21．已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋1x>1c在x∈12，2上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
22．已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题． (1)求实数m的取值集合B； (2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答 案 1. 解析：选A “1<x<2”可以推得“x<2”，即满足充分性，但由“x<2”得不出“1<x<2”，所以为充分不必要条件． 2. 解析：选D 全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D. 3. 解析：选A 特称命题的否定为全称命题，即∀n∈N，2n≤1 000.故选A. 4. 解析：选D ①的逆命题为若1a<1b，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确． 5. 解析：选A cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A. 6. 解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题， ， 是假命题． 7. 解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－1a有实根，故a<0，故选C. 8. 解析：选C 选项C中，p∨q为真，则p，q中至少一个为真． 9. 解析：选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以 为假， 为假．结合各选项知B正确． 10. 解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数． 11. 解析：选C 显然A、B两项正确，当c≠0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}不是等差数列；当c＝0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}是等差数列，因此C项错误，D正确． 12. 解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假； ③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”． ∵当m＝0时，解集不是R， ∴应有m>0，Δ<0，即m>1.∴③是假命题； ④原命题为真，逆否命题也为真． 13. 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若B∉m，则A∈l 14. 解析：因为“p∧q”为假，“ ”为假， 所以q为真，p为假． 故x2＋2x－3≤0，x∈N，即－3≤x≤1，x∈N. 因此x的值可以是0，1. 答案：{0，1} 15. 解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p：∃m∈R，m＋1<0为真命题；所以命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2. 又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m<－1. 故综上可知m≤－2. 答案：(－∞，－2] 16. 解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件是正确的． 答案：②③④ 17. 解：(1) ：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”． 因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d， 所以π(a－c)＝d－b∈Q， 则a＝c且b＝d. 故p是真命题，所以 是假命题． (2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题． 否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题． 逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题． 18. 解：(1) ：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题． (2) ：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题． 这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立． (3) ：∀x∈R，3x－1≠0，假命题． 这是由于x＝0时，3x－1＝0. 19. 解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或a>0，Δ<0⇔0≤a<4. 关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14. 如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>14， 所以14<a<4. 如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤14， 所以a<0. 所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪14，4. 20. 解：(1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，则只要x|x<－m2⊆{x|x<－1或x>3}，则只要－m2≤－1，即m≥2，故存在实数m∈[2，＋∞)使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件． (2)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只要x|x<－m2⊇{x|x<－1或x>3}，而这是不可能的，故不存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件． 21. 解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可． 若p真，由y＝cx为减函数，得0<c<1.当x∈12，2时，由不等式x＋1x≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋1x在12，2上的最小值为2，若q真，则1c<2，即c>12. 若p真q假，则0<c<1，c≤12，所以0<c≤12； 若p假q真，则c≥1，c>12，所以c≥1. 综上可得，c∈0，12∪[1，＋∞)． 22. 解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立， ∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}． (2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0， ①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a<x<3a}， 若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B， ∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)； ②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立； ③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立， ∴3a≥2，此时a∈23，1. 综上①②③可得a∈23，＋∞.
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