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箴言中学高二理科数学月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题：共十二道题，共60分。 1．在△ABC中，B＝45°，C＝30°，c＝1，则b＝ A． B． C． D． 2．在 中， ， ， 为 的中点， 的面积为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3．等比数列 中， ，则公比 （ ） A． B． C． D． 4．记 为数列 的前 项和，若 ，则 等于 A． B． C． D． 5．正项等比数列 中， ， ，则 的值是 A． 4 B． 8 C． 16 D． 64 6．设集合 A． [1，2] B． (－1，3) C． {1} D． {l，2} 7．下列不等式中，正确的是 A． 若 ，则 B． 若 ，则 C． 若 ，则 D． 若 ，则 8．在 中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，且 ，则 A． B． C． D． 9．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部 尺，重 斤，尾部 尺，重 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” A． 6斤 B． 7斤 C． 斤 D． 斤 10．设不等式组 表示的平面区域为D，若圆C： 不经过区域D上的点，则r的取值范围为 A． B． C． D． 11．已知数列 , 为数列 的前 项和，求使不等式 成立的最小正整数( ) A． B． C． D． 12．点 在曲线 上运动， ，且 的最大值为 ，若 ， ，则 的最小值为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 评卷人 得分 二、填空题：共4道题，共20分。 13．已知 的面积为 ，三个内角A,B,C成等差数列，则 ____． 14．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列 是等积数列且 ，公积为10，那么这个数列前21项和 的值为__________． 15．已知数列 的前 项和为 ,且 , , 时, ,则 的通项公式 ___________． 16．已知数列 满足 , 是其前 项和，若 ，（其中 ），则 的最小值是_________________.
评卷人 得分 三、解答题：共六道题，共70分。 17．在 中， 分别为角 所对的边，已知 ， , .(10分) (1)求 的值； （2）求 的面积．
18．已知数列 中， ， ．（10分） （1）求 ； （2）若 ，求数列 的前5项的和 .
19．不等式 ，对于任意的 成立.求m的取值范围.（12分）
20．己知 分别为 三个内角A，B，C的对边，且 ．（12分） (I)求角A的大小； (II)若b+c=5，且 的面积为 ，求a的值．
21． 某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调动给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？（12分）
22．设数列 的前n项和为 ，已知 ， （ ）．（14分） （1）求证：数列 为等比数列； （2）若数列 满足： ， ． ① 求数列 的通项公式； ② 是否存在正整数n，使得 成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由
参考答案 1．A2．B3．B4．B5．C6．D7．A8．D9．D10．A11．C12．A 13．8 14．72 15． . 16． 17．(1)见解析;(2) . （1）因为 ，由正弦定理可得 ， 由余弦定理 ， 得 ，解得 ， 所以 ； （2） 的面积 ． 18．(1) ;(2)77. （1） ，则数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ； （2） ， . 19． 解：∵ 原式等价于 对于 恒成立. 当m=0时， 即 ，不符合题意（舍）. 当 时，则 ∴ 综上： 20．(Ⅰ) ；(Ⅱ) . （Ⅰ）由正弦定理得， ， ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ∴ ， ∴ ∴ ． （Ⅱ）由： 可得 ． ∴ ，∵ ， ∴由余弦定理得： ， ∴ . 21．见解析. 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元) 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨，即(x＋y－7)吨，于是总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126(单位：元)． 则问题转化为求总运费 z＝x－2y＋126在约束条件 即在 下的最小值． 作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线l：x－2y＝0，把直线l作平行移动，显然当直线l移动到过点A(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－2×8＋126＝110(元)． 即x＝0，y＝8时，总运费最少．所以仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨，8吨，4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨，0吨，1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少． 22．（1）数列 为等比数列，首项为1，公比为2．（2） ， （1）解：由 ，得 （ ）， 两式相减，得 ，即 （ ）． 因为 ，由 ，得 ，所以 ，所以 对任意 都成立， 所以数列 为等比数列，首项为1，公比为2． （2）① 由（1）知， ， 由 ，得 ， 即 ，即 ， 因为 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列． 所以 ，所以 ． ② 设 ， 则 ， 所以 ， 两式相减， 得 ， 所以 ． 由 ，得 ，即 ． 显然当 时，上式成立， 设 （ ），即 ． 因为 ， 所以数列 单调递减， 所以 只有唯一解 ， 所以存在唯一正整数 ，使得 成立．
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