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南康中学2018～2019学年度第一学期高二第一次大考 数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，将正确答案的序号填在答题卡上） 1.下列推理错误的是( ) A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l α B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C. D.A∈l，l α⇒A∈α 2. 已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( ) A.3 B.22 C.32 D.34 3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．2
4．下列函数中，最小值是4的是( ) A． B． C． D． 5. 已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝( ) A．8 B．4 C．16 D．12 6. 如果 ，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 7．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( ) A.12 B.32 C.63 D.62 8．如图，正方体 中， 分别是 的中点， 是正方形 的中心，则空间四边形 在该正方体各面上的正投影不可能是( ) A． B． C． D． 9.已知数列 为等差数列，若 ，且它们的前 项和 有最大值，则使得 的 的最大值为( ) A.19 B.20 C.17 D.18 10. 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形； ③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 11．已知 三个内角A，B，C所对的边，若 且 的面积 ，则三角形 的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个为 的等腰三角形 12．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是( ) A.0，43 B.13，43 C.0，12 D．[0,1] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上） 13. 点A(2， )关于直线x＋y－5＝0的对称点的坐标是______. 14. 若实数x，y满足约束条件x－y－1≤0x＋3≥0y－2≤0，则z＝2x－y的最大值为______. 15. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的 最长棱的长度为_______. 16. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，且ab≥m恒成立， 则实数m的取值范围是 . 三．解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的解答过程） 17. （本题满分10分） 求圆心为 且与已知圆 的公共弦所在直线经过点 的圆的方程.
18.（本题满分12分） 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长．
19．（本题满分12分） 如图，在三棱锥 中， ，平面 平面 ，点 （ 与 不重合）分别在棱 上，且 求证：⑴ 平面 ； ⑵ .
20. （本题满分12分）已知圆 （1）已知不过原点的直线 与圆C相切，且在 轴， 轴上的截距相等，求直线 的方程； （2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程.
21. （本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 是 的中点， 是 上的点且 ， 为 边 上的高. （1）证明： ⊥平面 ； （2）在线段PB上是否存在这样一点M, 使得 平面PAB?若存在，说 出M点的位置。
22.（本小题满分12分） 已知数列 为公差不为 的等差数列， 为前 项和， 和 的等差中项为 ，且 ．令 数列 的前 项和为 ． （1）求 及 （2）是否存在正整数 成等比数列？若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由
南康中学2018～2019学年度第一学期高二第一次大考 数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，将正确答案的序号填在答题卡上） 1-5 CABD A 6-10 DCBAB 11-12 CD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上） 13、(6,3) 14、4 15、 16、(－∞，9] 三．解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的解答过程） 17. 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，………………2分 即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，① 已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，② ②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，………………6分 又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0， ∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2) 2＋(y－1)2＝4.……………………10分 18.【解析】：（1）∵ ， ∴ ， 由正弦定理可得： ， ∴ . 又角 为 内角， ，∴ 又 ，∴ ............6分 （2）有 ，得 又 ，∴ ， 所以 的周长为 ．............12分
20. （1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为 .............1分 ∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径 ，..............3分 即 = ...................4分 ∴ 或 ..................5分 所求切线方程为： 或 ………………6分 （2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合 故直线 .................8分 当直线斜率存在时，设直线方程为 ，即 由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分 则 ，.................11分 直线方程为 综上，直线方程为 ， . ................12分
21. 解：（1） ，又 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面 ……… 4分 （2）取 的中点 ，连接 、 ，则因为 是 的中点，所以 ，且 ，又因为 且 ，所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，由（1）知 平面 ，所以 ,又因为 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，因为ED//DQ，所以 面 ．M为PB中点……… 12分
22.解：（1）因为 为等差数列，设公差为 ，则由题意得 整理得 所以 ……………3分 由 所以 ……………6分 （2）假设存在 由（Ⅰ）知， ，所以 若 成等比， 则有 ………8分 ， 因为 ，所以 ，……………10分 因为 ，当 时，带入（1）式，得 ； 综上，当 可以使 成等比数列。……………12分
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